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1.4全等三角形概念及性质
知识点梳理
1、全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
2、全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
题型梳理
题型一 全等图形辨析及性质
1．下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等
④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等．
其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
4．下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是　 　．
8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．
如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′
（1）其中，符合要求的条件是　 　．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
题型二 全等三角形对应角相等
1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．72° B．60° C．50° D．58°
2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（　　）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．90°
8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．85°
9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝　 　．
11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为　 　．
12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝　 　度．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝　 　度．
14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝　 　度．
15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝　 　．
16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　 　度．
17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为 　 　．
18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为　 　．
19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．
题型三 全等三角形对应边相等
1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
2．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　）
A．2 B．2或 C．或 D．2或或
3．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为　 ．
5．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　．
6．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为　 　．
7．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝　 　．
8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．
题型五 全等三角形性质综合运用
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE
2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（　　）
①AC＝AF，
②∠FAB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠FAC，
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①③
4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD
6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　）
A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E
7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数　 　．
8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为　 　；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．
9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
答案与解析
题型一 全等图形辨析及性质
1．下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等
④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【分析】根据全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案．
【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；
③面积相等的两个三角形全等，说法错误；
④全等三角形的周长相等，说法正确；
故选：D．
2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等．
其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用全等三角形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；
③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；
④全等三角形的周长相等，正确．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．
【解答】解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；
B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；
C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．
D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．
故选：C．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．
故选：C．
5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据全等形和全等三角形的概念知进行做题，对选项逐一进行验证，符合性质的是正确的，与性质、定义相矛盾的是错误的．
【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．
故选：D．
6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．
B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
故选：A．
7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是　乙、丙　．
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
【解答】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故答案为：乙、丙．
8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．
如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′
（1）其中，符合要求的条件是　①②④　．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）符合要求的条件是①②④，
故答案为：①②④；
（2）选④，
证明：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
题型二 全等三角形对应角相等
1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．72° B．60° C．50° D．58°
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形是性质得到∠1＝∠2＝58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故选：D．
2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（　　）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．
【解答】解：
∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴∠DCE＝∠B，
故选：A．
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB′，根据角的和差计算得到答案．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，
即∠BCB′＝∠ACA′，又∠ACA′＝30°，
∴∠BCB′＝30°，
故选：B．
4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，
＝70°﹣35°，
＝35°．
故选：B．
5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′＝∠B′CB，
又∠B′CB＝30°
∴∠ACA′＝30°．
故选：B．
7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．90°
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．
故选：C．
8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，
故选：A．
9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α＝50°．
故选：A．
10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝　120°　．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝24°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
故答案为：120°．
11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为　70°　．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝　120　度．
【分析】结合已知运用两三角形全等及一个角的外角等于另外两个内角的和，就可以得到∠CAE，然后又可以得到∠AEB．
【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D＝∠C＝25°，
∴∠CAE＝∠O+∠D＝95°，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝25°+95°＝120°．
故填120
13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝　30　度．
【分析】因为三个三角形为全等三角形，则对应边相等，从而得到∠C＝∠CBD＝∠DBA，再利用这三角之和为90°，求得∠C的度数．
【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠ADB＝∠EDB＝∠EDC，∠DEC＝∠DEB∠＝A，
又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC＝180°，∠DEB+∠DEC＝180°
∴∠EDC＝60°，∠DEC＝90°，
在△DEC中，∠EDC＝60°，∠DEC＝90°
∴∠C＝30°．
故答案为：30．
14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝　95　度．
【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．
【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC；
在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，
∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；
∴∠OAD＝∠OBC＝95°．
故答案为：95．
15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝　1：4　．
【分析】根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠ABC、∠ACB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，
∵△MNC≌△ABC，
∴∠N＝∠ABC＝50°，∠M＝∠A＝30°，
∴∠MCA＝∠M+∠N＝80°，
∴∠BCM＝20°，∠BCN＝80°，
∴∠BCM：∠BCN＝1：4，
故答案为：1：4．
16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　58　度．
【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．
【解答】解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故答案为：58．
17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为 　25°　．
【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝130°，
∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB，
∴∠DAE＝25°，
∴∠BAC＝25°，
故答案为：25°．
18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为　100°　．
【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠BED＝∠A+∠D＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°．
19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠EAB＝120°，
∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，
∵∠CAD＝10°，
∴∠BAC（120°﹣10°）＝55°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，
∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，
∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．
20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．
【分析】利用全等三角形的性质可得AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，然后分别计算出∠ACD和∠ADC的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠A＝75°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠ADC＝75°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠DCB＝75°﹣30°＝45°．
题型三 全等三角形对应边相等
1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵AE＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝5﹣2＝3，
故选：C．
2．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　）
A．2 B．2或 C．或 D．2或或
【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，
解得：x＝2，
故选：A．
3．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】利用全等三角形的性质可得EF＝BC＝7，再解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝7，
∵EC＝4，
∴CF＝3，
故选：B．
4．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为　4　．
【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵AB＝7，AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
5．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
6．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为　3　．
【分析】直接利用全等三角形的性质周长相等，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，这两个三角形全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3．
故答案为：3．
7．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝　1　．
【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝6，y＝5，
∴x﹣y＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出AC＝AD，进而得出答案．
【解答】解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，
∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，
∴DF＝12﹣5＝7．
题型五 全等三角形性质综合运用
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选：D．
2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（　　）
①AC＝AF，
②∠FAB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠FAC，
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①③
【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠FAC．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，
正确的是①③④，
故选：B．
4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，故本选项错误；
故选：C．
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BE＝CD，B成立，不符合题意；
∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；
∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；
AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，
故选：A．
6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　）
A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E
【分析】因为AB∥ED，所以∠B＝∠D，又因为CD＝BF，则添加AB＝DE后可根据SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：∵AB∥ED，
∵∠B＝∠D，
∵CD＝BF，CF＝FC，
∴BC＝DF．
在△ABC和△DEF中
BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF．
故选：C．
7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数　30°　．
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝25°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，
∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．
故答案为：30°
8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为　3　；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；
②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，
故答案为：3；
（2）①∵△ABC≌△DEB
∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；
②∵∠AEF是△DBE的外角，
∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，
∵∠AFD是△AEF的外角，
∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．
9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，然后根据DE＝BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；
（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC＝180°，所以∠ABD＝∠EBC＝90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．
【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC＝180°，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴DB⊥AC．
10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°

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