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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第三章 函数及其图象
专题09 反比例函数
【考纲要求】
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．3．能用反比例函数解决某些实际问题.
【备考指南】
反比例函数是中考命题热点之一，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．
【考点总结】一、反比例函数的概念
一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.21教育网
【考点总结】二、反比例函数的图象与性质
1．图象：反比例函数的图象是双曲线．
2．性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．21cnjy.com
函数 反比例函数
解析式
图象形状 双曲线
K>0 位置 第一、三象限
增减性 y随x的增大而减小
K<0 位置 第二、四象限
增减性 y随x的增大而增大
【考点总结】三、反比例函数的应用
1．利用待定系数法确定反比例函数解析式
根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式．21世纪教育网21·cn·jy·com
2．反比例函数的实际应用
解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．www.21-cn-jy.com
【考点】一、反比例函数的图象与性质
例1、已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是(　　)．
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析：∵－k2－1＜0，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y1＞0.【来源：21·世纪·教育·网】
∵2＜3，∴y2＜y3＜0.∴y1＞y3＞y2.
答案：B
1．由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．
2．在比较双曲线上两点的横 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标或纵坐标的大小关系时，若两点在同一个象限内，可以根据其增减性来加以判断；若两点不在同一个象限内，可以通过比较正、负来判断．21·世纪*教育网
【考点】二、反比例函数解析式的确定
例2、如图，直线y＝2x与反比 ( http: / / www.21cnjy.com )例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，
∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)．21世纪教育网
∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2.
∴这个反比例函数的解析式为y＝.
反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．21世纪教育网版权所有
【考点】三、反比例函数与一次函数的综合运用
例3、如图所示，在直角坐标系中，点A ( http: / / www.21cnjy.com )是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax＋b的图象经过A，C两点，并交y轴于点D(0，－2)，若S△AOD＝4.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．
分析：点A是直线与双曲线的交点，求出点A的坐标是解决问题的关键．点A的坐标可由点D的坐标及△AOD的面积求得．2·1·c·n·j·y
解：(1)作AE⊥y轴于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△AOD＝4，OD＝2，21世纪教育网
∴OD·AE＝4.∴AE＝4.
∵AB⊥OB，C为OB的中点，
∴∠DOC＝∠ABC＝90°，OC＝BC，∠OCD＝∠BCA．
∴Rt△DOC≌Rt△ABC．
∴AB＝OD＝2.∴A(4,2)．
将A(4,2)代入y1＝中，得k＝8，∴y1＝.
将A(4,2)和D(0，－2)代入y2＝ax＋b，
得解之，得∴y2＝x－2.
(2)在y轴的右侧，当y1＞y2时，0＜x＜4.
反比例函数与一次函数的综合题，主要利用与坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )轴围成的图形考查线段、面积等知识，解决这类问题的关键是从两个函数图象的交点坐标入手，通过求反比例函数与一次函数的解析式，使问题得以解决．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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