资源简介

9.2 数列求通项与求和
【本节知识切片】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
一．数列求通项 1.公式法 ★★☆☆☆
2. 利用和的关系 ★★★☆☆
3.累加法和累乘法 ★★★☆☆
4.待定系数构造特殊数列 ★★★★☆
二．数列求和 1.公式法 ★★☆☆☆
2.裂项相消 ★★★☆☆
3.错位相减 ★★★★☆
4.分组分类 ★★★★☆
【本节考情分析】
年份/考查形式 期中 期末 高考
选择题 1
填空题 1 1
解答题 1 1
考试中，考查形式多为选择填空题至少一道，大题必考一道，解答题常考数列的通项问题和求解前n项和问题，选择填空题中常考数列的公式以及性质运用，同时这也是考试中的易错题型。本部分从数列求通项及其前n项和的常规题型出发，重点讲解在不同的题型下对应的不同的方法，培养学生的逻辑思维能力和读题识题能力。
【教材正文】
模块一．数列求通项
【知识点】
1.公式法
等差数列：
等比数列：
2.累加法和累乘法
（1）形式：
利用累加法得到
（2）形式：
利用累乘法得到
3.利用和的关系
已知，利用来求 ，注意检验
4.待定系数构造特殊数列（根据学员程度适度讲解）
（1），构造为等比数列
（2）,构造为等差数列
（3），再参照形式（1）构造等比数列
（4），构造为等比
（5）,构造为等比数列
5.取倒数法构造特殊数列（根据学员程度适度讲解）
先取倒数再构造等差或等比数列，形式如下：
（1），构造为等差数列
（2），再参照待定系数法的形式（1）构造等比数列
【题型一：公式法】
★☆☆例题1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.求{an}的通项公式；
解：(1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
★☆☆练习1.已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.求数列{an}的通项公式；
解：设等差数列{an}的公差为d，d>0，
∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴
∴或
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
★☆☆例题2.已知等比数列{an}为递减数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设公比为q，由a＝a10，
得(a1q4)2＝a1·q9，即a1＝q.
又由2(an＋an＋2)＝5an＋1，
得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝，
所以an＝a1·qn－1＝.
答案：
★☆☆练习1.公差不为零的等差数列中，成等比数列，求数列 的通项公式；
【答案】
【解析】等差数列 的通项公式为，有题意得
所以，解得，所以
★★☆练习2.已知数列的通项公式为，在等差数列中，，又成等比数列，求数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，所以，因为
又因为，设等差数列的公差为，所以
解得或，因为，所以，
【题型二：利用Sn和的关系】
★☆☆例题1.(1)(2018·广州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
[答案]　(1)an＝　(2)－2n－1
★☆☆练习1.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)
A．2n　　　　　　　　　　 　B．2n－1
C．2n D．2n－1
解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，
∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n.
★☆☆练习2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为an＝.
答案：
★☆☆例题2.数列 的前 项和 ，则 的通项公式为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
【答案】D
【解析】．
当 时，．
不适合上式．
所以
故选 D
★☆☆练习1. 已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式为________．
【答案】
【解析】由数列求和公式知，当 时，；
当 时，，
此时 也成立，故 ．
★★★例3. 设数列 的前 项和为 ，已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】依题意，当 时，，故 ．
因为 ，
所以当 时，有 ，
则 得 ，
所以 ．上式对 也成立，
所以 ．故当 时，
有 ，对 也成立，
因此 ．
★★★练习1. 若，数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】第一步：复制等式
由已知（），当时，；
当时，（）
第二步：作差构造新的等量关系，求出数列通项
（）
验证时成立
所以
所以
【备注】第一步：复制等式
第二步：作差构造新的等量关系，求出数列通项
作差计算过程中，注意增加项和减少项，变形转化成关于的递推关系式，再求通项公式
例4. 设数列的前项和为，已知，求．
【答案】
【解析】思路1：如果这道题消去，
（1）
（2）
会发现这个作差没办法消去
所以这个解题思路在该题不能使用，我们要转变思路
可以消去
思路2：由，可得，
观察等式两边的结构，两边同时除以，
易得，
所以为首项，公差为的等差数列，
所以可以先求出，则
当时，，
当时，不符合
所以
【备注】特别注意在作差时要求范围，对检验是否符合，如果不符合，最后的通项公式是分段形式，如果符合，就可以合并在一起；
关系式中关于关系简单，关于关系复杂，消去，保留，转化成关于的递推关系，再通过递推关系求通项公式．
★★★练习1.已知数列中，，前项和满足，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】由，可得，即
所以可得为首项1，公差为1的等差数列，所以即
当时，，
当时，符合
所以
【题型三：累加法和累乘法】
★☆☆例题1．在数列 中，已知 ，，则 的值是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
当 时．
．
．
．
．
将以上各式相加得：
．
．
★☆☆练习1.已知数列的首项，满足，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，，，，，
累加可得
，
．
★☆☆练习2.已知数列中，，求这个数列的通项公式．
【答案】
【解析】数列中，，可得：
以上各式相加，
将代入上式得
★☆☆例题2.已知在数列中，，则数列的通项公式为________
【答案】
【解析】，，，，
左右两边分别相乘得：
即：
所以可得通项公式为
★★☆练习1.已知中，，，则数列的通项公式是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，可得：，又，
．
，
故选：．
★★☆练习2.已知是数列 的前项和，且 ，，则 ________
【答案】 ；
【解析】利用累乘法即可求出
【题型四：待定系数构造特殊数列法】
★☆☆例题1.数列满足，则此数列的通项公式_______
【答案】
【解析】 ，又，
∴数列是以2为首项、4为公比的等比数列，，
★★☆练习1.在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 ________．
【答案】
【解析】由已知，得 ，则数列 是首项为 、公比为 的等比数列．
★★☆练习2.已知数列的首项，且，则数列的前10项的和为_____
【答案】.
【解析】由，得，
为等比数列，，
，，故答案为.
★★☆例题2．已知数列中，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】等式两边同乘以，得从而
累加得 故
★★☆练习1. 已知数列 满足 ，（）．求通项公式 ．
【答案】
【解析】．令 ，则 累加得 ．
所以 ．
★★☆练习2.已知，，求数列通项
【答案】
【解析】，与原式比较得，所以，同时，则数列是以为首项为公比的等比数列，则，故
★★☆例题3. 在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 ________．
【答案】
【解析】略
★★☆练习1.设数列：，求．
【答案】
【解析】第一步：构造新数列，待定系数
设，则，将代入递推式，得
…（）
第二步：求出新数列的通项公式
则，又，
故代入（）
第三步：反求原数列的通项公式
得
若为的二次式，则可设；
本题也可由
，
（）
两式相减得
构造新数列
转化为递推关系再求通项公式．
★★★例题4 已知数列满足
（1）求证：是等比数列
（2）求数列的通项公式
【答案】(1)见解析（2）
【解析】（1），又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得，所以数列
是以为首项，为公比的等比数列，
★★★练习1.已知数列满足,,(,)，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式。（2015山东一模理）
【答案】
【解析】解：由 ，可得
，是首项为，公比为的等比数列，
即
★★★例题5. 在数列中，已知，则等于(　　)
A． B. C． D．
【答案】B
【解析】将等式两边取倒数得到，是公差为的等差数列，，根据等差数列的通项公式的求法得到，故.
★★★练习1.在数列 中，，对任意的正整数都有成立，求数列的通项公式
【答案】
【解析】（1）因为，所以，所以
数列为等差数列，所以，所以
★★★例题6. 设正项数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】第一步：两边取对数，指数式化对数式
，，
第二步：构造新数列，寻找新递推关系
设，则
第三步：求新数列通项数列
是以为公比的等比数列，．
，
第四步：反求原数列通项公式
，，
【备注】当递推关系中前后两项次数不一致时，常采用取对数的方法，通过对数的运算性质和系数的值取合适的对数，常取以系数为底的对数形式，方便计算，通过构造新的新的递推关系，再求通项公式．
★★★练习1.已知，求通项
【答案】
【解析】由知
在的两边同取常用对数得
即
数列是以为首项，以为公比的等比数列
故
★★★练2.设数列各项为正数，且，。证明：数列为等比数列。
【答案】数列是首项为，公比为的等比数列
【解析】证明：由已知，，则，
因为数列各项为正数，所以，
由已知，，
得．
又，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
【小节回顾】
一．数列求通项 1.公式法 ★★☆☆☆
2. 利用和的关系 ★★★☆☆
3.累加法和累乘法 ★★★☆☆
4.待定系数构造特殊数列 ★★★★☆
教师建议：
模块二．数列求和
【知识点】
1.公式法
等差数列：
等比数列：
2.错位相减法
形式：或（其中，为等差数列，为等比数列）
，
将上式两边同乘以得：，
两式相减得：，以下讨论同法一．
3.裂项相消法
裂项常见的形式如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5），其中为等差数列
（6） 等等……
裂完项相消时注意“前负后正“(前面负的和后面正的相消)的原则
4.分组求和
（1），对单独求和再相加
（2）含有形式的数列要对分奇偶来进行讨论再并项求和
【题型一：公式法】
★☆☆例题1.（公式求和法-等差）数列，满足，，为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知数列为等差数列，由等差数列求和公式及等比中项的性质。选：C
★☆☆练1.（公式求和法-等差）已知等差数列为递增数列，其前3项的和为，前3项的积为8.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和。
【答案】(1); (2)
【解析】(1)设等差数列的公差为
∵等差数列的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴
∴ 或
∵ ∴ ∴
(2)∵，∴
∴
★☆☆例题2.（公式求和法-等比）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为(　　)
A.或 B.或
C. D.
【答案】C　
【解析】设的公比为q，显然，由题意得，所以，得，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为.
★☆☆练2.（公式求和法-等比）已知是以首项为，公差为的等差数列，是的前项和.
（1）求和
（2）设是以为首项的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和。
【答案】（1）；
【解析】（2）由（1）知，，故，
【题型二：裂项相消】
★☆☆例题1.已知公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列
（1）求的通项公式
（2）令，求数列的前项和
【答案】（1）（2）
解析：（1）利用等差和等比数列的性质列方程可解得，过程略
（2）
所以前项和为
★★☆练习1．设等差数列的前项和满足
(1)求的通项公式；
(2)求数列 的前项和。
【答案】（1）（2）
解析：（1）列方程可解得，过程略
（2）
所以
★★☆练习2． 设数列，其前项和为，对任意正整数都有成立。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
答案：（1）（2）
解析：（1）当时，
当时，，即
所以是以为首项，公比的等比数列，所以
（2）
所以
★★★例题2.（裂项相消-非常规裂项）已知数列 的通项 ，求它的前项和．
【答案】
【解析】∵
∴
★★★练1.（裂项相消-非常规裂项）已知各项均为正数的数列 满足，且．
(1) 证明：数列是等差数列；
(2) 设 ， 的前 项和为 ，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）根据已知条件，得出数列为等差数列的条件 即可．本题考查等差数列的判定与证明．
因为
所以
所以
根据等差数列的定义，知 是首项为 ，公差为 的等差数列等差数列的判定与证明．
(2) 把 裂项为 是关键．
由（1）得
即 ．
所以
故
【题型三：错位相减】
★☆☆例题1. 已知是递增的等差数列，是方程的根。
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解得或，因为是递增的等差数列，所以
（2）因为，所以
所以，两式相减可得
所以
★★☆练1.已知等差数列的首项，公差，前项和为 ，若成等比数列，求数列的前项和
【答案】
【解析】成等比数列，代入可得：
由可得：
①
②
①②
★★★练2.已知数列的前项和，,且的最大值为8.
（1）确定常数，求
（2）求数列的前项和
【答案】（1）
【解析】（1）当时，取最大值，即，故，从而，又，
（2）由（1）知
①
②
①—②
★★☆练3.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），①
∴当时，，②
①-②得，，，③
又也适合③式，.
（2）由（1）知，④
，⑤
④-⑤得，
， .
★★★练4.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且
（1）求数列与的通项公式
（2）记，求证：
【答案】（1） （2）证明略，见解析
【解析】（1）设的公差为，的公比为
则
即，解得：
（2）解： ①
②
②①
所证恒等式左边
右边 即左边右边 所以不等式得证
★★★练5.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），①
∴当时，，②
①-②得，，，③
又也适合③式，.
（2）由（1）知，④
，⑤
④-⑤得，
， .
【题型四：分组分类】
★☆☆例题1.设数列满足
（1）求数列的通项公式
（2）令，求数列的前项和
【答案】
【解析】（1）利用累加法，递推公式，下标变换，得
累加，可得
再结合，因此， .
（2）因为 ，分组进行求和，
结合等差数列和等比数列求和公式，有
★☆☆练1.（并项求和-等差等比）设数列满足，,且对任意，函数 ， 满足
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）
【解析】由
所以， 是等差数列. 而,,
（2）
★★☆例题2.（并项求和-倒序相加）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题已知是上的奇函数
故，代入得：
函数关于点对称，，令，则，得到．
，
倒序相加可得，即 ，故选：
★★☆练2.（并项求和-倒序相加）设函数，则:
（1）证明： ；
（2）计算： .
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明： ，
.
（2）
设，
则，两式相加得，则.
★★☆例题3.（并项求和-周期法）数列的通项公式，其前项和为，则（ ）
A． 1010 B． -1010 C． 2018 D． -504
【答案】B
【解析】，
其是以为周期的周期函数，
，
，，
，
，故选.
★★☆练习3：（并项求和-周期法）已知数列满足，且对于，设的前项和为，则_________
【答案】
【解析】 ①
②
①②得：
为周期是3的数列 在①中令 解得：
而
★☆☆例题4.（并项求和-连续两项）若数列的通项公式是，则(　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
【答案】选A　
【解析】，故选A.
★☆☆练4.（并项求和-连续两项）已知数列中，为前项的和，．
（1）求；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1);(2)
【解析】（1），（），
两式作差可得，，又因为，所以，所以数列是以为公比，首项为的等比数列，所以
（2）因为，所以，所以=+==
★☆☆例题5．(并项求和-奇偶分项)已知数列中，，，数列的前20项和为(　　)
A．1121 B．1122
C．1123 D．1124
【答案】C　
【解析】由题意可知，数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公差为2的等差数列，故数列的前20项和为1123.
选C.
★★☆练5. (并项求和-奇偶分项)设数列的前项和为，已知，且，
（I）证明：；
（II）求.
【答案】（1）证明略 （II）
【解析】（I）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，.
（II）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，
于是
从而，
综上所述，
【小节回顾】
二．数列求和 1.公式法 ★★☆☆☆
2.裂项相消 ★★★☆☆
3.错位相减 ★★★★☆
4.分组分类 ★★★★☆
教师建议：
课堂总结
一．知识点/公式
二．题型/考法
巩固 提升
【巩固】
★★☆1.已知数列满足，设
（1）求;
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式.
【答案】（1）（2）见解析（3）
解析：（1）
（2）因为，即，所以是首项为，公比为的等比数列
（3）由（2）得
★★☆2.在数列中，求的通项公式.
【答案】
解析：题中条件可变形为
将其进行下标变换，
再结合 因此，有.
★★☆3.已知数列中，，求的通项公式。
【答案】
解析：
所以
合并可以得到
★★☆4.已知数列和满足， ，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，
即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
★★☆5.设数列满足
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和
【答案】1）（2）
解析：（1）当时，因为 ，
所以，两式相减得
又因为时符合上式，所以
（2），所以
★★☆6.已知数列前项和为，若，则__________．
【答案】
解析：令，得，解得 ，
当 时，
由，得，
两式相减得 整理得，且
∴数列 是首项为1公差为的等差数列，
可得
所以
★★☆7.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则_______
【答案】
解析：由直线，令得，令得
所以，当取正整数时，
所以
★★☆8.已知数列的前项和，,且的最大值为8.
（1）确定常数，求
（2）求数列的前项和
【答案】（1）
解析: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，
（2）由（1）知
①
②
①—②
★★☆9.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
解析：（1），①
∴当时，，②
①-②得，，，③
又也适合③式，.
（2）由（1）知，所以
④
，⑤
④-⑤得，
， .
【提升】
★★☆1.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为________.
【答案】-49
解：设数列的首项为，公差为，则，①
．②
联立①②，得，
．
令，则，．
令，得或．
当时，，时，，
当时，取最小值，而，又（6），（7），
当时，取最小值．
故选：．
★★☆2.在等差数列中，，，设，数列的前项和，则为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：等差数列的公差设为，，，
，，解得，，
可得，
，
，
故选：．
★★☆3.几位大学生响应国家创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列其中第一项是，第二项是，，再接下来的三项是，，，依次类推.求满足如下条件的最小正数且数列的前项和为的正数幂.
那么该款软件的激活码是（ ）
A.440 B.330 C.220 D.110
【答案】A
【解析】设该数列为，设，，则，
由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则，
可知当为时，数列的前项和为数列的前项和，即为，
容易得到时，，
项，由，，可知，故项符合题意．
项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．
项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．
项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．
故选．
★★☆4.设，数列中，， ,则
A．当 B．当
C． D．当
【答案】A
解：对于，令，得，
取，，
当时，，故错误；
对于，令，得或，
取，，，，
当时，，故错误；
对于，令，得，
取，，，，
当时，，故错误；
对于，，，
，
，递增，
当时，，
，，．故正确．
故选：．
★★☆5.设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【解析】（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.
所以，的通项公式为的通项公式为.
（Ⅱ）（i）解：.
所以，数列的通项公式为.
（ii）解：
.
★★☆6.已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设， ， 是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）.
【解析】（1）设数列的公差为，由 ， ， 成等比数列，得
，解得. 从而求得.
（2）由（1）， 得
，解得. 故最大的正整数.
★★☆7.已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1 bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【解析】（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.[
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
高考真题/模拟题
1．【2020年全国1卷理科17】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
2．【2020年全国3卷理科17】设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
3．【2020年山东卷18】已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个.
所以.
4．【2019年全国新课标2理科19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
【答案】解：（1）证明：∵4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4；
∴4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）＝4（an﹣bn）+8；
即an+1+bn+1（an+bn），an+1﹣bn+1＝an﹣bn+2；
又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，
∴{an+bn}是首项为1，公比为的等比数列，
{an﹣bn}是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可得：an+bn＝（）n﹣1，
an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
∴an＝（）n+n，
bn＝（）n﹣n．
5．【2018年新课标2理科17】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，
∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，
∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；
（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，
∴Snn2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，
∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．
6．【2018年新课标3理科17】等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．
【答案】解：（1）∵等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．
∴1×q4＝4×（1×q2），
解得q＝±2，
当q＝2时，an＝2n﹣1，
当q＝﹣2时，an＝（﹣2）n﹣1，
∴{an}的通项公式为，an＝2n﹣1，或an＝（﹣2）n﹣1．
（2）记Sn为{an}的前n项和．
当a1＝1，q＝﹣2时，Sn，
由Sm＝63，得Sm63，m∈N，无解；
当a1＝1，q＝2时，Sn2n﹣1，
由Sm＝63，得Sm＝2m﹣1＝63，m∈N，
解得m＝6．
7．【2016年新课标2理科17】Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．
【答案】解：（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．
可得a4＝4，则公差d＝1．
an＝n，
bn＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，
b11＝[lg11]＝1，
b101＝[lg101]＝2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．
b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．
数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．
模拟题：
1.（2021滨州一模 17）已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【答案】（1），，；（2）11302
【难度】中等
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
则，，，，；
（2）由题意可得的前几项为6，10，12，14，18，20，22，24，26，28，30，，
即在与之间有项，可得的第100项在与之间，
所以
．
【考点】等差数列和等比数列的通项公式和求和公式
2．（2021德州一模 17）在数列中，，且成等比数列．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，证明：．
【难度】较易
【解析】证明：(1)由，即，
所以数列是等差数列，其公差为c，首项为1，
因此，，
由成等比数列，得，即，
解得c=2或c=0(舍去)，故
因为，
所以
因为，所以．
【考点】数列求通项，求和
3．（2021菏泽一模 18）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，，其中．
（1）分别求数列和的通项公式；（6分）
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．（6分）
【答案】（1），；（2）
【难度】中等
【解析】解：（1），
，两式相减整理得：，
等比数列的公比，
又当时，有，即，解得：，，
，，，
，，
又当时，也适合上式，；
（2）由（1）可得：，
，，
又，
两式相减得：，
整理得：．
【考点】数列通项及求和
4.（2021济南一模 22）已知正项数列，.
证明：（1）；（2）；（3）.
【答案】略
【难度】困难
【证明】（1）令，，，
可知时，函数取得极大值即最大值，
（1），．
把换为，可得，
，.
得证。
（2）要证明，即
令，
所以，
所以可得在上单调递减，又因为，所以在上单调递减，而，所以 ，，，即得。
（3）由（1）得 又，利用类乘法可得，，所以，
由（1）得，
，利用累乘法，可得
， , .
得证。
【考点】数列单调性的证明，累乘法，利用导数研究函数的单调性
5.（2021济宁一模 18）在①；②，③，，．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．已知数列满足______（n∈N*），若，求数列的前项和．
【答案】当选条件①时：
当选条件②时：
当选条件③时：
【难度】中档
【解答】解：当选条件①时：
，
，
两式相减得：，即，，
又当时，有，解得：，
数列是首项为3，公比为2的等比数列，
，
，
，
又，
两式相减得：，
整理得：．
当选条件②时：
，
，
两式相减得：，，
又当时，有也适合上式，
，
，
，
又，
两式相减得：，
整理得：．
当选条件③时：
，
数列是等比数列，
设数列的公比为，
由，，可得：，解得，
，
，
，
又，
两式相减得：，
整理得：．
【答案】等比数列的定义及基本量的计算，错位相减法
6．（2021聊城一模 18）在数列中，，且成等比数列．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，证明：．
【难度】较易
【解析】证明：(1)由，即，
所以数列是等差数列，其公差为c，首项为1，
因此，，
由成等比数列，得，即，
解得c=2或c=0(舍去)，故
因为，
所以
因为，所以．
【考点】数列求通项，求和
7.（2021临沂一模 18）在①②,③这三个条件中，任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项数列的前n项和为，，满足_________.
（1）求；
（2）若,求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1）,（2）
【难度】中档
【解析】（1）若选①当时，得，当时，
两式相减得：得，，当时也成立；；
若选②，当时，得，当时，两式相减得，，，
若选③，当时，，两式相减得
由所以是公差为1的等差数列,.
(2)由（1）知， 所以，
两式作差得
【考点】数列求通项，错位相减法求和.
8.（2021青岛模拟 17）从①；②；③，是的等比中项”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答.
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零_______, .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，数列的前n项和为,求
注:如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
【答案】略
【难度】中档
【解析】（1）选①.
，令，，
时，，，满足，
②由得，解得，
③由是的等比中项，得，代入得
，所以，
【考点】数列求通项与求和问题
9.（2021 日照一模 18）在①已知数列满足：，，②等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值．
【答案】（1）
（2）的最大值为2022。
【难度】中档
【解答】解：（1）选①已知数列满足：，，
设等比数列的公比为，
由，可得，
又，即，解得，
所以；
选②等比数列中，公比，前5项和为62，
则，，
解得，
所以；
（2），
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得，
因为，
所以递增，最小，且为，所以，
解得，
则的最大值为2022．
【考点】等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和
10.（2021泰安一模 17）在①②是的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且__________
（1）求;
（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）（2）
【难度】中档
【解析】（1）设等差数列的公差为，则
方案一：选条件①
（1）由解得，
（2）
，又
方案二：选条件②
由解得，
（2）同方案一（2）
方案三：选条件③
由解得，
（2）同方案一（2）
【考点】等差数列的通项及求和
11.（2021潍坊一模 18）已知数列的前项和为。
证明：数列为等比数列，并求出。
求数列的前项和。
【答案】（1）证明略，（2）=
【难度】中档
【解析】（1）由已知，
整理得，
所以，
令 ，得，所以 ，
数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以
【考点】等比数列的定义，由递推式求通项公式，等比数列求和
12.（2021烟台一模 17）在①，②，③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题:已知为公差不为零的等差数列，其前n项和为， 为等比数列，其前n项和，为常数，， .
（1）求数列,的通项公式;
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】见解析
【难度】中档
【解析】解：由已知,,
所以,通项.
故
若选①: （1）不妨设的公差为.则,
解得,所以.
（2）由,则,,
所以.
若选②:
（1）不妨设的公差为.则
解得,所以.
（2）由,则,,
所以.
若选③:
（1）不妨设的公差为.则
因为,解得解得,所以.
（2）由,则,,
所以.
【考点】数列求和，数列求通项，对数运算
13.（2021淄博一模 18）将个正数排成n行n列：
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若，
求；
设，求.
【答案】（1） （2）
【难度】中等
【解析】（1）设第一行数的公差为d，各列的公比为q，
由题意可知，解得，
，解得
则.
由，解得，
因此
（2），
可得，
两边同时乘以可得：
上述两式相减可得：
因此 .
【考点】公式法求通项：错位相减法求和

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