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数列通项公式
方法一 公式法
题型形式：已知数列为等差（等比）.
理论公式：1.等差数列通项公式:.
2.等比数列通项公式:.
解题方法：1.求（公差）公比；2.直接应用公式.
例1.（四川省遂宁市射洪中学2021高三月考数学（文科））已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，求的通项公式；
【详解】因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，
所以即，解得，所以
变式1.（2020·安徽·高三月考（文））设数列的前n项和为，若，且，（且），求，并求出数列的通项公式；
【详解】，因为，所以数列是等差数列，所以首项是1，公差是1，，即，所以（时），显然也符合．
所以．
作业1-1．（2021·全国·高三专题练习）数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且成等比数列，求数列{an}的通项公式；
【详解】由成等比数列，有，即，因为有，所以有，解得，（舍），数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以.
作业1-2.（2021·全国·高二专题练习）在数列中，若，，，求数列的通项.
【详解】∵，∴数列是等差数列，又且，∴，故．
方法二 与递推关系式
题型形式：已知或
理论公式：.
解题方法：1.当时，求的表达式；
2.，求出或者；
3.求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.
例2.已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式．
【解答】，时，，
时，．，，，．
变式2-1．（2021·河南郑州市·高三二模）已知数列满足，，求数列的通项公式
【解析】由，，①可得时，，②
由①②可得，化为，
即，可得，上式对也成立，
则数列的通项公式为，；
变式2-2.（自编）已知数列中，，，的前项和为，且满足（），试求数列的通项公式；
【详解】由题意知（n≥3），
即（n≥3），当n=2时，满足式子，所以.
作业2-1．（2022·北京东城·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，若，求数列.
【详解】因为，所以，，所以，解得，则.
因为满足上式，所以.因为，所以
作业2-2.（2021·云南）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式。
解：①，当时，解得，
当时，②，
减②；
则是以为首项，为公比的等比数列。
作业2-3.（2021·浙江·模拟预测）设是数列的前项和，，且，，，求证：数列为等差数列.
【详解】当时，由，可得，
即，整理得，
则数列从第二项起成等差数列．因为，，，所以，符合上式，所以数列是等差数列．
方法三 累加法
题型形式：型如或.
理论公式：.
解题方法：1.题目写出的形式；
2.写出，并将它们累加起来；
3.得到的值，解出；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例3．数列满足，，求数列 的通项公式.
【解答】，，，
；；；，
以上等式相加，得，
把代入上式得，，
变式3.（2021·全国高三）在数列中，，，则数列的通项公式
解：由题意得，，则，…，，由累加法得，，
即，则，所以。
作业3-1.（2021春 湖北期中）设数列满足，，求数列的通项公式；
【解答】数列满足，．所以：，，，
利用累加法：，整理得：，（首项符合通项），故．
作业3-2.（2021 梅河口市校级模拟）设数列满足，，则_____.
【解答】数列满足：，，
．．
方法四 累乘法
题型形式：型如或
理论公式：.
解题方法：1.题目写出的形式；
2. 写出，并将它们累乘起来；
3. 得到的值，解出；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例4.（2021 重庆三模）若数列满足：，，求的通项公式．
解：因为，，
所以，所以；；；；
，所以，当时也成立．
变式4.（2021 眉山模拟）已知数列的前项和为，且，，，求.
【解答】，①，②，
①②得：，整理得：，
，
又，符合上式，．
作业4-1．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，，求数列通项公式.
【详解】，，，
，.
作业4-2.作业4-1.（2021 江苏二模）已知数列的首项为1，等比数列满足，且，则的值为　　．
【解答】，且，得，，，，，
．，
，，
方法五 前n项和（积）法
题型形式：具有一定通项公式的前n项相加得到.
理论公式：.
解题方法：1.令题中通项和为；
2. 写出的表达式；
3.利用 求；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例5.（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
【详解】因为①
所以当时，，可得；
当时，，②
①-②得，所以，
当时也满足上式，所以的通项公式为.
变式5．（2021·福建·上杭一中模拟预测）已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足，求数列的通项公式.
【详解】当时，，得．当时，
由①，得
②，
①②得，∴
当时，得；当时，由．
又也满足上式，所以．
作业5.（2021 银川二模）已知数列满足，且，求.
【解答】，①
，②
①②得：，整理得：，，又，
数列是以1为首项，1为公比的等比数列，。
方法六 构造法（1）
题型形式：型如（其中为常数，且
解题方法：1.假设将递推公式改写为；
2.由待定系数法，解得；
3.得到数列的通项公式；
4.得到数列通项公式.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【详解】由得，所以数列是等比数列，公比为，
解得.
变式6.（2021·新安县第一高级中学）已知数列前项和是，且，设，求数列的通项公式.
【解析】当时，，可得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；
作业6-1．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式.
【详解】由得，所以，又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.
作业6-2．（2021·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列的前项和为，，，求；
【详解】由已知，整理得，
所以，当时，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.
方法七 构造法（2）
题型形式：型如（其中为常数，且）
解题方法：1.假设将递推公式改写为；
2.由待定系数法，求出的值；
3.写出数列的通项公式；
4.写出数列通项公式.
例7．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，
因为，故即，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则，故.
变式7．（2022·河北·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，证明数列为等差数列，并由此求出通项公式.
【详解】数列的前项和为，，，所以，
所以，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．
作业7-1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，求数列的通项公式.
解：因为，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，所以.
作业7-2.在数列中，，，求通项公式．
【详解】设．当代入上式比较系数得，．于是,，
令，则是公比为2，首项为的等比数列，所以，故．
方法八 构造法（3）
题型形式：型如（其中为常数，且）
解题方法：1.在递推公式两边同除以，得；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式.
例8．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式.
解：由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即
变式8．（2021·河北·衡水第一中学高三月考）设数列的前项和为，已知，且,证明为等比数列，并求数列的通项公式.
【详解】由题知，，则，
则，从而有，，又，即，
满足，则，故为以为首项，为公比的等比数列，则，故
作业8-1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝3Sn＋3n＋1，求数列的通项公式.
【详解】an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，从而，即bn＋1－bn＝，
又b1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以bn＝.
作业8-2．（2021·全国·高三专题练习）（1）在数列中，，，求通项公式；
【详解】设，比较系数得，．
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2．
，即．
方法九 构造法（4）
题型形式：型如或者（其中为常数）
解题方法：1.将递推公式两边取倒数或者同时除以得；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式.
例9.（2021·宁夏长庆高级中学）已知数列满足，，求数列的通项公式；
【解析】由，得，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，.
变式9．（2019·安徽·合肥一中高三月考（理））已知数列的前n项和为，，且当时，，求数列的通项公式.
【详解】因为当时，，
故可得，故可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，
故可得，解得；故当时，故可得；
又，不满足上式，故可得
作业9-1．（2020·全国·高三月考（理））已知数列满足，且，求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则有，所以.
作业9-2.（2021·全国·高二单元测试）在数列中，，点在函数的图象上，求数列的通项公式.
【详解】因为点在函数的图象上，所以，可归纳出数列的一个通项公式为.
方法十 构造法（5）
题型形式：型如（其中为常数）
解题方法：1.将递推关系式写成；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式（利用方法三或者方法六或者方法八）.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，因此，
因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：，
因为，所以；又符合上式，所以.
变式10．（2021·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式.
【详解】由得：，
令，则上式为．
因此是一个等差数列，，公差为1，故．
由于，
又，，即．
作业10．已知数列满足，，且，，求数列的通项公式.
【详解】令，则，而，∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，∴，又，∴.
方法十一 构造法（6）
题型形式：型如（其中为常数）
解题方法：1.将递推关系式写成；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式（利用方法三或者其他构造法）.
例11．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}满足，a2-a1=1.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若a1=，求数列{an}的通项公式.
【详解】（1）依题意，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得，所以，
所以
.即.
变式11.(浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶)在数列中，，，，求的通项公式；
【详解】由得，，又，
所以数列为首项为3，公比为4的等比数列，故，
又，则有，
所以当为奇数时，
，
当为偶数时，，
经验证均符合，
故；
作业11-1．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列中，，为数列的前项和，当时，．
（1）证明：数列|为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【详解】（1）因为当时，，所以，
两式相减，得，即．
易知，又，所以，则，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，
得，所以．
作业11-2.（2021年八省联考）已知各项都为正数的数列满足,（1）证明：数列为等比数列；（2）若=，=，求的通项公式。
【解答】证明：（1）各项都为正数的数列满足，
得，，所以数列是公比为3的等比数列；
（2）因为，，所以，
由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，
于是，，所以，即，也符合．故．
方法十二 取对法
题型形式：型如
解题方法：1.对递推公式两边取对数，且令，转化为；
2.求出数列的通项公式（利用方法6）；
3.求出数列通项公式.
例11.(湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考)已知数列，，.求数列的通项公式；
在数列中，，，则，，，，
对任意的，.在等式两边取常用对数，可得，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，；
变式11．（2021 蚌埠三模）已知数列满足，若，求.
【解答】数列满足，．，
，变形为：，．
数列是等比数列，首项为，公比为．．
作业12-1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列，，，求.
【详解】因为，所以，即，
所以，，
所以，
所以，又，所以，所以
作业11-2．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式.
【详解】且，，，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
，，…，，
各式相加可得：，，；
方法十三 因式分解型
题型形式：题中涉及，多数能因式分解.
解题方法：1.合并同类项；
2.提取公因式；
3.约分；
4.得到前面构造法的形式；
5.利用构造法求
例13.（2021·全国·高二课时练习）设{an}是首项为1的正项数列且，求{an}.
【详解】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.
因为{an}是首项为1的正项数列，故an＋1+an为正数，故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝，
所以an＝a1·＝1.
且当时，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)．综上可知， an＝n(n∈N*)．
变式13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，,且，证明：数列是等比数列；
【详解】证明：∵＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，，∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
作业13-1．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．
【解答】，，
化为：，，，化为：，．
数列是等比数列，首项为4，公比为2．，可得．
作业13-2.（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，，且，求数列的通项公式
【详解】由，则，，两式相减可得
，，
又，所以，即，所以数列为等差数列，
当时，，所以，所以；
方法十四 整体构造
题型形式：无固定模式，需要做题并不断积累.
解题方法：一般有以下解决方法：
递推关系式左右同时取倒数;
递推式同时除以或者等；
递推关系式左右同时加一个常数再取倒数等；
数学思想：利用函数思想将一堆看成整体进行解题.
例14-1.（2021秋 凌源市期末）已知首项为1的正项数列，，求数列的通项公式.
【解答】由题得，，即，所以，所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．
例14-2.（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【详解】，
两边取倒数得：，
令，则,可得，又
所以数列是首项为，公比为3的等比数列
，故，即，解得.
变式14-1.（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列中，，求数列的通项公式.
【详解】显然，由，两边同除以，得，化简得即
所以是首项为4，公差为2的等差数列，故，所以．
变式14-2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【详解】由，得，又，所以当时，
，
又也满足上式，所以；
作业14-1.（2021·全国·高三开学考试（理））已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.
【详解】∵，，∴，，又，
∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，故.
作业14-2.（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）已知数列中，，前n项和为，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
证明：因为，所以，
所以，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，所以，
当时，，
当时，等式也成立，所以；
作业14-3.（2021·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
【解析】当时，由得，
当时，由有，
所以，，则，
又．所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．
，所以．
当时，．
当时，也满足．∴数列的通项公式为．数列通项公式
方法一 公式法
题型形式：已知数列为等差（等比）.
理论公式：1.等差数列通项公式:.
2.等比数列通项公式:.
解题方法：1.求（公差）公比；2.直接应用公式.
例1.（四川省遂宁市射洪中学2021高三月考数学（文科））已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，求的通项公式；
变式1.（2020·安徽·高三月考（文））设数列的前n项和为，若，且，（且），求，并求出数列的通项公式；
作业1-1．（2021·全国·高三专题练习）数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且成等比数列，求数列{an}的通项公式；
作业1-2.（2021·全国·高二专题练习）在数列中，若，，，求数列的通项.
方法二 与递推关系式
题型形式：已知或
理论公式：.
解题方法：1.当时，求的表达式；
2.，求出或者；
3.求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.
例2.已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式．
变式2-1．（2021·河南郑州市·高三二模）已知数列满足，，求数列的通项公式
变式2-2.（自编）已知数列中，，，的前项和为，且满足（），试求数列的通项公式；
作业2-1．（2022·北京东城·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，若，求数列.
作业2-2.（2021·云南）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式。
作业2-3.（2021·浙江·模拟预测）设是数列的前项和，，且，，，求证：数列为等差数列.
方法三 累加法
题型形式：型如或.
理论公式：.
解题方法：1.题目写出的形式；
2.写出，并将它们累加起来；
3.得到的值，解出；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例3．数列满足，，求数列 的通项公式.
变式3.（2021·全国高三）在数列中，，，则数列的通项公式
作业3-1.（2021春 湖北期中）设数列满足，，求数列的通项公式；
作业3-2.（2021 梅河口市校级模拟）设数列满足，，则_____.
方法四 累乘法
题型形式：型如或
理论公式：.
解题方法：1.题目写出的形式；
2. 写出，并将它们累乘起来；
3. 得到的值，解出；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例4.（2021 重庆三模）若数列满足：，，求的通项公式．
变式4.（2021 眉山模拟）已知数列的前项和为，且，，，求.
作业4-1．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，，求数列通项公式.
作业4-2.（2021 江苏二模）已知数列的首项为1，等比数列满足，且，则的值为　　．
方法五 前n项和（积）法
题型形式：具有一定通项公式的前n项相加得到.
理论公式：.
解题方法：1.令题中通项和为；
2. 写出的表达式；
3.利用 求；
4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例5.（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
变式5．（2021·福建·上杭一中模拟预测）已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足，求数列的通项公式.
作业5.（2021 银川二模）已知数列满足，且，求.
方法六 构造法（1）
题型形式：型如（其中为常数，且
解题方法：1.假设将递推公式改写为；
2.由待定系数法，解得；
3.得到数列的通项公式；
4.得到数列通项公式.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
变式6.（2021·新安县第一高级中学）已知数列前项和是，且，设，求数列的通项公式.
作业6-1．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式.
作业6-2．（2021·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列的前项和为，，，求；
方法七 构造法（2）
题型形式：型如（其中为常数，且）
解题方法：1.假设将递推公式改写为；
2.由待定系数法，求出的值；
3.写出数列的通项公式；
4.写出数列通项公式.
例7．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
变式7．（2022·河北·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，证明数列为等差数列，并由此求出通项公式.
作业7-1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，求数列的通项公式.
作业7-2.在数列中，，，求通项公式．
方法八 构造法（3）
题型形式：型如（其中为常数，且）
解题方法：1.在递推公式两边同除以，得；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式.
例8．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式.
变式8．（2021·河北·衡水第一中学高三月考）设数列的前项和为，已知，且,证明为等比数列，并求数列的通项公式.
作业8-1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝3Sn＋3n＋1，求数列的通项公式.
作业8-2．（2021·全国·高三专题练习）（1）在数列中，，，求通项公式；
方法九 构造法（4）
题型形式：型如或者（其中为常数）
解题方法：1.将递推公式两边取倒数或者同时除以得；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式.
例9.（2021·宁夏长庆高级中学）已知数列满足，，求数列的通项公式；
变式9．（2019·安徽·合肥一中高三月考（理））已知数列的前n项和为，，且当时，，求数列的通项公式.
作业9-1．（2020·全国·高三月考（理））已知数列满足，且，求数列的通项公式.
作业9-2.（2021·全国·高二单元测试）在数列中，，点在函数的图象上，求数列的通项公式.
方法十 构造法（5）
题型形式：型如（其中为常数）
解题方法：1.将递推关系式写成；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式（利用方法三或者方法六或者方法八）.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式.
变式10．（2021·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式.
作业10．已知数列满足，，且，，求数列的通项公式.
方法十一 构造法（6）
题型形式：型如（其中为常数）
解题方法：1.将递推关系式写成；
2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）；
3.求数列通项公式（利用方法三或者其他构造法）.
例11．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若a1=，求数列{an}的通项公式.
变式11.(浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶)在数列中，，，，求的通项公式；
作业11-1．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列中，，为数列的前项和，当时，．
（1）证明：数列|为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
作业11-2.（2021年八省联考）已知各项都为正数的数列满足,（1）证明：数列为等比数列；（2）若=，=，求的通项公式。
方法十二 取对法
题型形式：型如
解题方法：1.对递推公式两边取对数，且令，转化为；
2.求出数列的通项公式（利用方法6）；
3.求出数列通项公式.
例11.(湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考)已知数列，，.求数列的通项公式；
变式11．（2021 蚌埠三模）已知数列满足，若，求.
作业12-1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列，，，求.
作业11-2．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式.
方法十三 因式分解型
题型形式：题中涉及，多数能因式分解.
解题方法：1.合并同类项；
2.提取公因式；
3.约分；
4.得到前面构造法的形式；
5.利用构造法求
例13.（2021·全国·高二课时练习）设{an}是首项为1的正项数列且，求{an}.
变式13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，,且，证明：数列是等比数列；
作业13-1．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．
作业13-2.（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，，且，求数列的通项公式
方法十四 整体构造
题型形式：无固定模式，需要做题并不断积累.
解题方法：一般有以下解决方法：
递推关系式左右同时取倒数;
递推式同时除以或者等；
递推关系式左右同时加一个常数再取倒数等；
数学思想：利用函数思想将一堆看成整体进行解题.
例14-1.（2021秋 凌源市期末）已知首项为1的正项数列，，求数列的通项公式.
例14-2.（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
变式14-1.（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列中，，求数列的通项公式.
变式14-2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
作业14-1.（2021·全国·高三开学考试（理））已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.
作业14-2.（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）已知数列中，，前n项和为，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
作业14-3.（2021·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．

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