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泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义
编号：023 课题:§3 圆锥曲线与方程复习课
目标要求
1、理解并掌握圆锥曲线的定义及应用．
2、理解并掌握圆锥曲线的方程．
3、理解并掌握圆锥曲线的几何性质．
4、理解并掌握直线与圆锥曲线的位置关系.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆锥曲线的几何性质；
难点：直线与圆锥曲线的位置关系．
教学过程
思维结构简图
基础知识积累
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 ____ (大于F1F2)的点的轨迹叫作 _____ ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 __ ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 __ ．
(2)集合语言：
P＝{M| ______________________ ，2a>F1F2}．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ______________(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ____________(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
3. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数____，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径：右焦半径： 下焦半径：上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
4．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比______．
(2)记法：e＝____．
(3)范围：_________．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近_____，椭圆越扁平，e越接近______，椭圆越接近于圆.
5. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ___1
P在椭圆上 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ＝1
P在椭圆内 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ___1
6.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆______；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆_______；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆_______．
7．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝_____________________________．
弦长公式②：AB＝_____________________________．
8. 双曲线的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于________(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 _______ ，两个定点F1，F2叫作双曲线的 ___ ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 _ ．
(2)集合语言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ _ ，0< _ 9．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
焦点坐标
的关系式
10. 双曲线的几何性质
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
轴长 实轴长： 虚轴长：
渐近线
离心率 ，其中
的关系式 （）
11.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率为 .
12. 物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
13.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标 ___________ ___________
准线方程 x＝_______ x＝ y＝________ y＝
p的几何意义 __________________的距离
14. 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R _______，y∈R ______，x∈R _____，x∈R
对称轴 x轴 _______ ________ ________
焦点坐标 F F________ F________ F_______
准线方程 x＝－ x＝______ y＝_______ y＝_______
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝________
【课堂题组训练】
题组训练一　圆锥曲线的定义及应用
题1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是 (　 　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
题2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
题组训练二　圆锥曲线的方程
题3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
题4．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若，点A到y轴的距离为1，则抛物线C的方程为 (　　)
A．x2＝4y B．x2＝3y C．x2＝2y D．x2＝y
题5．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
题组训练三　圆锥曲线的几何性质
题6．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 (　 　)
A. B． C． D．
题7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
题组训练四　直线与圆锥曲线的位置关系
题8. 若点A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B，C两点，则 (　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
题9. 已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
编号：023 课题:§3 圆锥曲线与方程复习课
目标要求
1、理解并掌握圆锥曲线的定义及应用．
2、理解并掌握圆锥曲线的方程．
3、理解并掌握圆锥曲线的几何性质．
4、理解并掌握直线与圆锥曲线的位置关系.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆锥曲线的几何性质；
难点：直线与圆锥曲线的位置关系．
教学过程
思维结构简图
基础知识积累
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫作 椭圆 ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M| MF1＋MF2＝2a ，2a>F1F2}．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
3. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径：右焦半径： 下焦半径：上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
4．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近 1 ，椭圆越扁平，e越接近 0 ，椭圆越接近于圆.
5. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) >1
P在椭圆上 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ＝1
P在椭圆内 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) <1
6.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
7．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝·．
弦长公式②：AB＝·．
8. 双曲线的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 双曲线 ，两个定点F1，F2叫作双曲线的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ 2a ，0< 2a 9．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
焦点坐标
的关系式
10. 双曲线的几何性质
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
轴长 实轴长： 虚轴长：
渐近线
离心率 ，其中
的关系式 （）
11.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为 y＝±x ，离心率为 .
12. 物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
13.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
p的几何意义 焦点到准线的距离
14. 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝1
【课堂题组训练】
题组训练一　圆锥曲线的定义及应用
题1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是 (　 　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
【解析】选C.把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
题2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为AB过点F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以a＝4. 又离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
【解题策略提醒】
　“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
题组训练二　圆锥曲线的方程
题3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选D.由题意得，解得，则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
题4．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若，点A到y轴的距离为1，则抛物线C的方程为 (　　)
A．x2＝4y B．x2＝3y C．x2＝2y D．x2＝y
【解析】选C.由题可知点F，P，因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点A，因为，所以－＝，解得p＝或－(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2y.
题5．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】由题意得，解得，则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
【解题策略提醒】
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定型，后定式，再定量”的步骤．
(1)定型——二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“型”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
题组训练三　圆锥曲线的几何性质
题6．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 (　 　)
A. B． C． D．
【解析】选D.由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF＋AF＝F1F＝12，
所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)＝16－12＝4，
所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，所以AF2－AF1＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.
题7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，即＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
【解题策略提醒】
　求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
题组训练四　直线与圆锥曲线的位置关系
题8. 若点A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B，C两点，则 (　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
【解析】选A.由题意可得A(0，0)，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线BC的方程为：y＝kx＋1，联立可得x2－kx－1＝0，设B，C，则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，
所以y1y2＝＝k2x1x2＋k＋1，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋k＋1＝×＋4k2＋1＝－3.
题9. 已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【解析】(1)依据题意作图如图所示：
由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).则＝(a，1)，＝(a，－1).
由得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.
(2)设P，则直线AP的方程为：y＝，即：y＝，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：整理得： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋9)) x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得：x＝－3或x＝ eq \f(－3y＋27,y＋9) ，
将x＝ eq \f(－3y＋27,y＋9) 代入直线y＝可得：y＝ eq \f(6y0,y＋9) ，所以点C的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3y＋27,y＋9)，\f(6y0,y＋9))) .
同理可得：点D的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－3,y＋1)，\f(－2y0,y＋1))) ，
所以直线CD的方程为：y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))) ＝ eq \f(\f(6y0,y＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))),\f(－3y＋27,y＋9)－\f(3y－3,y＋1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ，
整理可得：y＋ eq \f(2y0,y＋1) ＝ eq \f(8y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋3)),6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ＝ eq \f(8y0,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ，
整理得：y＝ eq \f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) x＋ eq \f(2y0,y－3) ＝ eq \f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) 故直线CD过定点.
【解题策略提醒】
　直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
(1)相交：Δ>0 直线与椭圆相交；Δ>0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
(2)相切：Δ＝0 直线与椭圆相切；Δ＝0 直线与双曲线相切；Δ＝0 直线与抛物线相切．
(3)相离：Δ<0 直线与椭圆相离；Δ<0 直线与双曲线相离；Δ<0 直线与抛物线相离．
高二数学备课组 jin_ailiu

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