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北师大七年级上学期 初中数学一年级难点：一元一次方程 七大行程问题奥妙在这里
对于一元一次方程这一章，是不少同学心中的一个难点。本来我已经写过一篇《初中数学学习笔记七上05一元一次方程（数学思想、学习技巧归纳）》的文章，但可能有点粗略。最近很多学生刚上完这一章，还是直呼：“好难！”因为一元一次方程是二元一次方程的基础，必须打好。今天我们再一次就一元一次方程中的行程问题做一次详细的讲解吧。
一、基本原理、方法和步骤
1.1、基本公式或原理
路程 = 速度×时间
速度 = 路程÷时间
时间 = 路程÷速度
看，其实追及相遇问题就是翻来覆去用这个公式。
1.2、用一元一次方程解决实际问题的方法和步骤为：
①找出等量关系式 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验。这五步，可以简化为五个字：“找、设、列、解、检”来记忆。
1.3、找等量关系
用一元一次方程解决实际问题，最关键也是最要的，就是第一步“找等量关系”，那么对于行程问题，我们可以发现通常有以下等量关系：
1）相遇问题即相向而行，等量关系：双方所走路程之和＝全部路程；
2）追及问题即同向而行，等量关系：双方行程的差＝原来的路程(开始时双方相距的路程) = 追赶者走的路程 - 被追赶者走的路程.
3）航行问题（飞行问题）
船的航行问题，等量关系：
①船在静水中速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中速度－水速＝船的逆水速度。
飞机的飞行问题，等量关系：
①飞机的飞行速度＋风速＝飞机顺风时的速度；②飞机的飞行速度-风速＝飞机逆风时的速度；
环形跑道问题： ①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，等量关系：快的 - 慢的 = 多跑一圈或几圈的路程。②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，等量关系：双方所跑路程之和 = 环形跑道一圈的长度。
往返问题，等量关系：去时路程 = 回时路程
6）回声问题，等量关系：声音速度×时间 = 声音从发出地至碰到障碍物再返回声音接收地路程之和。
7）接力问题，等量关系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量
二、例题详解
2.1、相遇问题
例1、甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后3 h两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60 km，相遇后再经1 h乙到达A地．
(1)甲、乙两人的速度分别是多少？
(2)两人从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距20 km
解：(1)解法一：设甲的速度为x km/h，易得乙的速度为(x＋20)km/h.
根据题意，得3x＋3(x＋20)＝4(x＋20)，
解得x＝10.
则x＋20＝30.
答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.
解法二：设相遇时乙行了3ykm，那么甲行了ykm
根据题意：3y-y = 2y =60
解得y=30km
所以甲的速度为30÷3=10km/h，乙的速度为30 km/h.
(2)设经过t h两人相距20 km.
①相遇前相距20 km时，可得方程10 t＋30 t＋20＝4×30，
解得t＝2.5；
②相遇后相距20 km时，可得方程10 t＋30 t＝4×30＋20，
解得t＝3.5.
答：经过2.5 h或3.5 h两人相距20 km.
2.2、追及问题
例2、甲、乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶88千米.两列火车同时开出，同向而行，慢车在前，快车在后，问经过几小时快车追上慢车？
解：设经过x小时，快车追上慢车.(88－48)·x＝360，x＝9.所以经过9小时快车追上慢车
2.3、航行问题
例3、一艘船航行于A，B两码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离.
解：设船在静水中的速度为x千米/时，3(x＋4)＝5(x－4)，x＝16.则3×(16＋4)＝60(千米).所以这两个码头之间的距离为60千米.
2.4、环形跑道问题
例4、甲、乙二人在300m长的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.
(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇？
(2)如果甲、乙二人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？
解：(1)设甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依题意，得7×2＋7x＋6x＝300，解得x＝22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.　
(2)设经过ys后，乙能首次追上甲，依题意，得7y－6y＝300，解得y＝300.因为乙跑一圈需s，所以乙跑了300÷()＝7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.
例5、甲、乙两人在操场上练习竞走，已知操场一周为300m，甲每分钟走100m，乙每分钟走60m，现在两人同时同地同向出发xmin后第一次相遇，则下列方程中错误的是(　　)
A. (100－60)x＝300 B. 100x＝300＋60x
C. D. 100x＋300＝60x
答案：D
2.5、往返问题
例6、春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为
解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为（x+25）千米/小时，
依题意，得：
故答案为：
2.6、回声问题
例7、一辆货运小汽车以15米/秒的速度向对面山谷行驶，司机鸣一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷（ ）米（已知空气中声音的传播速度约为340米/秒）
解：设此时汽车离山谷x米，
声音从发出地至碰到障碍物再返回声音接收地路程之和= 2x + 4×15
声音速度×时间 = 340×4
根据等量关系有：2x + 4×15 = 340×4
解得x= 650米
2.7、接力问题
例8、某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共用时20天．已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
解：设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天．
由题意，得24x＋16(20－x)＝360，
解得x＝5.
所以乙工程队整治了20－5＝15(天)．
甲工程队整治的河道长为24×5＝120 (m)，
乙工程队整治的河道长为16×15＝240 (m)．
答：甲、乙两个工程队分别整治了120 m，240 m的河道．
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