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26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
华师大版 九年级下册
复习导入
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？
抛物线
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数 开口方向 对称轴 顶 点坐 标 Y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=ax2 a＞0
a＜0
y=ax2+k a＞0
a＜0
向上
Y轴
（0，0）
最小值是0
Y随x的增大而减小
Y随x的增大而增大
向下
Y轴
（0,0）
最大值是0
Y随x的增大而增大
Y随x的增大而减小
向上
Y轴
（0,k）
最小值是k
Y随x的增大而减小
Y随x的增大而增大
向下
Y轴
（0,k）
最大值是k
Y随x的增大而增大
Y随x的增大而减小
复习导入
小贴士
二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象的关系？
二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.
思考：函数的图象，能否也可以由函数平移得到？
新知讲解
解：先列表：
在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．
新知讲解
观察上述图象，说说它有哪些特征.
描点、连线，画出这两个函数的图象
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
新知讲解
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
通过图象,发现两条抛物线有何异同点
相同点？？？
不同点？？？
因为a相同,所以两条抛物线的开口方向,形状大小相同.
但上表可发现它们顶点和对称轴不同,也就是位置不同.
那同学们思考下，它们的位置有何关联呢？
新知讲解
函数y=(x-2)2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
函数y=(x-2)2的图象可由 y=x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=2.
顶点坐标
是点(2,0).
练一练
在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图象:
x
y
1.说出上述函数的开口方向，对称轴及顶点坐标；
2.结合图象，指出上述函数的性质及相互关系.
新知讲解
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
根据所画图象，填写下表：
思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
归纳总结
y=a(x－h)2 a＞0 a＜0
图象
开口方向
对称性
顶点坐标
增减性
开口向上
开口向下
关于直线x=h对称，即对称轴是直线x=h
顶点(h, 0)
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而减小；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y 随x的增大而增大.
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而增大；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y 随x的增大而减小.
当x=h时,y最小= 0
当x=h时,y最大= 0
二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质
h>0
h>0
h<0
h<0
做一做
在同一直角坐标系中，画出二函数 y=x2与y=(x+1)2的图象．
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· 2 0 2 ···
··· 2 0 2 8 ···
··· 8 2 0 2 ···
做一做
函数图象如下
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
新知讲解
抛物线 y=(x+1)2,y=(x-1)2与抛物线y=x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 .
右
y=(x+1)2
左
归纳总结
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
直线x=-h
直线x=h
由函数y=ax2得到函数y=a(x±h)2 (h>0)
向左平移
h个单位
y=a(x+h)2
左加
向右平移
h个单位
y=a(x－h)2
右减
括号内左加右减
练一练
1. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.若抛物线y=-x2向左平移2个单位,所得抛物线的解析式是________
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
想一想
1.画抛物线y=a(x-h)2的图象有几步？
2.抛物线y=a(x-h)2 中的a决定什么？怎样决定的？h决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向左（或向右）平移︱h︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；h决定对称轴，对称轴是x=h，顶点坐标(h，0)
课堂练习
1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(　　)
2.顶点是(－3，0)，开口方向、形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线对应的表达式为(　　)
A．y＝(x－3)2 B．y＝(x＋3)2
C．y＝－(x＋3)2 D．y＝－(x－3)2
D
B
课堂练习
3．已知A(－4，y1)，B (1，y2)两点都在二次函数y＝－3(x＋1)2的图象上，则y1，y2的大小关系为________．
4.将函数y＝x2的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y＝(x－4)2的图象，则a的值为________．
y1＜y2
4
课堂练习
5.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，
因此平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
课堂练习
6.如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
课堂练习
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
∵OB＝OA，∴B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
则抛物线对应的函数表达式为y＝－(x＋1)2.
课堂练习
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
解：过点C作CD⊥x轴于D.
将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，
得b＝－4，即C(－3，－4)，
∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝×3×(1＋4)－×4×2－×1×1＝3.
作业布置
1.课本24页第1、2、3
2. 关于抛物线y＝(x－1)2，下列说法错误的是(　　)
A．开口向上
B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
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26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学设计
课题 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1、掌握二次函数y=a(x-h)2的图象和性质; 2、掌握y=a(x-h)2和y=ax2的关系; 3、学会用本节知识去解决简单的数学问题;
重点 掌握二次函数y=a(x-h)2的图象性质；理解二次函数y=a(x-h)2和y=ax2之间的关系．
难点 探究函数图象性质的过程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.二次函数y=x2+k的图象是什么？ 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表： 3.二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象的关系？ 思考：函数的图象，能否也可以由函数平移得到？ 学生回顾，填空，思考问题。 复习旧知，归纳学习函数图象的步骤和方向，为本节新课奠定基础．
讲授新课 探究一、在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 解：先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象 观察上述图象，说说它有哪些特征. 通过图象,发现两条抛物线有何异同点 因为a相同,所以两条抛物线的开口方向,形状大小相同. 但上表可发现它们顶点和对称轴不同,也就是位置不同. 那同学们思考下，它们的位置有何关联呢？ 练一练： 在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像: ，， 1.说出上述函数的开口方向，对称轴及顶点坐标； 2.结合图象，指出上述函数的性质及相互关系. 思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质 做一做： 在同一直角坐标系中，画出二函数 y=x2与y=(x+1)2的图象． 解：先列表： 函数图像如下 抛物线 y=(x+1)2,y=(x-1)2与抛物线y=x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 。 归纳总结： 由函数y=ax2得到函数y=a(x±h)2 (h>0) 1.画抛物线y=a(x-h)2的图象有几步？ 2.抛物线y=a(x-h)2 中的a决定什么？怎样决定的？h决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较. 教师引导学生观察函数y=x2和y=(x-h)2的图象，研究一些特殊点的位置关系，让学生归纳. 让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑.可让学生完成填空。 小组合作交流，得出结论，并回答.最后教师归纳. 学生自主完成 投影答案，学生互评，寻找错误源头，对症下药 在学生画函数图象的基础上引导学生探索图象的性质，归纳出掌握函数的基本方法． 在特殊到一般的学习方法的过程中，引导学生发现函数图象性质与解析式的参数关系，并认识到几何画板等高科技的软件能够帮助我们解答问题. 让学生有自由时间完成习题，提高学生做题能力，通过互评培养学生互助精神，对症下药才能更有效解决问题.
课堂练习 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(　　) 2.顶点是(－3，0)，开口方向、形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线对应的表达式为(　　) A．y＝(x－3)2 B．y＝(x＋3)2 C．y＝－(x＋3)2 D．y＝－(x－3)2 3．已知A(－4，y1)，B (1，y2)两点都在二次函数y＝－3(x＋1)2的图象上，则y1，y2的大小关系为________． 4.将函数y＝x2的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y＝(x－4)2的图象，则a的值为________． 5.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 6.如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 22.1二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1、解析式与图象性质 2、二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
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26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图像和性质导学案
课题 26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图像和性质 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 会画出这类函数的图象，通过比较了解这类函数的性质．
重点难点 重点：画出函数的图象. 难点：比较了解这类函数的性质.
教学过程
知识链接 1、把抛物线向上平移（）个单位，就得到抛物线 ；把抛物线向下平移（）个单位，就得到抛物线 。 2、将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
合作探究 一、教材第11页 探究一、在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 解：先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象 二、教材第12页探索 根据所画图象，填写下表： 三、教材第12页概括 的图象的性质 当x 时，函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数值y随x的增大而增大;当x 时，函数取得最_______值, 最________值 y = . 四、教材第14页 在同一个平面直角坐标系中画出函数y=-(x+1)2与函数y=x2的图象，比较它们的联系和区别.说出函数y = -(x + 1)2的图象可以看成是由函数y=x2的图象经过怎样的平移得到的.由此讨论函数y =一(x + 1)2的性质 五、教材第13页 思考 在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像: ，， 1.说出上述函数的开口方向，对称轴及顶点坐标； 2.结合图象，指出上述函数的性质及相互关系.
自主尝试 1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 (　　) 图1 2.在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是 (　　) A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2 3.关于二次函数y=-(x-2)2的图象,下列说法正确的是 (　　) A.是中心对称图形 B.开口向上 C.对称轴是直线x=-2 D.顶点是(2,0) 【方法宝典】 根据二次函数y=a(x-h)2 的性质进行解题即可.
当堂检测 1.把一条抛物线向右平移3个单位后所得的抛物线的函数关系式为y=(x-1)2,则此抛物线的函数关系式为 (　　) A.y=x2-2 B.y=x2+2 C.y=(x-2)2 D.y=(x+2)2 2.顶点坐标为(-3,0),开口方向、形状与二次函数y=x2的图象相同的抛物线是 (　　) A.y=(x-3)2 B.y=(x+3)2 C.y=-(x-3)2 D.y=-(x+3)2 3.平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为(　　) A.(1,2) B.(1,-2) C.(5,2) D.(-1,4) 4.关于x的两个函数y=(x+h)2和y=h(x-1)(h≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 图2 5.二次函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将y=2x2的图象向　　　平移　　　个单位得到的,它的对称轴是直线　　　　,顶点坐标是　　　　. 6.已知点A(2,y1),B(a,y2)在函数y=-(x-1)2的图象上,其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1　 　y2(填“>”“<”或“=”). 7.二次函数y=-5(x+m)2中,当x<-5时,y随x的增大而增大,当x>-5时,y随x的增大而减小,则m=　　　　,此时,二次函数的图象的顶点坐标为　　　　,当x=　　　　时,y取最　　　　值,为　　　　. 8.已知二次函数y=2(x-1)2的图象如图3所示,则△ABO的面积是　　　　. 图3 9.已知二次函数y=2x2的图象是抛物线,若抛物线不动,将y轴向右平移2个单位,则在新坐标系下抛物线所对应的函数关系式是　　　　　　. 10.已知抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=-x2平移得到,且当x=2时,函数有最大值. (1)求此抛物线的函数关系式; (2)当x为何值时,y随x的增大而减小 11.已知函数y=(x-1)2,先画出函数图象,再根据图象回答下列问题: (1)求当-2≤x≤-1时,y的取值范围; (2)求当0≤x≤3时,y的取值范围. 12.把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h)2.若抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点是M. (1)求a,h的值; (2)求S△MAB的值. 13.已知P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内. (1)求抛物线的顶点坐标和m的值; (2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求△PQO的面积. 14.如图4所示,已知直线y=-x+2与抛物线y=a(x+2)2 相交于A,B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点. (1)请直接写出点A的坐标及该抛物线对应的函数关系式. (2)若P为线段AB上的一个动点(A,B两端点除外),连结PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l2与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围. 图4
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. D 2. B 3. C　 4. C　 5. 右　1　x=1　(1,0) 6. > 7. 5　(-5,0)　-5　大　0 8. 1 9. y=2(x+2)2 10.解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=-x2平移得到,∴a=-1. ∵当x=2时,函数有最大值,∴h=2,∴此抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2. (2)∵抛物线y=a(x-h)2有最大值, ∴该抛物线的开口方向向下. 又∵当x=2时,函数有最大值, ∴抛物线的对称轴是直线x=2, ∴当x>2时,y随x的增大而减小. 11.解:函数y=(x-1)2的图象如图所示. (1)当-2≤x≤-1时,y的取值范围是4≤y≤9. (2)当0≤x≤3时,y的取值范围是0≤y≤4. 12.解:(1)∵抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h)2, ∴a=-3,4-6=h, ∴h=-2. (2)∵抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,∴点A(4,0),B(0,-48). ∵抛物线y=-3(x-h)2的顶点是M,∴M(-2,0), ∴S△MAB=×|4-(-2)|×|-48|=144. 13.解:(1)抛物线的顶点坐标是(1,0). ∵P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点, ∴a=a(m-1)2,解得m=2或m=0. ∵点P在第一象限内,∴m=2. (2)∵a的值为3, ∴二次函数的关系式为y=3(x-1)2. ∵点P的横坐标为2, ∴点P的坐标为(2,3). ∵PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q, ∴点Q的纵坐标为3. 令3=3(x-1)2,解得x=2或x=0, ∴点Q的坐标为(0,3), ∴PQ=2, ∴S△PQO=×3×2=3. 14.解:(1)令x=0,则y=-x+2=2, ∴点A的坐标是(0,2). 将(0,2)代入y=a(x+2)2,得a=, ∴该抛物线对应的函数关系式为y=(x+2)2. (2)由(1)易知点M的坐标为(-2,0). 如图,P为线段AB上任意一点,连结PM,过点P作PD⊥x轴于点D.由点P的横坐标为x,可知点P的纵坐标为-x+2,即点P的坐标为,则在Rt△PDM中,PM2=DM2+PD2,即l2=(-2-x)2+=x2+2x+8,x的取值范围是-521世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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