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专题12.3 三角形全等的判定1（知识讲解）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
特别说明：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
特别说明：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、 如图，点，，，在一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）利用“边边边”定理证即可；
（2）由全等可得，，根据平行线的判定证明即可．
证明：（1），
，
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键是依据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质解决问题．
举一反三：
【变式】 已知：如图，，，．
求证：．
【分析】先由得出 由得出 从而得出由全等即可得结论．
证明：
在与中，
【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、 如图，已知是的角平分线，．
求证：．
【分析】由是的角平分线，可得，由和公共边BD，可证．
证明：∵是的角平分线（已知），
∴（角平分线定义），
在与中，
∵ ，
∴．
【点拨】本题考查三角形全等证明，掌握三角形全等的证明方法是解题关键．
举一反三：
【变式】（2021·江苏淮安市·八年级期末）如图，，求证：．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BC＝EF，
∴在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3、如图，，，，求证：．
【分析】直接利用SAS证明，再根据全等三角形的性质即可求解；
证明：∵
∴
即
∴在与中
∴
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的证明以及全等三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；
举一反三：
【变式】（2021·云南昆明市·八年级期末）如图：已知，且，求证：．
证明：∵
∴
∴
又∵
∴
在和中
∴（SAS）
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，
4、已知：如图，C为线段BE上一点，AB//DC，AB=EC，BC=CD． 求证：∠A=∠E ．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ECD，即可得出答案．
证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠A＝∠E（全等三角形的对应角相等）．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
举一反三：
【变式】（2021·江苏金湖县·八年级期末）已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF．
【分析】
根据SAS证明△ABE与△DCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
证明：∵AF＝DE，
∴AF＋FE＝DE＋FE，
∴AE＝DF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠CFD＝∠BEA，
∴BE∥CF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确运用三角形全等的判定方法是解题的关键．
类型三、全等三角形判定的实际应用　
5、如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度．
（1）求证：DE＝AB；
（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）8m
【分析】
（1）先根据SAS证明△CDE≌△CAB，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由（1）的结论结合已知即得答案．
（1）证明：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE＝AB；
（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，
∴AB＝8m．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.如图1是一个四边形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.
(1)扭动这个木架，四边形的形状就会改变，这说明了什么？
(2)如图2，若固定三根木条AB、BC、AD不动，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由.
(3)在扭动这个木架过程中，当测得A、C之间的距离为6cm时，若CD的长度也是整数，那么CD的长应为多少？
【答案】(1)四边形的不稳定性；(2)相等，理由见解析；(3)CD的长应为5cm或6cm或7cm.
【分析】
(1)根据四边形的特性即可得到结论；
(2)连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可；
(3)根据三角形的三边关系即可得到结论.
解：(1)答：四边形的不稳定性； (2)相等.
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB(SSS)，
∴∠B＝∠D；
(3)∵AD＝2，AC＝6，
∴6﹣2＜CD＜2+6，
∴4＜CD＜8，
∵CD的长度也是整数，
∴CD的长应为5cm或6cm或7cm，
【点拨】本题考查了四边形的不稳定性、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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