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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第三章 函数及其图象
【思维导图】
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专题08 一次函数
【考纲要求】
1．会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．理解一次函数的概念．4．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．5．会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.
【备考指南】
直角坐标系中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．一次函数是中考的重点，主要考查图象的性质及解析式的确定；中考题型有选择题、填空题、解答题以及与方程、不等式相结合的综合应用题。
【考点总结】一、平面直角坐标系与点的坐标特征
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．【来源：21·世纪·教育·网】
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2．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.21世纪教育网
3．坐标轴上的点的坐标的特征
点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.
【考点总结】二、特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．21cnjy.com
2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；
平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．
3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．
【考点总结】三、距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|；点P(a，b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即|a|.www-2-1-cnjy-com
(2)点P(a，b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即.
2．坐标轴上两点间的距离
(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.
(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.
(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝.[来
【考点总结】四、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
【考点总结】五、一次函数的图象与性质
1．一次函数的图象
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
2．一次函数图象的性质
一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
【考点总结】六、一次函数解析式的确定
常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是：
1．设出函数解析式；
2．根据已知条件求出未知的系数；
3．具体写出这个解析式．
【考点总结】七、一次函数与方程、方程组及不等式的关系
1．y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．21·世纪*教育网
2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx ( http: / / www.21cnjy.com )＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．21世纪教育网版权所有
3．一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．2-1-c-n-j-y
【考点】一、一次函数的图象与性质
例1、点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)是一次函数y＝－4x＋3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　)．21*cnjy*com
A．y1＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＝y2
解析：因为一次函数y＝－4x＋3中k＜0，根据其性质，y随x的增大而减小．所以当x1＜x2时，y1＞y2.
答案：A
解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意以下三点：
①一次函数图象分布特征与k，b的符号之间的关系；
②一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；
③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等．
【考点】二、求一次函数解析式
例2、娄底至新化高速公路的路基 ( http: / / www.21cnjy.com )工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y(m)与挖筑时间x(天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：
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(1)求在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式；
(2)求在x≥2时间段内，y与x的函数关系式；
(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m的路基工程，需要挖筑多少天？
解：(1)当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y＝kx，∴40＝k.∴y与x的函数关系式为y＝40x(0≤x＜2)．
(2)当x≥2时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由题意，得解之，得
∴y与x的函数关系式为y＝35x＋10(x≥2)．
(3)当y＝1 620时，35x＋10＝1 620，x＝46.
答：需要挖筑46天．
确定一次函数的函数关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数．根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可．21·cn·jy·com
【考点】三、一次函数与方程(组)、不等式的关系
例3、如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．www.21-cn-jy.com
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解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线y＝ax＋b与直线y＝kx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即2·1·c·n·j·y
答案：
两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】四、一次函数的应用
例4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
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(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为____分钟，小聪返回学校的速度为_千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
解：(1)15　
(2)由图象可知，s是t的正比例函数．
设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式s＝t(0≤t≤45)．
(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)．21世纪教育网21教育网
代入(30,4)，(45,0)，
得解得
∴s＝－t＋12(30≤t≤45)．
令－t＋12＝t，解得t＝.
当t＝时，s＝×＝3.
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
用一次函数解决实际问题的一般步骤为： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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