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4.2 函数的性质
【本节知识切片】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
一．函数的单调性 1.定义法证单调 ★☆☆☆☆
2.判断函数的单调性 ★☆☆☆☆
3.基本初等函数求单调区间 ★★☆☆☆
4.复合函数求单调区间 ★★☆☆☆
5.分段函数求单调区间 ★★☆☆☆
6.利用单调性比较大小 ★★☆☆☆
7.借助单调性解不等式 ★★☆☆☆
7. 8.具体函数求参数范围 ★★★☆☆
9.复合函数求参数范围 ★★★☆☆
10.分段函数求参数范围 ★★★☆☆
二．函数的奇偶性 1.判断具体函数的奇偶性 ★☆☆☆☆
2.判断抽象函数的奇偶性 ★★☆☆☆
3.利用奇偶性求函数的值 ★★☆☆☆
4.利用奇偶性求函数的解析式 ★★☆☆☆
5.借助奇偶性求参 ★★☆☆☆
6.部分奇函数 ★★☆☆☆
7.利用单调性与奇偶性比较大小 ★★☆☆☆
8.利用单调性与奇偶性解不等式 ★★★☆☆
三．函数的周期性与对称性 1.利用周期性求值 ★★☆☆☆
2.对称轴、对称中心的判断 ★★☆☆☆
3.借助周期性与对称性求值 ★★☆☆☆
4.周期性、对称性在零点问题中的应用 ★★★☆☆
5.函数性质的综合应用 ★★★☆☆
【本节考情分析】
年份/考查形式 月考 期中 期末 高考、
选择题 1-2 1 1-2 1
填空题 1 1 1 1
解答题 1-2 1 1 1
函数的性质，包括单调性、奇偶性与周期性和对称性，高考中既会单独就某个性质命题，也会三个性质组合考查或与函数的图像、零点结合考查等等，各种题型均会出现，单独考查时一般出现在小题中，难度中低档，属于可得分点，结合考查时难度稍大，有时会以压轴小题的形式出现，另外解答题中一般与导数结合考查单调性的题目较多，，总约占7%--11%。
【教材正文】
模块一．函数的单调性
【知识点】
一、函数单调性与单调区间
1.增函数和减函数：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间 内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数（减函数）。
注：增(减)函数定义中的的三个特征：
一是任意性；二是有大小，即 ；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2.单调区间：若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间.
注意：
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制,是函数的局部性质．
二、判断函数单调性
1.定义法：若在区间内，增函数:任取，
用定义证明函数的单调性的步骤:
（1）.取数:任取___ _____
（2）作差: ；
（3）变形:通常是_____、_____和______
（4）定号:判断差的正负；
（5）结论:指出函数在给定的区间上的单调性
2.图像法: 上升增，下降减（图示表示）
一次函数、二次函数和反比例函数等基本初等函数的图像和性质是我们很熟悉的，遇到这种函数直接判断。
3.复杂函数单调性：增加增为____，减加减为____，增减减为____，减减增为____
4.复合函数单调性：设复合函数，设中间变量称为内层函数, 称为外层函数，是定义域的某个区间，是映射的象集，即函数的值域。
复合函数单调性的判断可以根据下表：
内层函数 外层函数 复合函数
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
【题型一：定义法证单调】
★☆☆例题1.
已知函数，用定义证明在区间上是增函数.
证：设 ，则.
由 ，
得 ，
所以 ，即 ，
故在区间 上是增函数.
★☆☆练习1.
（2021 三元区校级开学）已知函数，，．
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的值域．
答案：（1）略（2），
解析：（1）函数，，，
函数是定义域，上的单调增函数，证明如下：
任取、，，且，则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以是定义域，上的单调增函数；
（2）因为函数是定义域，上的单调增函数，
且（3），
（5）；
所以的值域是，．
★★★例题2.
若函数 对任意的 ，恒有 ，当 时，恒有 ，判断函数 的单调性，并证明你的结论
【答案】单调递减
【解析】任取 ，，
所以
因为当 时，恒有
所以时，
所以
所以
所以
所以 在 上单调递减
★★★练习1.
已知 是定义在 上的函数，且当 时，，对任意实数 ， 都有 ，判断 在 的单调性并证明你的结论．
【答案】单调递增；证明见解析
【解析】① 取点：
任取 ，；
② 作差：
因为对任意实数 都有 ，
所以 ，
令 ，，
所以 ，
代入得 ；
③ 判号：
因为当 时，，
所以当 ，，即 时，，
所以 ；
④ 得结论：
在 单调递增．
要点总结：定义法证明函数单调性的步骤是比较固定的，需要注意的就是第3步变形过程中注意，变形的目的是化成一个能够判断正负的形式，结合能够判断正负。
【题型二：判断函数单调性】
★☆☆例题1．
下列函数在区间上不是增函数的是(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：函数在区间上是减函数．
★☆☆练习1．
在区间上不是增函数的函数是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：A选项在 上是增函数；B选项在 是减函数，在 是增函数；C选项在是减函数；D选项 在是减函数，在是增函数；故选C.
★☆☆例题2．
下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；
结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增． 故选：D．
★☆☆练习1．
设 、 都是单调函数，有如下四个命题
①若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；
②若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；
③若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；
④若 单调递减， 单调递减，则 单调递减．
其中，正确的命题是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案：C
解析： 当 是单调增函数时， 是单调减函数， 是单调减函数时， 是单调增函数，根据两个单调增函数相加是增函数，两个单调减函数相加是减函数这一原理，易知 ② ③ 正确．
要点总结：简单函数的单调性判断的关键是掌握基本初等函数的单调性，和两个基本初等函数相加减的单调性判断。
【题型三：基本初等函数求单调区间】
★☆☆例题1．
函数的单调减区间是(　　)
A． B． C． D．
答案： B
解析：　易知函数是图象开口向下的二次函数，其对称轴为，所以其单调减区间．
★☆☆练习1．
函数的递增区间依次是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：函数，该函数的单调递增区间为；
二次函数：开口向下，对称轴为，该函数的单调递增区间为；
本题选择C选项.
★☆☆练习2.
已知最小正周期为，则函数的单调增区间为
【解析】：令，所以函数的单调递增区间为.
要点总结：求解函数单调区间必须先求解定义域，然后结合常见函数的图像性质写单调区间。
【题型四：复合函数求单调区间】
★★☆例题1.
（2020秋 公主岭市期末）函数的单调递增区间是　　
A．， B．， C．， D．，
答案：．
解析：令，
则，
由的对称轴为，
可得函数在递增，，递减，
而在上递减，
由复合函数的单调性：同增异减，
可得函数的单调递增区间是，，
★★☆练习1.
函数的单调递增区间是(　　)
A． B． C． D．
答案：选D
解析：令，则.因为在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为 ．
★★☆练习2.
求函数的单调区间.
答案：略
解析：令,
因为 是一个单调递增的函数,
所以整个函数的单调性由的单调性决定,同时注意函数的定义域,
因为 首先要大于零,
所以,
所以
下面再求函数的单调区间,由正弦函数曲线可以得到单增区间：，
单减区间：
综合定义域和单调区间得到：函数的单调递增区间是,单减区间是.
【题型五：分段函数求单调区间】
★☆☆例题1.
求函数的单调区间．
答案：略
解析：由函数解析式可得 .
可画出函数图像如图所示，可知单调递增区间为 和，
单调递减区间为和.
★★☆练习1．
设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，求函数的单调递增区间.
答案：
解析：根据题意，即所以的单调递增区间即函数在定义域上的单调递增区间，即.
【题型六：利用单调性比较大小】
★☆☆例题1.
设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
答案：选A
解析：因为是偶函数，所以．又因为函数在上是增函数．
所以，即．
★☆☆练习1.
（2021 安阳一模）设函数满足，且，，有，则　　
A．（1） B．（1）
C．（3） D．（3）
答案：．
解析：对，，且，都有，
函数在上单调递增，
是定义在上的偶函数，（2），
（1）（2）（3），
即（1）（3），
★☆☆练习2.
（2021春 雨城区校级期中）已知函数，若，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：根据题意，函数，其定义域为
其导数，则在其定义域上为减函数，
，，，则有，
则，
★☆☆练习3.
定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，比较的大小.
答案:
解析：因为 满足
所以即函数是以为周期的周期函数.
因为 定义在上的偶函数,且在上单调递增根据偶函数的性质可得函数在单调递减.
而,,且.
所以, 故答案为:.
要点总结：用单调性解决函数比较大小问题时，需要利用函数的单调性去掉函数的抽象符号”f”，从而转化成一般的比较大小或比较大小组问题；在解决这类题目时注意函数的定义域。
【题型七：借助单调性解不等式】
★★☆例题1.
设函数，若，则实数的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：选B
解析：易知函数在定义域 上是增函数，，
，解得.故实数的取值范围是．
★★☆练习1.
已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的 的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：选D
解析：因为函数是定义在区间上的增函数，满足.
所以，解得.
★★☆练习2.
已知函数的定义域是，且满足, ,且当.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性并证明。
（3）解不等式
【答案】（1）-1；（2）增函数；（3）
解析：（1）赋值，令得，。
（2）增函数。任取，则，因为，所以。
（3）由（1）知，所以不等式转化为；由（2）知函数在上单调递增，所以；解得
【题型八：具体函数求参数范围】
★☆☆例题1.
若在区间上是减函数，则的取值范围是_____.
答案：
解析: 函数的图象开口向下，且以直线为对称轴，若在区间上是减函数，则，解得；
★☆☆练习1.
在区间上是减函数，则的取值范围是_____.
答案：
解析:的图象由的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间上是减函数，则，解得.
★☆☆练习2.
（2021春 香坊区校级期末）既有单调增区间，又有减区间，则的取值范围为　　．
答案：
解析：，
，
若既有单调增区间，又有减区间，
则等价为有两个不同的根，
即，
★★☆练习3.
（2021 佛山模拟）设函数，，若任意两个不等正数，，都有恒成立，则的取值范围为　,　．
答案：,．
解析：，
，
即，
即任意两个不等正数，，都有恒成立，
令，则在上为减函数，
在上恒成立，
故成立，
故．
【题型九：复合函数求参数范围】
★★☆例题1.
已知函数在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围
答案：
解析：设，则，因为在区间上是单调递减函数，所以函数在区间上是单调递减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是．
★★☆练习1.
（2020秋 萨尔图区校级期末）已知函数在，上单调递减，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
答案：．
解析：令，
在，单调递减
函数在区间，内单调递增，且恒大于0．
且（2），且，．
★★☆练习2.
若函数在递减，求a的取值范围.
答案：
解析：设，则当时，为增函数，而为减函数，
故此时函数在上为减函数，
若函数|在区间递减，则，
故答案为：
【题型十：分段函数求参数范围】
★★☆例题1.
（2）已知函数 是上的单调函数，则实数的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：选B
解析：由对数函数的定义可得，且.
又函数在上单调，而二次函数的图象开口向上，
所以函数在上单调递减，
故有即 . 所以.
★★☆练习1.
（2021 重庆模拟）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
答案：．
解析：因为在上单调递增，
所以，
解得．
★★☆练习2.
已知函数是 上的增函数，则实数 的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：选C
解析：若f(x)是R上的增函数，则应满足，解得.
【小节回顾】
一．函数的单调性 1.定义法证单调 ★☆☆☆☆
2.判断函数的单调性 ★☆☆☆☆
3.基本初等函数求单调区间 ★★☆☆☆
4.复合函数求单调区间 ★★☆☆☆
5.分段函数求单调区间 ★★☆☆☆
6.利用单调性比较大小 ★★☆☆☆
7.借助单调性解不等式 ★★☆☆☆
7. 8.具体函数求参数范围 ★★★☆☆
9.复合函数求参数范围 ★★★☆☆
10.分段函数求参数范围 ★★★☆☆
模块二．函数的奇偶性
【知识点】
一、函数奇偶性的概念与性质：
1.定义：
一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
注意事项：
（1）奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
（2）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
（3）若，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
为偶函数；
为奇函数．
2. 奇偶函数的图象：
奇函数图象关于原点成中心对称的函数，
偶函数图象关于轴对称的函数。
（1）若函数f(x)是奇函数，且f(x)在区间[a,b]上是单调函数，则f(x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的，且单调性
（2）若函数f(x)是偶函数，且f(x)在区间[a,b]上是单调函数，则f(x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的，且单调性
二．判断函数奇偶性的方法：
1.定义法：对于函数的定义域内任意一个，都有;对于函数的定义域内任意一个，都有，具体步骤如下：
（1）判断：定义域是否关于“x=0”对称；
（2）计算：根据定义域化简f(x),并计算f(-x);
（3）比较：比较f(-x)与f(x)的关系；
（4）结论：相等则偶函数；相反则奇函数；无关则非奇非偶。
2.图象法：
（1）画图：利用函数的性质绘制函数图像
（2）判断：定义域是否关于“x=0”对称；
（3）结论：轴对称则偶函数；中心对称则奇函数；不对称则非奇非偶。
3．运算法：
设，的定义域分别为,在它们的公共定义域上，有下列结论：
偶 偶 奇 奇
偶 奇 偶 奇
偶 不能确定 不能确定 奇
偶 奇 奇 偶
偶 奇 奇 偶
偶 偶 偶 奇
三．利用奇偶性求函数解析式的步骤：
求谁设谁
将自变量转化进已知区间
利用奇偶性构造关于的方程
四．利用奇偶性求参数的步骤:（特殊值法）
1.拆分:辨别能不能拆成奇偶函数相乘或者相除的形式
2.判断定义域: 求解拆分出含参的那一部分解析式的定义域
3.带入特值求解:带入在定义域内的特值；例如奇函数f(0)=0,偶函数f(1)=f(-1)
五．利用奇偶性求解不等式的步骤:
1.取等:将不等式看成等式
2.判断单调: 通过已知区间单调性，从而去求解部分解集
3.判断奇偶:通过奇偶性与单调性结论去求对称区间解集
4.结论:两个区间取并集
【题型一：判断具体函数的奇偶性】
★☆☆例题1.
（2020枣庄三中期中）判断下列函数的奇偶性：
(1) ；　 (2) ；
(3) ；　 (4).
(5)
【答案】（1）奇函数 （2）非奇非偶函数 （3）既奇又偶函数 （4）奇函数 （5）奇函数
★☆☆练习1.
（2020年青岛一中月考）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
★☆☆练习2.
（2021 北京模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：根据题意，依次分析选项：
对于，，是奇函数，但值域为，不符合题意；
对于，，是奇函数，但其值域为或，不符合题意；
对于，，是奇函数，其值域为，符合题意；
对于，，是正弦函数，其值域为，，不符合题意．
★★☆练习3.
（2020年昌乐一中月考）下列函数为奇函数的是（ ）
B. C. D.
【答案】A
★☆☆例题2.
（2019年高考全国Ⅰ卷理数）函数f(x)=在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
★☆☆练习1.
【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【题型二：判断抽象函数的奇偶性】
★☆☆例题1.
已知函数定义域为实数，对任意的实数、，都有，又当时，且（2）．判断的奇偶性．
答案：见解析
解析：令知，
令知，
为奇函数．
★☆☆练习1.
（1）已知的定义域为，且，求的解析式，判断的奇偶性并证明．
（2）函数定义域为，且对于一切实数，都有，试判断的奇偶性并证明．
答案：见解析
解析：（1）的定义域为，且，①
令①式中为得：，②（2分）
解①、②得，（3分）
定义域为关于原点对称，为奇函数，（4分）
证明：，（5分）
是奇函数． （6分）
（2）为奇函数，
证明：定义域关于原点对称，（7分）
又令，得，则，（8分）
再令得，（10分）
，
函数为奇函数．（12分）
要点总结：对于抽象函数奇偶性的判定：首先通过赋值计算出的值；其次通过赋值，利用的变形式再根据奇偶函数定义来判断原函数的奇偶性；一般是令.
【题型三：利用奇偶性求函数的值】
★☆☆例题1.
(2019·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C　根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
★☆☆练习1．
设函数是定义在上的奇函数，，则(　　)
A． B． C． D．
答案：选D
解析：因为函数是定义在上的奇函数，且，由奇函数的性质可得，
.
【题型四：利用奇偶性求函数解析式】
★★☆例题1.
已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，有　　
A． B． C． D．
答案：C
解析：设，则，
由已知当时，，
当时，可得．
．
故选：．
★★☆练习1．
（2021春 浦东新区校级月考）已知是定义在，上的奇函数，若，时，，则，时，　　．
答案：．
解析：若，
则，
，时，，
当时，，
是定义在上的奇函数，
，
则，，，
★☆☆练习2.
已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，，求.
答案：
解析：用换，得，
化解可得，
又，
.
★★☆练习3．
已知为定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）作出函数的图象．
（3）若函数在区间，上单调，直接写出实数的取值范围．（不必写出演算过程）
答案：见解析
解析：（1）因为函数是奇函数，所以时，（2分）
设，则，根据当时，，得
为定义在上的奇函数
（4分）
综上：分
（2）当时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，
并且，由此可得函数图象如右图（10分）
（3）根据（2）的函数图象，可得当，时，函数函数在区间，上是减函数；
当，时，函数在区间，上是增函数．
解之得：或（15分）
★★☆练习4．
已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明函数在区间上是增函数；
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2）略；（3）
【解析】（1）解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，且，则，解得，，
则函数的解析式为．
（2）证明：任取，则，
由于，则，，，，，
，在上是增函数．
（3）解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，即有，
解得，不等式的解集为．
【题型五：借助奇偶性求参】
★☆☆例题1.
若函数为奇函数，则 .
答案：
解析：函数的定义域为
为奇函数，定义域关于原点对称，得.
★☆☆练习1.
已知函数为奇函数，则实数的值为 .
答案：
解析：函数为奇函数，得.
★☆☆练习2.
(2018·合肥八中模拟)若函数为偶函数，则________.
答案：
解析：为偶函数，
，从而，即，故.
【题型六：部分奇函数】
★☆☆例题1．
已知 ，且 ，则 的值为( )
A．4 B．0 C．2m D． m+4
答案：A．
解析：∵f( 5)=m．
∴则 ∴f(5)+f( 5)=m+( m+4)=4故选 A
★★☆练习1．
已知的最大值为，最小值，求的值.
答案：
解析：方法一：
是奇函数
方法二：用导数的方法也可以做
导数的零点条件可化为方程
而左右函数都是奇函数,所以零点关于原点对称,从而的零点也关于原点对称
;
.
★★☆练习2.
已知关于的函数的最大值为，最小值为，若，则实数的值为_______
答案：
解析：,
令设,则,即是奇函数,则,
所以
所以满足题意, .
【题型七：借助单调性与奇偶性比较大小】
★☆☆例题1.
（2017天津文科）已知奇函数在上是增函数．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
解析:由题意可得，且，，
所以，结合函数的单调性可得，即，故选C．
★☆☆练习1.
定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
答案：C
解析：定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，
的周期为2，在，上单调递减，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
★★☆练习2.
（2021泰安一模）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则
B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为是偶函数
所以
因为函数在上单调递增，
所以函数在单调递减
而
所以
【题型八：借助单调性与奇偶性解不等式】
★☆☆例题1.
（2019-2020学年济宁高一上学期期末试题-13）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是
【答案】
【解析】
根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，
又由在区间上单调递增，且，则在上，，在上，，
又由函数为奇函数，则在上，，在上，， 若，则有或，
则不等式的解集是；
故答案为：
★★☆练习1.
（2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期中-10）
已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，，时，当时，则不等式的解集为　　
A． B．， C．， D．
【答案】
【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则，
若，则，则为奇函
数；又由对任意的，，时，当时，，则在，上
为增函数；又由为奇函数，则在上为增函数；
，解可得：，即不等式的解集为：，；故选：
★★☆练习2
（2020全国新高考I卷-8）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【小节回顾】
二．函数的奇偶性 1.判断具体函数的奇偶性 ★☆☆☆☆
2.判断抽象函数的奇偶性 ★★☆☆☆
3.利用奇偶性求函数的值 ★★☆☆☆
4.利用奇偶性求函数的解析式 ★★☆☆☆
5.借助奇偶性求参 ★★☆☆☆
6.部分奇函数 ★★☆☆☆
7.利用单调性与奇偶性比较大小 ★★☆☆☆
8.利用单调性与奇偶性解不等式 ★★★☆☆
模块三．函数的周期性与对称性
【知识点】
函数的周期性 函数周期性的定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期。 注： 周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期。 最小正周期：正如上面所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数。 （2）函数周期性的判定： ：可得为周期函数，其周期 ：可得为周期函数，其周期 的周期 的周期 的周期 的周期 2. 函数的对称性 （1）对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称。 （2）轴对称的等价描述： 关于轴对称（当时，恰好就是偶函数） 关于轴对称 是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。 （3）中心对称的等价描述： 关于中心对称（当时，恰好就是奇函数） 关于中心对称 关于中心对称 是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 3．若一个函数有两个对称性，则必为周期函数. （1）相邻对称轴间为半个周期; （2）相邻对称中心间为半个周期; （3）一个对称轴和与之相邻的对称中心间为四分之一个周期.
【题型一：利用周期性求值】
★☆☆例题1.
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝log3（x2+2），则f（﹣2021）＝（　　）
A．1 B．lg9 C．lg3 D．0
【分析】由已知先求出函数的周期，然后结合偶函数定义进行转化即可求解．
【解答】解：由f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）
得f（x+2）＝f（x），
所以函数f（x）的最小正周期T＝2，
且当0≤x≤1时，，f（x）为偶函数，
所以f（﹣2021）＝f（2021）＝f（1）＝1，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．
★☆☆练习1.
（山东省2020-2021学年高三调研）已知奇函数满足条件，且当时，，则f______．
【答案】
【分析】
首先得到函数的周期，再利用函数的周期和奇偶性，化简求值.
【解析】
，，且函数是奇函数，所以化简
，
，，
.
故答案为：-2
★★★例题2.
已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（x+1）f（x），则的值是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【分析】令，可得g（x）是周期为1的函数，从而可得，当时，由xf（x+1）＝（x+1）f（x）可求得f（），从而可求得的值．
【解答】解：当x≠﹣1且x≠0时，由xf（x+1）＝（x+1）f（x），得，
令，则g（x+1）＝g（x），所以g（x）是周期为1的函数，
所以，
当时，由xf（x+1）＝（x+1）f（x）得，，
又f（x）是偶函数，所以，
所以，
所以，所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
★★★练习1.已知函数，则＝（　　）
A．4040 B．4038 C．2 D．9
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣x）的表达式，计算可得f（x）+f（﹣x）＝2，结合对数的运算性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
f（﹣x）＝+sin（﹣x）＝﹣sinx，
则f（x）+f（﹣x）＝（+sinx）+（﹣sinx）＝2，
故
＝f（ln2）+f（﹣ln2）+f（ln3）+f（﹣ln3）+ +f（ln2020）+f（﹣ln2020）
＝2019×2＝4038，
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
【题型二： 对称轴、对称中心的判断】
★★☆例题1.
（2021 普宁市校级二模）已知函数，则　　
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在单调递减
D．在上不单调
答案：．
解析：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，
，
有，则的图象关于点对称，不关于直线对称，正确，错误，
在上为增函数，在区间上为减函数，
则在上为增函数，、都错误，
★☆★练习1.
（2021 河源模拟）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：根据题意，设的图象与函数的图象关于直线对称，
则有，即.
★★☆练习2.
（2021春 青岛期末）函数图象的对称中心为　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：因为，
令，
因为，
所以为奇函数，
则，
故，
所以，
则函数图象的对称中心为．
★★☆例题2.
函数 是定义在实数集R上的函数，那么与的图象之间（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
答案： 选D
解析： 函数与的图象关于对称
与的图象关于对称
另：若，则函数的图象关于对称
★☆☆练习1.
函数 的对称中心为（ ）
A． B. C. D.
答案：选B
解析：
的对称中心为
【题型三：借助周期性与对称性求值】
★★☆例题1.
在上的函数满足,当时，；当时，求的值.
答案 ：
解析：因为所以函数周期为；
又因为当时，; 当时，
所以带值可求得：
所以
所以
★★☆练习1．
（2021 九龙坡区校级开学）已知函数满足关于直线对称，且，当时，，则的值为　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：．
解析：根据题意，函数满足关于直线对称，则为偶函数，
函数满足，则有，
即函数是周期为4的周期函数，
则，
又由当时，，则，
故，
★★☆练习2．
（2021 陕西模拟）已知定义在上的奇函数满足．当时，，则　　
A．3 B． C． D．5
答案：．
解析：根据题意，定义在上的奇函数满足，
则，变形可得，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则（1），
★★☆例题2.
（2020秋 杨浦区校级期末）若函数的图象关于直线成轴对称图形，则　　．
答案：．
解析：由题意可知，
因为函数的图象关于直线成轴对称图形，
则为偶函数，图象关于轴对称，
故恒成立，
所以，
解得．
★★☆练习1．
（多选）（2021 香坊区校级开学）若定义在上的减函数的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是　　
A．（2）
B．
C．不等式的解集为
D．（2）
答案：．
解析：定义在上的减函数的图象关于点对称，
为奇函数，
，
，
，
，故选项错误，选项正确，
为减函数，
为减函数，
为减函数，
，即，
为奇函数，
，
为减函数，
，即，故选项正确．
（2）（2）（1）（2），
（1）（2），
（2），故选项正确．
【题型四：周期性、对称性在零点问题中的应用】
★★☆例题1．
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子“的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数．设，则函数的所有零点之和为　　
A． B．0 C．1 D．2
【分析】由题意，函数的零点，即方程的根，也就是的根，显然不是上面方程的根；当时，方程化为，作出两函数与的图象，数形结合得答案．
【解答】解：，，
函数的零点，即方程的根，
也就是的根．
显然不是上面方程的根；
当时，方程化为．
作出两函数与的图象如图：
由图可知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，
则函数的所有零点之和为．
故选：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
★★☆练习1．
已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则 _______.
答案：
解析： 是奇函数，，
的图像关于直线对称，
又，
的周期为，做出的大致图像如下图：
由图像可知的四个根中，两个关于直线对称，两个关于直线对称， ，故答案为.
【题型五：函数性质的综合应用】
★☆☆例题1.
设奇函数在上为单调递减函数，且（1），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
答案：，，．
解析：由奇函数的性质可得不等式即：
，
分类讨论：当时，应有，结合函数的单调性可得：；
当时，应有，结合函数的单调性和奇函数的对称性可得：；
综上可得，不等式的解集为：，，．
故选：．
★☆☆练习1.
奇函数在上单调递增，且则的解集为_______
答案：
解析：因为在区间上递增，且，
由是奇函数可知在区间上递增，，
故在区间上小于，在区间上大于。
所以当时，，则；
当时，，则。
故本题正确答案为。
★☆☆例题2.
定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，且f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x）．若，则f（2021）＝（　　）
A． B． C． D．2
【分析】利用已知的恒等式结合赋值法，求出函数f（x）的周期性，结合f（x+1）为偶函数，利用赋值法求出f（2）的值，然后由周期性，将f（2021）转化为﹣f（2），即可得到答案．
【解答】解：因为f（x+1）为偶函数，
则f（﹣x+1）＝f（x+1）（*），
因为f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x）①，
则f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1）②，
①+②可得，f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
故函数f（x）的周期为6，
在（*）中，令x＝1，则f（0）＝f（2），
在①中，令x＝0，则f（2）＝f（1）﹣f（0），即2f（2）＝f（1），
又，
所以f（2）＝，
所以f（2021）＝f（336×6+5）＝f（5）＝﹣f（2）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了偶函数定义的应用，函数周期性定义的运用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
★☆☆练习1.
设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b，若f（0）+f（3）＝3，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由奇函数与偶函数的定义，求出函数f（x）的周期，然后由赋值法求出﹣f（2）+f（1）＝3，f（1）＝0，从而求出a，b的值，即可得到函数解析式，然后由周期性进行求解即可．
【解答】解：因为f（x+1）为奇函数，
则f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）①，且f（x）关于点（1，0）对称，
又f（x+2）为偶函数，
则f（x+2）＝f（﹣x+2）②，且f（x）关于x＝2对称，
故函数f（x）的周期为4×（2﹣1）＝4，
令x＝1，由①可得，f（0）＝﹣f（2），
由②可得，f（3）＝f（1），
又f（0）+f（3）＝3，
所以﹣f（2）+f（1）＝﹣4a﹣b+a+b＝3，解得a＝﹣1，
令x＝0，由①可得，f（1）＝﹣f（1），解得f（1）＝0，解得b＝1，
所以f（x）＝﹣x2+1，x∈[1，2]，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的应用以及函数对称性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
★☆☆练习2.
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝log3（x2+2），则f（﹣2021）＝（　　）
A．1 B．lg9 C．lg3 D．0
【分析】由已知先求出函数的周期，然后结合偶函数定义进行转化即可求解．
【解答】解：由f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）
得f（x+2）＝f（x），
所以函数f（x）的最小正周期T＝2，
且当0≤x≤1时，，f（x）为偶函数，
所以f（﹣2021）＝f（2021）＝f（1）＝1，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．
★★★例题3.
（2021春 信阳期末）若直角坐标平面内的两点，满足条件：①，都在函数的图象上；②，关于原点对称．则称点对，是函数的一对“友好点对”（点对，与，看作同一对“友好点对” ．已知函数且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
答案：．
解析：当时，函数关于原点对称的函数
为，即，，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数，与，，
只有一个交点，
作出两个函数的图象如图：
若，则，与，，
只有一个交点，满足条件，
当时，，
若，要使两个函数只有一个交点，
则满足（5），
即得，得或，
，，
综上可得的范围是或，
即实数的取值范围是，，，
★★☆练习1.
（2020春 顺德区月考）已知函数，其中为不小于的最小整数，如，，则关于性质的表述，正确的是　　
A．定义域为，， B．在定义域内为增函数
C．函数为周期函数 D．函数为奇函数
答案：．
解析：易知，故定义域为，故选项错误，
令，易知
故是以1为周期的函数，故选项正确，项错误，
因为，故选项错误．
★★☆练习2.
（2021 中卫一模）已知符号函数，偶函数满足，当，时，，则　　
A． B．
C． D．
答案：．
解析：依题意，由，
可知函数是以2为周期的周期函数．
当，时，，是偶函数，
当，时，．
函数图象如下：
根据图可得，，故，选项不正确；
很明显，当，时，，，选项正确；
，答案项不正确；
当时，（2），，答案项不正确
【小节回顾】
三．函数的周期性与对称性 1.利用周期性求值 ★★☆☆☆
2.对称轴、对称中心的判断 ★★☆☆☆
3.借助周期性与对称性求值 ★★☆☆☆
4.周期性、对称性在零点问题中的应用 ★★★☆☆
5.函数性质的综合应用 ★★★☆☆
巩固 提升
【巩固】
★☆☆1.若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上(　　)
A．必是增函数
B．必是减函数
C．是增函数或减函数
D．无法确定单调性
【答案】D
【解析】函数的单调区间的定义：在函数的连续区间内，任取，若当时，，则在区间内是单调增函数，区间称为的单调增区间；若，则在区间内是单调减函数，区间称为的单调减区间．由于在断点处的单调性未知，因此，无法确定函数单调性．
★☆☆2．（2021 银川二模）设函数，则　　
A．是偶函数，且在单调递增
B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
答案：．
解析：函数的定义域，
当时，单调递增，
因为，
所以为偶函数，
★☆☆3．（2021春 阎良区期末）下列函数为偶函数的是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，有，是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，是偶函数，符合题意；
对于，，其定义域为，，，不是奇函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，，有，是奇函数不是偶函数，不符合题意；
★☆☆4．已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是(　　)
A．[－1,3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案：B.
解析：因为为R上的减函数，且，
所以，即，
解得，
所以满足的实数x的取值范围是，故选B.
★★☆5.已知函数f（x）＝ex+e﹣x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数f（x）为偶函数，再利用导数判断出函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而将所求解的不等式进行等价转化，求解即可得到答案．
【解答】解：因为函数f（x）＝ex+e﹣x，
所以f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），
所以函数为偶函数，
又f′（x）＝ex﹣e﹣x，故f″（x）＝ex+e﹣x≥2＞0，
所以f′（x）在R上单调递增，
又f′（0）＝0，
所以f′（0）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，
解得或m＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、利用导数研究函数的性质，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性去掉“f”，属于中档题．
★★☆6.已知函数的定义域为[﹣1，3]，则不等式f（2﹣x）＞f（1+x）的解集为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求导函数，分析导函数在（﹣1，1）上的符号，得出函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，再得出函数f（x）的对称性，由此建立不等式组，解之可得选项．
【解答】解：因为函数f（x）＝，所以，
当﹣1＜x＜1时，，0＜﹣2x+2＜4，，
所以当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
又f（2﹣x）＝＝，
所以函数f（x）关于x＝1对称，所以f（x）在（1.3）上单调递减，
所以不等式f（2﹣x）＞f（1+x）等价于，解得，
故选：C．
【点评】本题考查函数的导数和函数单调性的联系及应用，涉及不等式的解法，属于综合题．
★☆☆7．(2018·惠州一调)已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为(　　)
A． B.
C D．
答案：选B
解析：因为是上的偶函数，且在上是减函数，
所以在上是增函数，
所以即为或或
★★☆8.（辽宁省丹东市五校2021届高三联考）已知实数，，，那么，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可.
【解析】构造函数，当时，单调递减，
当时，单调递增.
因为，，，，
所以，即.
故选：C
★★☆9.（辽宁省沈阳市2021届高三质量监测）技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】D
【分析】
根据题意可得，，两式联立，再利用对数函数的单调性求解.
【解析】由条件可知，
设将最大信息传播速度提升
那么信噪比要扩大到原来的倍，
则，
所以，
即，
所以，
解得，
故答案为：D
★☆☆10.已知定义在上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为 ,所以函数的周期是
又奇函数,且在区间上是增函数
所以函数在上是增函数
因为 ，,
所以
所以，选D
★★☆11．（2021 重庆模拟）已知函数，，则　　
A．函数与的图象关于直线对称
B．函数与都为增函数，且都为偶函数
C．函数与都为增函数，且都为奇函数
D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数
答案：．
解析：根据题意，函数，其定义域为，
有，
故为奇函数，
，其定义域为，有，
故为奇函数，
正确；
对于，变形可得：，①
已知为奇函数，则有，变形可得，②
①②可得：，
故的反函数是，则函数与的图象关于直线对称，正确；
★★☆12． 已知定义在上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为 ,所以函数的周期是
又奇函数,且在区间上是增函数
所以函数在上是增函数
因为 ，,
所以
所以，选D
★★☆13．(2019·合肥调研)定义在 上的奇函数 满足，且在上是减函数，则有(　　)
A．
B.
C．
D．
答案：选C
解析：因为，所以，所以函数的周期为 ，作出的草图，如图，由图可知.
★★☆14.定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
答案：C
解析：定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，
的周期为2，在，上单调递减，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
★★☆15．已知是定义在区间上的增函数，且，则x的取值范围是________．
【答案】.
由题意，得解得，
故满足条件的x的取值范围是.
★★☆16．（2021 北京学业考试）已知函数，则是 　　函数（填“奇”或“偶” ；在区间上的最小值是 　　．
答案：奇；2．
解析：的定义域为，且，
所以是奇函数，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值是（1）．
17．（2021秋 赣州月考）函数的对称中心是 　　．
答案：．
解析：因为的对称中心为，
则的对称中心为．
★★☆18.若 在区间上是增函数，则实数的取值范围是________．
答案：
解析： ，要使函数在区间上是增函数，需使 ，
解得.
★★☆19.已知函数的周期为，当时，,那么函数的图像与函数的图像的交点共有_______.
答案：
解析：由函数是以为周期的周期函数,
时，,
在同一坐标系中做出两个函数的图象,如下图所示
由图可知,两个函数共有个交点.
★★☆20．已知定义在 上的函数 满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：
（1）函数是周期函数；
（2）函数的图像关于点对称；
（3）函数为上的偶函数；
（4）函数为上的单调函数.
其中真命题的序号是_______.（写出所有真命题的序号）
答案：（1）（2）（3）
解析：（1）项，，所以函数是周期为的函数，故（1）选项为真命题；
（2）因为函数为奇函数，其图像关于原点对称，则 的图像关于点对称，故（2）选项为真命题；
（3）因为，所以，故（3）选项为真命题；
（4）因为函数是周期函数，所以函数为上不可能是单调函数，故选项（4）为假命题.
综上所述，真命题的序列为（1）（2）（3）.
★★☆21．定义在实数集上的函数对任意，，有，且，
（1）求证：
（2）求证：是偶函数．
答案：见解析
解析：（1）令则有
即，
因为，
所以．
（2）令
则有，
，
所以是偶函数．
★☆☆22.（2019-2020学年济宁高一上学期期末试题-25.1）
已知函数是偶函数．求的值
【答案】（1）；
【解析】∵函数 是偶函数.
∴，
∴
∴
∴
★★☆23． 已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．
（1）求的值；
（2）解不等式.
答案：略
解析：（1）令，则，.
（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，所以.
因为，且，
所以可化为，
即，
则，解得.
所以不等式的解集为．
解法二：由，所以，
所以，即，
则，解得.
所以不等式的解集为．
★★☆24．（2020秋 丰台区期中）已知函数．
（1）判断点是否在的图象上，并说明理由；
（2）当时，求的值；
（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．
答案：见解析
解析：（1）函数，
故，
点不在的图象上．
（2）当时，即，解得．
（3）函数，
故函数的对称中心为．
★★☆25．（2020秋 鼓楼区校级期末）设为正实数，且，函数，．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数的值域为，求的取值范围．
答案：（1）（2），．
解析：（1）根据题意，，
则，
若为偶函数，则，
即，
变形可得，
分析可得：．
（2）根据题意，，设，
若函数的值域为，必有，
又由，则，
当且仅当是等号成立，
即的最小值为，
则有，解可得，
故的取值范围为，．
【提升】
★★☆1．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，当时，都有恒成立；②；③是偶函数．若，则的大小关系正确的是(　　)
A． B．
C． D．
答案：选B　
解析： 由①知函数在区间上单调递增．由②知，所以函数f(x)的周期为，所以．由③可知的图象关于直线对称，所以．因为函数在区间上单调递增，所以，即.
★★☆2．（2021春 瑶海区月考）设函数的最大值为，最小值为，则的值是　　
A．1 B．2 C． D．
答案：．
解析：，
设，则为奇函数，
故，
则，所以．
★★☆3．（2021春 揭阳期末）已知为上的奇函数，为偶函数，若当，时，，则等于　　
A． B．1 C．0 D．2
答案：．
解析：根据题意，为奇函数，则．
为偶函数，则，变形可得，
则有，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则（1），
为奇函数，当，时，，则，必有，
则当，时，，（1），
故（1）；
★★☆4．（2021 广东学业考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为　　
A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己亥年
答案：．
解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则，则2019的天干为己，
余10，则2019的地支为亥，
★★★5．(多选)（2021 滨海县校级一模）若函数对，，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有　　
A． B．
C． D．
答案：．
解析：根据题意，设，
若在上为“平方差减函数”，则对，，，不等式成立，
则有，
则有，则函数在，为减函数，
反之，若函数在，为减函数，则有，即在上为“平方差减函数”，
分析选项：
对于，，，为开口向下，对称轴为的二次函数，在区间，为减函数，则在上为“平方差减函数”；
对于，，，在区间，为增函数，则在上不是“平方差减函数”；
对于，，，在区间，为减函数，则在上为“平方差减函数”；
对于，，，在区间，为减函数，则在上为“平方差减函数”；
★★★6．（多选）（2021 泉州二模）已知函数，，则　　
A．（2）
B．（1）
C．当时，的最小值为2
D．当时，的最小值为1
答案：．
解析：（2），（2）（1），正确，
（1），（1）（2），正确，
：当时，，
设，则在上单调递减，
（1），错误，
：当时，，
当且仅当，即时取等号，
设，，，
则，正确．
★★★7．（多选）（2021 松原模拟）已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，，，则下列选项正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上
C．在，上为增函数 D．关于对称
答案：．
解析：因为是奇函数，是偶函数，
则，
即，则，
即函数的图象关于中心对称，且关于轴对称，则的周期为4，
当，时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，故错误；
在小于0，根据对称性可得在小于0，故正确；
的图象关于轴对称，所以，（2），
所以不可能在，上为增函数，故错误；
的图象关于轴对称，又是奇函数，所以的图象关于轴对称，
因为的周期为4，所以关于对称，故正确，
综上答案为．
★★★8．（2021春 南岗区校级月考）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围　　
A． B． C． D．
答案：．
解析；由题意得，，
故为奇函数，
当时，，即函数在，上单调递减，
因为当时，恒有成立，
所以，
所以，
整理得，在时恒成立，
令，则，
设，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以．
★★★9．（2021 河南模拟）若函数，是奇函数，则函数在，上的最大值与最小值的和为　　．
答案：．
解析：由为奇函数可知，，
解得，经验证，符合题意，
，
又为增函数，为减函数，
为增函数，
当，时，．
★★☆10．已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为_______.
答案：
解析：当时,由得,得或或(舍),
因为 函数的周期是2
所以当时,函数的零点为2,3
当时,函数的零点为4,5
当时,函数的零点为6
故函数在区间有7个零点,
则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为个.
★★☆11．设函数的定义域为，当时，，且对任意的，，有，当时，
（1）证明：；
（2）证明：对任意的都有；
答案：见解析
解析：（1）令，，则（1）（1），
（1），
．
（2）当时，
当，则，
得，
得，
故对于任意，都有，
★★☆12．设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，求函数的单调递增区间.
答案：
解析：根据题意，即所以的单调递增区间即函数在定义域上的单调递增区间，即.
★★☆13．已知函数在定义域上满足，且，求.
答案：
解析：令 则的周期为，
令则，
令则，
.
★★★14．（2019秋 合肥期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）由可得显然有解或，
故为“局部中心函数，
（2）若为局部中心函数，则有解，
得，
即，
令，
从而在，有解．
①当（2）时，在，有解，
由（2），即，解得；
②当（2）时，在，有解等价于，
解得，
综上，所求实数的取值范围为．
高考真题/模拟题
1.（2017年新课标2）（5分）函数的单调递增区间是　　
A． B． C． D．
【分析】由得：，，，令，则，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：由得：，，，
令，则，
时，为减函数；
时，为增函数；
为增函数，
故函数的单调递增区间是，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档。
2.（2020济南二模）已知函数若，则实数a的取值范围是
(-4,1)
(-，-4)（1，﹢）
（-1,4）
(-，-1)（4，﹢）
答案：D
解析：根据函数解析式，，可化简为
画出图像可得函数在定义域内单调递增，即，解不等式得
a＞4或a＜-1，所以选D
点评：本题主要考察分段函数单调性问题，可数形结合解题，难度较易。
3.（2021青岛一模7）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】
【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则，且；
因为当时，，
所以当时，.
因为函数是偶函数，则，变形可得：，
则有，进而可得，即函数是周期为4的周期函数；
则
故选：．
【考点】函数奇偶性的性质，函数周期性的分析
4.（2019高考全国2卷文科）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A B C D
答案：D
解析：设，则，
由已知当时，f(x)=
当时，可得f(x)=
故选：D．
5.（湖南省长郡中学2021届高三模拟）已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.
【解析】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以
又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，
又由对数的运算性质可得，
所以，即.
故选：D.
6.（2020潍坊一模）定义在上的偶函数，记，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，即，解可得，即可得函数的解析式，分析可得在上为增函数，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，定义在上的偶函数，则有，
即，解可得，
则，则在上为增函数，
，，（1），
又由，则有，
故选：．
7．（2021滨州一模7）定义在上的偶函数满足，当，时，，设函数为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【难度】中档
【解答】解：由且是偶函数，可知函数的周期为4，
由题意可知和的图象都是关于对称，因此四个交点的横坐标也都关于直线对称，
所以四个交点的横坐标之和为8，
故选：．
【考点】本题考查了函数图象，函数图象的对称性，数形结合思想，属于基础题．
8.（2021青岛一模7）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】
【难度】中档
【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则，且；
因为当时，，
所以当时，.
因为函数是偶函数，则，变形可得：，
则有，进而可得，即函数是周期为4的周期函数；
则
故选：．
【考点】函数奇偶性的性质，函数周期性的分析
9.（2021烟台一模7）已知是定义在R上的奇函数，,当时，, 则
A. B.2是的一个周期
C.当时， D. 的解集为
【答案】D
【难度】中档
【解析】的对称轴为；又是R上奇函数，B错；，A错误;根据周期和对称知当时，，的解集为，选D.
【考点】函数性质综合
10.(2018·全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则(　　)
A． B． C. D．
答案 ：选C
解析：法一：是奇函数，，
．由，得，
， 函数是周期为的周期函数．
由为奇函数得.又，
∴的图象关于直线对称，.
又，，
法二：由题意可设，作出的部分图象如图所示．由图可知，的一个周期为，所以
11.（2021全国新高考I卷-13）已知函数是偶函数，则．
答案1
解析：为奇函数，为偶函数，为奇函数
12.（2021菏泽一模16）已知是定义在上的偶函数，且，是奇函数，则　　，　　．
【答案】0，
【难度】困难
【解析】解：根据题意，是奇函数，则的图象关于点对称，
则有，且（1），
又由是定义在上的偶函数，即，则有，
变形可得，即是周期为4的周期函数，
（1），
又由，即，则有（1）（3），（2）（4），
故（1）（2）（3）（4），
则（1）（2）（3）（4），
故答案为：0，．
【考点】函数性质综合应用
带入求得1

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