资源简介

(共31张PPT)
§6.4.2 圆周运动的临界问题
R
1.临界点：物理变化过程中，物理规律或物理现象发生变化的转折点
2.题型简述：
做圆周运动的物体，转速变化时，出现绳子恰好拉直或断裂、接触面产生最大
静摩擦、弹簧或轻杆弹力方向发生变化等，从而出现临界问题。
3.方法突破——步骤：
（1）判断临界状态：有“恰好”字眼，表明题中有临界点；
两个临界点：有“取值范围”， 存在“起止点”，则两个临界点
一个临界点：有“最小”或“最大”，存在“起点”或“止点”则一个
（2）定临界条件：分析临界状态条件，写出对应数学表达式。
（3）选物理规律：根据临界条件，对先后的运动过程或现象，选物理规律求解
圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
1.当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势。判断某些待定力的有无和方向，如静摩擦力、绳的拉力等。
2.四种临界情况：
⑴接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
⑵相对滑动的临界条件：f静=fmax。
⑶ 断裂的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力，
⑷松驰与拉直的临界条件：FT＝0。
一、水平面内匀速圆周运动的临界问题
例题1、小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求当圆台角速度为多大时，小物块会发生相对滑动？
1静摩擦力提供向心力
恰好滑动时临界角速度ω0=___________,与质量无关
动摩擦因数μ越大ω0越_______即越不容易滑动。
半径R越大ω0越_______即越容易滑动。
大
小
特点:角速度增大的过程中，两物体先后达到最大静摩擦力，不是同时达到，临界角速度ω0小的_____滑动
先
叠加体特点:
上面物块临界角速度ω1=____________
若m1=m2,下面物块临界角速度ω2=_____________________
角速度增大的过程中，两物体先后达到最大静摩擦力，不是同时达到，临界角速度ω0小的_____滑动
先
例题2、小物块质量为m，放在光滑水平旋转圆台上，在细绳拉力作用下随圆台一起以角速度ω匀速转动，细绳长度为R,物块可看作质点，细绳拉力多大？
2.细绳拉力提供向心力
RA=2RB,mA=mB，求则细绳拉力之比
RA=3RB,求A、B质量之比
例题3、如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间动摩擦因数为μ（μ＜1），则转盘转动的角速度在什么范围内，物体B才能静止。
3.静摩擦力和拉力提供向心力
有细绳（或轻杆或弹簧）时:
细绳能够拉紧的条件为ωB>ωA,即_____________________，
B滑动时,即整体恰好滑动时吗μ1m1g+μ2m2g=m1 ω2R+m2 ω2r
若m1=m2,μ1=μ2=μ整体滑动临界角速度ω=_____________
例题4、小物块A、B质量为m1和m2，放在水平旋转圆台上，转动半径分别为R和r,A、B之间连接一细绳，恰好拉直，细绳延长线经过圆心，现A、B随圆台一起以角速度匀速转动，A、B和圆台之间动摩擦因数都为μ1和μ2，求当圆台角速度为多大时，A、B会发生相对滑动？
产生拉力的临界角速度为ω1=______
B滑动时即整体恰好滑动时,
对B: F拉-μmg=m ω2R, ①
对A: F拉+μmg=m ω22R ②
②-①得：2μmg=m ω22R-m ω2R=m ω2R
整体滑动临界角速度ω2=_____________
注意：同侧和异侧连接体模型的区别在于相对滑动的方向不同，从而使更靠近圆心的物体的静摩擦力方向由_____圆心到______圆心，静摩擦力的大小先______后______
RA=2RB=2R,μ相同，m相同，求滑动角速度
增大
减小
背离
指向
【例1】如图所示，细线长为1 m，系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点）， 另一端固定在一光滑锥体顶端，夹角θ为 37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，g取10 m/s2。求：
（1）小球恰好离开锥面时的角速度ω0至少为多大？
（2）若夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
⑴接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0
4.拉力和支持力提供向心力
【例2】如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：
（1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
（2）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
松驰与拉直的临界条件：FT＝0。
4.拉力和重力提供向心力
探秘“水流星”
“水流星”是我国传统的杂技节目，演员将盛水的容器用绳子拴住，在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作。
1、轻绳（或单轨道）——小球 组成无支撑模型
绳约束
单轨道约束
2.无支撑模型特点
（1）竖直平面内的圆周运动一般为变速圆周运动
（2）“轻绳”“单轨道”只能对小球产生拉力或向下的压力，不能产生支持力。
一般位置： 合力不等于向心力，向心力只是半径方向的分力
最高和最低点：重力和弹力方向相同，合力指向圆心，合力等于向心力。
二、竖直平面内的圆周运动的临界问题
3、无支撑模型最高点临界速度分析
（1）一般位置E：合力不指向_____，也不等于向心力，径向合力Fy=mgcosθ+FN
（2）供需平衡有：Fy=Fn，即mgcosθ+FN=mv2/R ，得FN=mv2/R - mgcosθ
（3）上行到最高点C的过程：v逐渐_____、mgcosθ逐渐_____、FN逐渐_____,
（4）到最高点时FN=mv2/R - mg，FN____，此时与mg共线，合力_____向心力，
方向指向圆心，此时切向分力为零，切向加速度为零。
（5）若FN最小为零，速度v也最小，有_____=mv2/R，
（6）临界速度：是否能够通过最高点最小速度vmin=_______
（7）若最高点v>_______时，FN≠0,有拉力或压力，方向竖直向下。
（8）若最高点v<_______时，在到最高点之前已脱离既定轨道作斜上抛。
★实例：球与绳连接、水流星、“过山车”等。
FN
G1
G
G2
v
圆心
减小
减小
增大
等于
最小
mg
4、无支撑模型一般位置到最低点动力学分析
（1）一般位置F：合力不指向_____，也不等于向心力，径向合力Fy=FN-mgcosθ
（2）供需平衡有：Fy=Fn，即FN - mgcosθ=mv2/R ，得FN=mv2/R + mgcosθ，
（3）下行到最低点D的过程：v逐渐_____、mgcosθ逐渐_____、FN逐渐_____,
（4）到最低点时FN=mg+mv2/R ，FN____，此时与mg共线，
合力_____向心力，方向指向圆心，加速度竖直向上，
超重，细绳最易断裂（或单轨道最易变形）。
圆心
增大
增大
增大
等于
最大
FN
G1
G
G2
v
（1）最高点弹力表达式：FN=mv2/r - mg
（2）FN - v2图像
5、无支撑模型最高点和最低点弹力与速度关系
（1）最低点弹力表达式：FN=mv2/R+mg
（2）FN - v2图像
斜率k=_____,
FN=0时，横截距v2=gr,此时为临界状态
斜率k=_____,
v2=0，纵截距FN=mg, 此时为平衡状态
m/r
m/r
【例1】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量
m=0.5kg，绳长L=60cm，求：（g=10m/s2）
（1）在最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
【例2】 如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A. 小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上
B. 小球通过最高点的速度可以等于0
C. 小球某位置线速度的大小可以小于
D. 小球任意位置线速度的大小总大于或等于
AD
1、轻杆（或管道）——小球组成有支撑模型
2.有支撑模型特点
（1）竖直平面内的圆周运动一般为变速圆周运动
（2）“轻杆”对小球既可产生向内拉力，也能产生向外支持力。
（3）“管道”外壁对小球能产生向内压力，“管道”内壁对小球能产生向外支持力，
但小球直径略小于管道直径，所以，压力和支持力不能同时产生。
一般位置： 合力不等于向心力，向心力只是半径方向的分力
最高和最低点：重力和弹力方向相同，合力指向圆心，合力等于向心力。
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上，
由牛顿第二定律得：
故
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的变化而变化。
2、有支撑模型最高点临界速度分析
（1）一般位置E：合力不指向_____，不等于向心力，
（2）最高点C：合力等于向心力，径向合力为Fy=mg±FN
（3）最高点供需平衡有：Fy=Fn，即mg±FN=mv2/R ，
若v=____, FN=___ ，则_____=mv2/R
若v<_____，需求减小，供给Fy=_______，FN为__________________________，
FN=mg - mv2/R ，FN随v增大而_______。
若v>_____，需求增大，供给Fy=_______，FN为_________或外壁的______，
FN=mg + mv2/R ,FN随v减小而_______若v=____, FN=___ ，此时处于平衡状态
（6）临界速度1：是否能够通过最高点速度v=______也是最小速度
（7）临界速度2：弹力方向变化的临界速度V=_____
mg-FN
杆的支持力(或内壁支持力）
圆心
减小
0
mg
压力
减小
mg+FN
杆的拉力
0
mg
0
G
内壁FN
外壁FN
v1
o
mg
FT
小球在最低点时：杆对小球产生竖直向上的拉力（若是管道则产生竖直向上的支持力）和无支撑模型相同
故：
（超重）
3、有支撑模型最低点动力学分析
4、在最高和最低点的FN－v2图线
1.最高点FN - v2图像
（1）表达式：mg±FN=mv2/R
以竖直向下为正方向，则 mg+FN=mv2/R，
得 FN=mv2/r - mg
2.最低点FN - v2图像
（1）表达式：FN=mv2/R+mg
（2）斜率k=_____,
（3）纵截距：v2=0，FN=mg, 此时为平衡状态
（4）规律：FN随速度增大一直增大
（2）斜率k=_____,
（3）横截距:v2=gr, 为弹力方向变化临界状态
（4）横截距:FN=-mg，为能否通过最高点临界状态
（5）规律：FN随速度的增大先减小后增大
m/r
m/r
【例 1】：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　 　）
A
BC
【例1】如图所示，一个质量为m的小球（可视为质点）以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧，经BCD从圆管的最高点D射出，恰好又落到B点。已知圆弧的半径为R且A与D在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ=60°，不计空气阻力。求：
（1）小球从A点做平抛运动的初速度v0的大小；
（2）小球在D点时的速度大小 ；
（3）在D点处小球对管壁的作用力 的大小和方向；
5、复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）
多过程运动的速度大小和方向是衔接前后运动过程的中间桥梁
竖直平面内圆周运动的临界问题
物理情景 图示 最高点临界等式 完整圆周运动最高点速度条件
细绳拉着小球在竖直平面内运动
小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动
小球固定在轻杆上在竖直面内运动
小球在竖直放置的光滑管中运动
FN=-mg，v=0
FN=-mg，v=0
v≥0
v≥0
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同，所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
总而言之：物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小合外力
mg
O
绳
mg
O
N
杆
mg
O
内轨道
mg
O
N
管道
◆临界总结◆
【例1】如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一长L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，求：小球通过最高点A时的最小速度为多大；
三、斜面内圆周运动临界问题的分析
【例2】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，物体与盘面间的动摩擦因数为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为37°，盘面上离转轴距离1m处有一小物体随圆盘一起转动，g取10 m/s2。
（1）若在最高点能随圆盘一起转动．则ω的取值范围？
（2）能够在最低点能随圆盘一起转动吗？若能够，则
求出范围，若不能，请说明原因。
【变式训练】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是（ ）
C

展开更多......

收起↑