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2021北京高三数学上学期期末汇编：数列
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋 通州区期末）已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是　　
A．15 B．20 C．25 D．35
2．（2020秋 朝阳区期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则　　
A． B． C．10 D．15
3．（2020秋 石景山区期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前5项的和为　　
A．10 B．15 C．21 D．28
4．（2020秋 丰台区期末）在等差数列中，若，，则　　
A．35 B．37 C．39 D．41
5．（2020秋 东城区期末）已知是公差为的等差数列，为其前项和．若，则　　
A． B． C．1 D．2
6．（2020秋 顺义区期末）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯　　
A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏
7．（2020秋 丰台区期末）已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2020秋 昌平区期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则　　
A．1 B．2 C．3 D．5
二．填空题（共4小题）
9．（2020秋 昌平区期末）已知是等差数列，若，，则　　．
10．（2020秋 海淀区校级期末）在各项均为正数的等比数列中，已知，，记，则数列的前六项和为　　．
11．（2020秋 西城区期末）数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且，，成等比数列，则　　；　　．
12．（2020秋 海淀区期末）设等比数列的前项和为若、、成等差数列，则数列的公比为　　．
三．解答题（共10小题）
13．（2020秋 海淀区校级期末）已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，则为的“关联数列”．
（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）若为的“关联数列”， 是否一定具有单调性？请说明理由．
（Ⅲ）已知数列存在“关联数列” ，且，，求的最大值．
14．（2020秋 顺义区期末）已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；
②对于中任意项，在中都存在两项，，使得．
（Ⅰ）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列．
15．（2020秋 西城区期末）对于数列，定义，设的前项和为．
（Ⅰ）设，写出，，，；
（Ⅱ）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（Ⅲ）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有，0，；
②．
求所有满足条件的数列的个数．
16．（2020秋 朝阳区期末）已知无穷数列满足：，，．对任意正整数，记对任意，2，3，，，对任意，．
（Ⅰ）写出，；
（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；
（Ⅲ）求集合．
17．（2020秋 石景山区期末）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列．
（Ⅰ）数列为，1，3，5，7，数列为．判断数列，是否为数列，并说明理由；
（Ⅱ）设数列是首项为2的数列，其前项和为．求证：当时，；
（Ⅲ）设无穷数列是首项为，公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，．若．判断是否为数列，并说明理由．
18．（2020秋 东城区期末）给定正整数，，若数列，，，，满足：，，，则称数列具有性质．
对于两个数列，，，，；，，，，，
定义数列，，，，．
（Ⅰ）设数列具有性质，数列的通项公式为，求数列的前四项和；
（Ⅱ）设数列具有性质，数列满足，，，且．若存在一组数列，，，，使得为常数列，求出所有可能的值；
（Ⅲ）设数列具有性质（常数，数列满足，，，且．若存在一组数列，，，，使得为常数列，求的最小值．（只需写出结论）
19．（2020秋 丰台区期末）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令．
（Ⅰ）若，2，3，，写出，，的值；
（Ⅱ）证明：，2，3，；
（Ⅲ）若是等比数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等比数列．
20．（2020秋 昌平区期末）已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列，，．若数列的长度为的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求的最大值；
（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为，项数为．判定数列是否存在长度为3的递增子列：1，16，81？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
21．（2020秋 海淀区期末）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表是“阶非负数表”．
（Ⅰ）判断如下数表，是否是“4阶非负数表”；
数表
1 1
1 1
1 1
1 1
数表
1 1 1
1 1
1 1
（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表” ，记为的第行各数之和，证明：存在，，，2，3，4，，使得；
（Ⅲ）当时，证明：对与任意“阶非负数表” ，均存在行列，使得这行列交叉处的个数之和不小于．
22．数列中，给定正整数，．定义：数列满足，2，，，称数列的前项单调不增．
（Ⅰ）若数列通项公式为：，求（5）．
（Ⅱ）若数列满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增．
（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：，，2，，，且数列的前项和，求的最大值与最小值．（写出答案即可）
2021北京高三数学上学期期末汇编：数列
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】利用等差数列前项和公式直接求解．
【解答】解：数列为等差数列，且，，
数列的前5项和是：
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】根据对数的运算性质和等比数列的性质即可求出．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了对数的运算性质和等比数列的性质，属于基础题．
3．【分析】根据，，成等比数列，求出公差，然后求出前5项的和．
【解答】解：等差数列的首项为1，公差不为0，
若，，成等比数列，则，
即，解得，
，
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．
4．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程，求出公差，由此能求出结果．
【解答】解：在等差数列中，若，，
，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的第20项的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】利用求和公式即可得出．
【解答】解：，，
则．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【分析】由题意可知，每层的灯数形成等比数列，公比，，由等比数列的求和公式列式求解，再求得结论．
【解答】解：由题意可得，每层的灯数形成等比数列，公比，且，
则，解得．
．
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是基础题．
7．【分析】根据等比数列的求和公式可知前项和的单调性与首项和公比有关，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可．
【解答】解：当时，若，因为若则，即，
显然不是递增函数；
若数列为递增数列，则，，即，，
所以，而，
所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的求和，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清等比数列前项和的单调性与什么有关．
8．【分析】先由题设写出斐波那契数列的一些项，进而写出新数列的一些项，再由数列的项的规律求得结果即可．
【解答】解：由题设可得数列，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，
数列，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，，
数列是周期为6的周期数列，
，
故选：．
【点评】本题主要考查数列的周期性在求数列的项中的应用，属于基础题．
二．填空题（共4小题）
9．【分析】利用等差数列通项公式列出方程，求出公差，由此能求出的值．
【解答】解：是等差数列，，，
，
解得，
．
故答案为：7．
【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．【分析】先由题设求得，进而求得公比与，再求得，然后利用等比数列的前项和公式求得结果．
【解答】解：设等比数列的公比为，
，，，
又，，解得：，
，
，
，
故答案为：189．
【点评】本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．
11．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项的值．
【解答】解：因为数列是公差为的等差数列．其，，成等比数列，
所以，即，
解得，
所以．
故答案为：8，．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、等差数列前项和公式，属于基础题．
12．【分析】根据、、成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，化简得到关于与的关系式，由，两边同时除以，得到关于的方程，求解方程得答案．
【解答】解：，，成等差数列，
，又数列为等比数列，
，
整理得：，
又，，
解得：或．
故答案为：3或．
【点评】本题题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及前项和，考查运算求解能力，是基础题．
三．解答题（共10小题）
13．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式求出，再利用“关联数列”的定义进行分析求解即可；
（Ⅱ）利用“关联数列”的定义结合数列单调性的判断方法，即作差法进行判断即可；
（Ⅲ）利用已知条件分析得到，然后表示出，从而得到的取值范围，再利用“关联数列” ，得到，利用为2020的正约数分析求解即可．
【解答】解：，4，7，10是项数为4的递增等差数列，
其中，，，所以，
则，
故，，，
所以，，，，
所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；
（Ⅱ）因为为递增数列，所以，
则，
所以，故数列具有单调递减性；
（Ⅲ）由于，则，
故，所以，
又，
所以，解得，所以存在“关联数列” ，
所以，
因为为2020的正约数，且，
故的最大值为20，
所以的最大值为21．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．
14．【分析】（Ⅰ）取数列中的，，通过计算发现在数列中不存在，使得，由此确定答案；
（Ⅱ）直接在数列中任意两项，，记，判断是否满足性质①，中任意项，记，，判断是否满足②，从而得到答案；
（Ⅲ）是递增数列，，则，利用性质①，由数学归纳法原理，可以证明，，，，，然后再利用反证法证明，，，，，从而可以证明是首项为0，公差为的等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）数列不满足性质①，理由如下：
取数列中的，，所以．
由，解得，显然不是整数．
所以在数列中不存在，使得，
故数列不满足性质①；
（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由如下：
对于中任意两项，，记，
因此，从而数列满足性质①；
对于中任意项，记，，
显然有，从而数列满足性质②；
综上，数列同时满足性质①和性质②．
（Ⅲ）证明：是递增数列，，则，
根据性质①，，，
由数学归纳法原理，可以证明，，，，，
另一个方面，我们用反证法证明，，，，，
假设是中最小的不能写成的整倍数的项，
根据性质②，存在两项，，使得，
我们记，，其中，可知：，
易知，
根据的最小性，可知道，，可以得到，与不是正整数矛盾．
综上所述，是首项为0，公差为的等差数列．
【点评】本题考查了新定义问题，涉及了等差数列的证明，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．属于难题．
15．【分析】（Ⅰ）直接根据新定义写出即可；
（Ⅱ）利用定义给出的信息，分别从充分性和必要性进行证明即可；
（Ⅲ）构造，，结合（Ⅱ）以及题中条件，推出，设，，，中有项为0，从而确定的值，分别分析求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，，，，，
根据题意可得，，，．
（Ⅱ）证明：必要性：对，有，
因此．
对任意且，有，，
两式作差，得，即，
因此，
综上，对任意，有．
充分性：若对任意，有，则，
所以．
综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”．
（Ⅲ）构造数列，，
则对任意且，有，．
结合（Ⅱ）可知，，
又，因此．
设，，，中有项为0，
则
，即．
因为，0，，所以或1．
若，则与，，，中有0项为0，即矛盾，不符题意．
若，则，所以当，，，，中有一项为0，
其余项为时，数列满足条件．
，，，中有一项为0，共种取法；
其余项每项有1或两种取法，
所以满足条件的数列的个数为．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
16．【分析】（Ⅰ）直接利用题中给出的定义求解即可；
（Ⅱ）先利用作差法证明数列是递增数列，再利用条件得到，令，分析得到，即可证明得到结论；
（Ⅲ）利用定义得到对任意，都有且，结合（Ⅱ）中的结论进行分析，得到，再证明，利用集合相等的概念即可得到集合．
【解答】（Ⅰ）解：根据题意可得，，，，；
（Ⅱ）证明：当时，对任意，都有，
所以，
所以数列是递增数列，
因为，
所以，
令，
则，
所以，
所以存在正整数，使得；
解：由题意得，对任意，都有且．
由（Ⅱ）可得，当时，存在正整数，使得，所以，
所以若，则，
又因为，，
所以若，则，
所以若，则，即．
下面证明．
①当时，对任意，都有．
下证对任意，．
假设存在正整数，使得．
令集合，则非空集合存在最小数．
因为，所以．
因为，所以．
所以，与矛盾．
所以对任意，．
所以当时，．
②当时，．
下证对任意，．
假设存在正整数，使得．
令集合，则非空集合存在最小数．
因为，所以，所以．
因为，
所以．，且，
所以，与矛盾．
所以当时，．
所以当时，对任意，都有．
所以，即．
因为，且，
所以．
【点评】本题考查了数列的综合应用，涉及了数列单调性的证明，集合相等概念的应用，本题是一个新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质．
17．【分析】（Ⅰ）数列不是数列，数列是数列．利用新定义判断即可即可．
（Ⅱ）由题意知，，推出．然后利用累乘法，判断证明即可．
（Ⅲ）数列不是数列．利用反证法，转化推出矛盾结论，即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）数列不是数列，数列是数列．
对于数列，，所以数列不是数列；
对于数列，，
所以数列是数列．
（Ⅱ）证明：由题意知，，即，即．
又因为，
所以．
所以当时，，
命题得证．
（Ⅲ）数列不是数列．
理由如下：假设数列是数列，则得，
所以数列是单调递增数列，且，．
（1）若数列中的元素都在数列中，则；
（2）若数列中的元素都在数列中，则；
（3）若数列和数列有部分公共元素，
将数列和的公共元素去掉得到新的数列和，
不妨设数列和中的最大元素在数列中，
则数列的前项和．
因为，，
所以数列中的所有项和小于等于．
所以数列中的所有项和小于．
所以．
综上（1）（2）（3）知与已知矛盾，
所以数列不是数列．
【点评】本题考查数列的应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，反证法的应用，是难题．
18．【分析】数列的前四项和为的前四项和与的前四项和之和，代入可求；
由题知，，，只要考虑数列，的前四项，分情况检验即可求解满足条件的，
结合已知条件代入直接求解．
【解答】解：数列的前四项和为的前四项和与的前四项和之和，为，
由题知，数列满足，，
故只要考虑数列，的前四项，
取，，，为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；0，0，1，0，可使的前四项为4，4，4，4，所以成立；
取，，为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使的前四项为4，4，4，4，所以成立；
取，，，为1，1，1，0；1，1，1，0；1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使的前四项为7，7，7，7，所以成立；
当时，的前四项是1，1，1，1，所以对任意的，不会是常数列，
综上，，2，3．
（Ⅲ）．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了数列性质的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力．
19．【分析】（Ⅰ）由，可得，，利用．即可得出，，．
（Ⅱ）由题意知，，可得，化简整理即可得出．
（Ⅲ）由题意知，及，通过分类讨论，利用等比数列的意义、反证法等即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ），，，
．
，，．
（Ⅱ）证明：由题意知，，
所以．
所以，即．
（Ⅲ）证明：由题意知，及，
①当时，得，即．
所以．
所以．
即为公比等于1的等比数列．
②当时，令，，，，，则．
当时，
显然．
若，则，与矛盾，
所以，即．
取，当时，，显然，，，是等比数列．
综上，存在正整数，使得时，，，，是等比数列．
【点评】本本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．【分析】（Ⅰ）根据定义直接写出符合条件的长度为4的一个递增子列；
（Ⅱ）列出数列的项，根据题意可得，分析可得矛盾，即可求出的最大值；
（Ⅱ）反证法假设此递增子列存在，代入等比数列的通项公式进行化简变形，通过证明得出矛盾，从而可以证明．
【解答】解：（Ⅰ）长度为4的一个递增子列为：2，6，7，8（或2，3，5，；
（Ⅱ）设数列的长度为的递增子列为：，，
因为数列，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数，
所以，（若，则成等差数列），
同理，且，
所以，
同理，
又因为，
所以与已知条件矛盾，
所以，
构造数列的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列，所以的最大值为8．
（Ⅲ）不存在．理由如下：
由题意，假设数列存在长度为3的递增子列：1，16，81，
则存在，使，
所以，得，
同理，得，
所以，
下面证明为无理数：
假设为有理数，且，互质，
所以，
因为是偶数，是奇数，
所以，与事实矛盾，故假设不成立，所以为无理数，
又因为为有理数，所以式不成立，
所以数列不存在长度为3的递增子列：1，16，81．
【点评】本题考查的是数列的新定义问题，试题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解数列知识的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意．
21．【分析】（Ⅰ）利用题中给出的新定义进行分析判断即可；
（Ⅱ）记为数表中第行第列的数，则，，不妨设（1）（2）（3）（4）（5），然后分当（3）、当（3）分别进行证明即可；
（Ⅲ）分成三种情况进行证明：①先证明数表中存在行列，其所有数的和大于等于0，②由①及题意，不妨设数表前行列，其所有数的和大于等于0，③在②所设数表下，证明前行前列中存在行列，其所有数的和大于等于，分别利用新定义分析证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：记为数表中第行第列的数，
为数表中所有数的和，
为数表中前行列交叉处各数之和．
是“4阶非负数表”； 不是“4阶非负数表”；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，，，2，3，4，5，，2，3，4，5，且数表是“5阶非负数表”，
所以，2，3，4，为奇数，且（1）（2）（3）（4）（5），
不妨设（1）（2）（3）（4）（5），
①当（3）时，因为（3）为奇数，
所以（3），
所以（1）（2）（3）（3）；
②当（3）时，因为（3）为奇数，
所以（3），
所以（4）（5）（3），
所以（1）（2）（3）（4）（5），
又因为（1），（2），（3）均为奇数，
所以（1）（2）（3）．
（Ⅲ）证明：①先证明数表中存在行列，其所有数的和大于等于0，
设，
由题意可知，
不妨设（1）（2）（3），
由于
，
所以；
②由①及题意，不妨设数表前行列，其所有数的和大于等于0，
下面考虑前行，证明存在行列，其所有数的和大于等于，
设，
则，
不妨设（1）（2）（3），
因为为个奇数的和，
所以为奇数，2，3，，，
．当时，因为为奇数，
所以，
所以；
．当时，因为为奇数，
所以，
所以，
所以；
③在②所设数表下，证明前行前列中存在行列，其所有数的和大于等于，
设，
则，
不妨设（1）（2）（3），
．当时，，
．当时，，
所以，
所以，
综上所述，对于任意“阶非负数表” ，均存在行列，使得这行列交叉处的个数之和不小于．
【点评】本题考查的是新定义问题，试题以求和的有关知识为背景设计问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
22．【分析】（Ⅰ）由数列通项公式分别气的前5项，代入即可求得（5），
（Ⅱ）充分性：由，数列的前项单调不增，即，去掉绝对值求得，再证明必要性，采用反证法，假设数列的前项不是单调不增，则存在使得，求得，与已知矛盾，即可证明的充分必要条件是数列的前项单调不增．
（Ⅲ）由当丨丨时，即数列为常数列，，当时的最大值：此时，，当时的最大值：此时．
【解答】解（Ⅰ），
，，，，，
（5）丨丨丨丨丨丨丨丨，
（5）．（2分）
（Ⅱ）充分性：若数列的前项单调不增，即，
此时有：．
必要性：反证法，若数列的前项不是单调不增，则存在使得，那么：
丨丨丨丨丨丨丨丨丨丨，
丨丨，
丨丨，
由于，，
．
与已知矛盾．（9分）
最小值为0．此时为常数列．（10分）
最大值为，
当时的最大值：此时，，，分
．
当时的最大值：此时．
由易证，的值的只有是大小交替出现时，才能让取最大值．
不妨设：，为奇数，，为偶数．当为奇数时有：
，
，
，
当为偶数时同理可证．（13分）
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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