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数列求和（简）
题型一、公式法
理论基础：
1.等差数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，；
②当q≠1时，
3.常见的数列的前n项和：
①++…=；
②++…=。
例1.（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））数列满足，求数列的前项和的最小值.
变式1.（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，设，求数列的前n项和.
作业1.（2021·宁夏银川市）已知数列是一个公差为的等差数列，前项和为，，，，成等比数列，且，求数列的前10项和.
题型二、裂项相消
理论基础：
1．；
2.，特别地当时，；
3.；
4.；
5.；
6.)=.
例2-1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，求数列的前项和.
例2-2.（2022·全国·高三专题练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99
变式2-1.已知，求其前项和．
作业2-1.（2021·重庆·西南大学附中高三月考）等差数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，求数列{}的前n项和.
作业2-2.（2021·全国·高二课时练习）数列的通项公式，它的前项和，求n的值.
作业2-3.（2021 河南模拟）已知数列满足，，则数列的前项和为　　．
题型三、错位相减
理论基础：
对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，就用错位相减法求和。（解题方法：乘公比再作差）
例3.（2021 鼓楼区校级开学）已知数列的前项和为，且，且，求数列的前项和．
变式3-1.（2021·福建·福清西山学校高三月考）设数列满足.
（1）求和的值.
（2）求数列的通项公式.
（3）令，求数列的前n项和.
变式3-2.（2021·浙江杭州·高三期中）已知数列，，且满足.数列满足，数列的前项和为，求数列的通项公式.
作业3-1.（2021·重庆八中高三月考）在①，，②，③，，这三个条件中任选一个，补全下列试题后并完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）
设等差数列的前n项和为，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项的和.
作业3-2．（2021·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
题型四、分组求和法
理论基础：
对于求数列的和，其中分别为易于求和的数列（一般为等差或等比数列），就用拆项分组法求和。
例4.（2021秋 宝山区校级月考）已知数列满足，，，若，求的前项和．
变式4.（2021·重庆一中高三月考）设是等比数列的前项和，其公比，且，，设，求数列的前项和.
作业4.（2021·江西·临川一中高三月考（理））已知等差数列和等比数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
题型五、倒序相加
理论基础：
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（），其中一般是定值。这也是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。
例5.（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为________.
变式5-1.（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值
作业5-1．（2021秋 北碚区校级月考）已知函数对任意都有．
（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）设，，求数列的前项和．
作业5-2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值
题型六、绝对值型
理论基础：
绝对值型实际就是一个去绝对值的过程，绝对值的临界值就是分类讨论的点。
例6.（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，求数列的前n项和.
变式6．（2021·浙江宁波·高三月考）已知数列为等差数列，数列满足，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和．
作业6．（2020·江苏·苏州新草桥中学高二月考）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
题型七、并项（奇偶）求和
理论基础：
一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．而对于前n项求和，涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性。
例7.求
变式7．（2021·河南郑州·高二期中（理））已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
作业7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））已知数列的前项和满足，数列是等比数列，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
试卷第10页，共10页数列求和（简）
题型一、公式法
理论基础：
1.等差数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，；
②当q≠1时，
3.常见的数列的前n项和：
①++…=
②++…=
例1.（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））数列满足，求数列的前项和的最小值.
【详解】令，则，所以当时，数列的前项和最小，
，所以数列的前项和的最小值为.
变式1.（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，设，求数列的前n项和.
【解析】易知，所以，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
作业1.（2021·宁夏银川市）已知数列是一个公差为的等差数列，前项和为，，，，成等比数列，且，求数列的前10项和.
【解析】由a2、a4、a5成等比数列得：，即，又∵d≠0，可得；而，解得，所以，
即数列{an}的通项公式为．因为，所以，
令，则为常数，∴{cn}是首项为，公差为的等差数列，
所以的前10项和为．
题型二、裂项相消
理论基础：
1．；
2.，特别地当时，；
3.；
4.；
5.〔〕；
6.)=.
例2-1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，求数列的前项和.
【详解】由题意，数列是公比为的等比数列，故，即，
故数列是公差的等差数列。由于，，成等比数列，故，
即，，.
例2-2.（2022·全国·高三专题练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99
【详解】因为，所以
.
变式2-1.已知，求其前项和．
【解答】，
．
作业2-1.（2021·重庆·西南大学附中高三月考）等差数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，求数列{}的前n项和.
【详解】（1）由为等差数列，设其公差为d，则由，可得，
又，解得或，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，所以的通项公式为.
则，所以，所以{}的前项和为：
.
作业2-2.（2021·全国·高二课时练习）数列的通项公式，它的前项和，求n的值.
【详解】数列的通项公式，则．解得．
作业2-3.（2021 河南模拟）已知数列满足，，则数列的前项和为　　．
【解答】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，
因为，
所以的前项和．
题型三、错位相减
理论基础：
对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，就用错位相减法求和。（解题方法：乘公比再作差）
例3.（2021 鼓楼区校级开学）已知数列的前项和为，且，且，求数列的前项和．
【解答】依题意，当时，由，可得，两式相减，得，
又，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，．，
则，，
两式相减，得，
．
变式3-1.（2021·福建·福清西山学校高三月考）设数列满足.
（1）求和的值.
（2）求数列的通项公式.
（3）令，求数列的前n项和.
【详解】（1）当时，，当时，，所以.
（2）由数列满足.
可得，，，，，
相加可得，
所以，所以数列的通项公式为.
（3）由，可得，
则，
两式相减，可得，
所以.
变式3-2.（2021·浙江杭州·高三期中）已知数列，，且满足.数列满足，数列的前项和为，求数列的通项公式.
解：由得，从而，由知是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，从而；
令，由题意知的前和为，当时，，
当时，，满足，
所以，从而
.
设，，
两式相减得，即.
又，所以
作业3-1.（2021·重庆八中高三月考）在①，，②，③，，这三个条件中任选一个，补全下列试题后并完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）
设等差数列的前n项和为，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项的和.
解：（1）若选①，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为；
若选②，当时，由得，所以，
当时，满足，所以数列的通项公式为；
若选③，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为.
解：（2）由（1）得，所以，所以
，
所以，上面两式相减得：
，所以.
作业3-2．（2021·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
解：（1）方法1：设数列的公差为d，由题意得：，解得，，故；由可得：，即有或（舍），从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得；
（2）由（1）得，①，②，
①②得：，
故．
题型四、分组求和法
理论基础：
对于求数列的和，其中分别为易于求和的数列（一般为等差或等比数列），就用拆项分组法求和。
例4.（2021秋 宝山区校级月考）已知数列满足，，，若，求的前项和．
【解答】，，可得，，即有是首项为2，公比为3的等比数列，则，则，；，
．
变式4.（2021·重庆一中高三月考）设是等比数列的前项和，其公比，且，，设，求数列的前项和.
解：由题设知，解得（舍去），∴；
，所以.
作业4.（2021·江西·临川一中高三月考（理））已知等差数列和等比数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
解：（1）令等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题知：
，解得，所以，
∴，∴，∴；
（2）由（1）知，∴
.
题型五、倒序相加
理论基础：
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（），其中一般是定值。这也是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。
例5.（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为________.
【详解】因为函数满足，①，
②，由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
变式5-1.（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值
【详解】，，
设，则，
两式相加得，因此，.
作业5-1．（2021秋 北碚区校级月考）已知函数对任意都有．
（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）设，，求数列的前项和．
【解答】（1）在中，令得
（2），
根据，（1），，，。
（3），
.
作业5-2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值
【详解】函数，设，则有，
所以，所以当时，，
令，
所以，
故．
题型六、绝对值型
理论基础：
绝对值型实际就是一个去绝对值的过程，绝对值的临界值就是分类讨论的点。
例6.（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，求数列的前n项和.
【详解】当时，，即，
当时，， 时，满足上式，所以。
（2）由得，而，所以当时，，当时，，
当时，，
当时，
，
所以
变式6．（2021·浙江宁波·高三月考）已知数列为等差数列，数列满足，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和．
【详解】（1）数列为等差数列，，，则，，，，
（2），设，为数列的前n项和，则有：
，（*）
，（**）
（*）式-（**）式，得
．
当时，；
当时，，
即
作业6．（2020·江苏·苏州新草桥中学高二月考）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【详解】（1）是和的等比中项，所以，即，
又由，即，整理得，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
当时，，所以，
当时，记数列的前项和为，则，
所以，综上得：.
题型七、并项（奇偶）求和
理论基础：
一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．而对于前n项求和，涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性。
例7.求
解：当n是偶数时，
。
当n是奇数时，
。
综上，。
变式7．（2021·河南郑州·高二期中（理））已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
又，∴数列是首项为2，公比为的等比数列，
由，，成等比数列，可得，
即，
∴，∴；
（2）由上可得，
∴.
作业7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））已知数列的前项和满足，数列是等比数列，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【详解】（1）当时，,由题得，，
两式相减得，适合.
所以数列的通项公式为.
设等比数列的公比为，由题得，
所以数列的通项公式为.
（2）
所以
试卷第10页，共11页

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