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江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义
编号：022 课题:§3.3.2.2 抛物线方程及性质的应用
目标要求
1、进一步理解并掌握抛物线的几何性质．
2、理解并掌握直线与抛物线的位置关系．
3、理解并掌握与弦长、中点有关的问题．
4、理解并掌握抛物线性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与弦长、中点有关的问题；
难点：抛物线性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R _____，y∈R _____，x∈R _____，x∈R
对称轴 x轴 ________ _______ ________
焦点坐标 F F_______ F_______ F_______
准线方程 x＝－ x＝_____ y＝______ y＝______
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝_____
【课前预习思考】
(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？
(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？
类型一　直线与抛物线的位置关系(逻辑推理)
【课堂题组训练】
题1. 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
题2. 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
类型二　与弦长、中点有关的问题(数学运算)
【典例】题3. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，抛物线C的方程为________．
题4. 已知抛物线的顶点在原点，过点A(－4，4)且焦点在x轴．
(1)求抛物线方程；
(2)直线l过定点B(－1，0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【课堂题组训练】
题5. (1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求该抛物线的方程；
②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
类型三　抛物线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题6. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
【课堂跟踪训练】
题7. 在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0).
【课后巩固习题】
题8. 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 (　 　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
题9. 已知直线y＝kx＋m与抛物线y2＝4x相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(x0，2)，则k等于________．
题10. 已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤8，则实数a的取值范围是________．
题11. 已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若，则点A的坐标是________.
编号：022 课题:§3.3.2.2 抛物线方程及性质的应用
目标要求
1、进一步理解并掌握抛物线的几何性质．
2、理解并掌握直线与抛物线的位置关系．
3、理解并掌握与弦长、中点有关的问题．
4、理解并掌握抛物线性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与弦长、中点有关的问题；
难点：抛物线性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝1
【课前预习思考】
(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？
提示：抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．
(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？
提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较准确的抛物线．
类型一　直线与抛物线的位置关系(逻辑推理)
【课堂题组训练】
题1. 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
【解析】选C.直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点．
题2. 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
【解析】由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①.
Ⅰ：当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
Ⅱ：当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).
a.由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
b.由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1c.由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>.于是k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点．
当－1时，直线l与抛物线无公共点．
【解题策略提醒】
　直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
类型二　与弦长、中点有关的问题(数学运算)
【典例】题3. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，抛物线C的方程为________．
【思路导引】
设出抛物线方程，列方程组求得A，B两点坐标，利用中点坐标公式求得所设抛物线方程中的参数．
【解析】设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点为A(0，0)，B(a，a)，
而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
题4. 已知抛物线的顶点在原点，过点A(－4，4)且焦点在x轴．
(1)求抛物线方程；
(2)直线l过定点B(－1，0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【思路导引】
(1)设出抛物线方程，求出其中的参数．
(2)分斜率存在与不存在两种情况求解．
【解析】 (1)设抛物线方程为y2＝－2px，抛物线过点(－4，4)，42＝－2p(－4)，得p＝2，则y2＝－4x.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1
与抛物线交于(－1，－2)，(－1，2)，弦长为4，不合题意．
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k(x＋1)，代入y2＝－4x，消去y得
k2x2＋(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
弦长为×＝8，解得k2＝1，
得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
【解题策略提醒】
　中点弦问题解题策略
【课堂题组训练】
题5. (1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求该抛物线的方程；
②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解析】(1)方法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
(2)①直线AB的方程是y＝2·，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，
B(4，4)；设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
类型三　抛物线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题6. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
【思路导引】第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
【解析】(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝ eq \f(y,4) ，x2＝ eq \f(y,4) ，
从而有 eq \f(y1－2,\f(y,4)－1) ＝－ eq \f(y2－2,\f(y,4)－1) ，即＝－，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
【解题策略提醒】
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
【课堂跟踪训练】
题7. 在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0).
【解析】(1)因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为PQ是点Q到直线l的距离，而PQ＝QF，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，
则消去x得y2－4my－4＝0.于是，有yM＝＝2m，
xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m).同理，N.
因此，直线MN的斜率kMN＝＝，直线MN的方程为y－2m＝(x－2m2－1)，
即mx＋(1－m2)y－3m＝0.显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0).
【课后巩固习题】
题8. 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 (　 　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
【解析】选C.因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
题9. 已知直线y＝kx＋m与抛物线y2＝4x相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(x0，2)，则k等于________．
【解析】由题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入抛物线的方程，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2)) ，
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以k＝＝＝＝1.
答案：1
题10. 已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤8，则实数a的取值范围是________．
【解析】将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，
所以a>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
所以AB＝＝≤8，即≤1.又AB>0，所以－2答案：(－2，－1]
题11. 已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若，则点A的坐标是________.
【解析】因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0)) ，则，
由得y0＝±2，所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
答案：(1，2)或(1，－2)
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高二数学备课组 jin_ailiu

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