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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第二章 方程与不等式
专题05 一元二次方程
【考纲要求】
1.理解一元二次方程的概念．2．熟练掌握一元二次方程的解法．3．会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.
【备考指南】
一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用 ( http: / / www.21cnjy.com )是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．
【考点总结】一、一元二次方程的概念
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
【注】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．
2．一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
要特别注意对于关于的方程，
当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．
例1、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)．
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
解析：一元二次方程必须是有一个未知数，并且是未知数的最高次数是2的整式方程，另外当x2的系数有字母时，要注意系数不能为零．21教育网
答案：A
判断一元二次方程的方法：
一元二次方程必须同时满足三个条件：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )是整式方程；(2)化简后只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据，缺一不可．21cnjy.com
【考点总结】二、一元二次方程的解法
一、直接开方法解一元二次方程　
1、直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 。21·cn·jy·com
例1、解方程．
解析：把x-3看作一个整体，直 ( http: / / www.21cnjy.com )接开平方，得
　　 　　x-3=7或x-3=-7．
　　　　 由x-3=7，得 x=10．
　　　　 由x-3=-7，得 x=-4．
　　　　 所以原方程的根为x=10或x=-4．
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方
程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就 ( http: / / www.21cnjy.com )是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．www.21-cn-jy.com
【针对训练】 1、；
2、 。
【答案】解：(1) 3x+2=±2（x﹣1），
∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2，
∴x1=﹣4；x2=0．
( http: / / www.21cnjy.com )　 　 (2) (x-2)=±5
　　 　　　∴x-2=5或x-2=-5
　　 　　　∴x1=7,x2=-3.2·1·c·n·j·y
二、配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤
一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3、三配：
①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、四解：
①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。
②分别解这两个一元二次方程，求出两根。
例2、解方程：．
【思路点拨】首先进行移项，得到x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．21·世纪*教育网
【答案与解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【针对训练】用配方法解方程.1、 2、
【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．
　　　　　 两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
　　　　　 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
　　　　　 解这个方程，得x-2=或x-2=-．
　　　　　 于是，原方程的根为x=2+或x=2-．
　　 　(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
　　　　　 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，
　　　　　 ∴ (x+3)2=1．
　　　　　 用直接开平方法，得x+3=±1，
　　　　　 ∴ x=-2或x=-4．www-2-1-cnjy-com
例3、（2018 甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式的值一定小于0．
【答案与解析】
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5
=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
例4、已知，求的值．
【思路点拨】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式．
【答案与解析】将原式进行配方，得
，
即，
∴ 且，∴ ，．
∴ ．
【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．
三、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值； ④判断【来源：21cnj*y.co*m】
例5、用公式法解下列方程．
(1) ； (2)； (3) ．
【答案与解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x==．
∴x1=，x2=．
(2)原方程化为一般形式，得．
∵，，，
∴．
∴，即，．
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．【出处：21教育名师】
【针对训练】用公式法解方程：（2018 武汉模拟）．
【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；
∴x=
=，
∴x1=，x2=．
例6、用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ； （3）．
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.
【答案与解析】
解：(1)∵2x2+x﹣2=0，
∴a=2，b=1，c=﹣2，
∴x===，
∴x1=，x2=．
(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=
（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．
∴b2﹣4ac=9+28=37.
x= = ，
解得 x1=，x2=．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．【来源：21·世纪·教育·网】
【针对训练】（2013 兰州）解方程：．
思路分析：利于求根公式x=来解方程．
解：关于x的方程x2-3x-1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-1，则
x═=，解得，x1=，x2=．2-1-c-n-j-y
点评：本题考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x= 来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义．【版权所有：21教育】
四、十字相乘法解一元二次方程
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。21教育名师原创作品
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：
①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。
②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
例7、解方程
分析：把x -8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=521*cnjy*com
例8、解一元二次方程：
解析：它的二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－3。
因为它的系数满足，，
所以用十字相乘法可将原式化为
例9、解一元二次方程：
解析：它的二次项系数为2，一次项系数为－7，常数项为6。
因为它的系数满足，
所以用十字相乘法可将原式化为
五、因式分解法解一元二次方程
例10、解方程：（1） （2）
解析：上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1）， 3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，
也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例11、解方程：1、 2、
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧 ( http: / / www.21cnjy.com )移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式21世纪教育网版权所有
解：（1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4
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