资源简介

7.1 平面向量
【本节知识切片】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
一．平面向量的线性运算 1.对向量定义的理解 ★☆☆☆☆ √
2.向量的线性运算 ★★☆☆☆ √
3.利用向量的运算判断图形的形状 ★★☆☆☆ √
二．平面向量的坐标运算及基本定理 1.共线向量基本定理 ★☆☆☆☆ √
2.平面向量基本定理 ★★☆☆☆ √
3.平面向量的坐标运算 ★★☆☆☆ ×
三．平面向量的数量积 1.对数量积定义的认识 ★★☆☆☆ √
2.数量积的模长与夹角 ★★☆☆☆ √
3.平行与垂直问题 ★★★☆☆ ×
4.数量积的几何意义 ★★☆☆☆ ×
四． 平面向量的应用 1.判断平面图形的形状及简单应用 ★★☆☆☆ √
2.三角形中的四心问题 ★★☆☆☆ √
3.平面向量中的最值与取值范围问题 ★★☆☆☆ √
【本节考情分析】
年份/考查形式 月考 期中 期末 高考、
选择题 2-3 1-2 1-2
填空题 1 1 1
解答题
平面向量是每年高考的必考的内容，一般考查数量积的运算及性质，难度不大，复习时重点关注常规概念、基本运算及性质，重点是数量积的运算及性质，难点是向量的线性运算及三角形中常见的四心的结论，另外向量经常会与其他知识作为一个载体出现。各种题型均会出现，单独考查时一般出现在小题中，难度中低档，属于可得分点，与其他知识结合时会在解答题中出现，总约占7%--10%。
【教材正文】
模块一 平面向量的线性运算
【知识点】
(
1
. 向量的定义及模长
(1)向量的定义及表示：
既有大小又有方向的量叫做向量．以
A
为起点、
B
为终点的向量记作
，也可用黑体的单个小写字母
a
，
b
，
c
，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：
向量
的大小即向量
的长度(模)，记为|
|.
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
2．几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作
，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量　
单位向量记作
，
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)
与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量
若
，
为相反向量，则
注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量
平行的单位向量有两个，即向量
和
)
(
3．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算　
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
；
(2)结合律：
减法
求
与
的相反向量
和的运算
三角形法则
＝
4
. 向量加法的多边形法则
:
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，
表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
)【题型一：对向量定义的理解】
★☆☆例1：
关于零向量，下列说法中错误的是　　
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
【答案】A
【解析】解：零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，
因此，，，正确，错误．故选：．
★☆☆练习1：
以下给出了4个命题
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若，且，则；
（4）若向量的模小于的模，则．
其中正确命题的个数共有　　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】
【解析】解：（1）长度相等方向相同的两个向量相等，故（1）错；
（2）两个向量长度相等方向相同就相等，起点不一定相同；
（3）若，则，故得出不正确；
（4）向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故不正确．故选：．
★☆☆练习2．
（多选）下列命题不正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解： 不对，因为这两个向量的模相等时，他们的方向不一定相同，故这两个向量不一定相等．
不对，两个向量的模可以比较大小，但两个向量不能比较大小，因为还要考虑向量的方向．
不对，两个向量的模相等，不能得出他们的方向相同或相反，因此，不能的出两个向量共线．
正确，因为当向量的模等于0时，此向量必定是零向量，其方向是任意的．故选： ．
【题型二：向量的线性运算】
★☆☆例题１．
（2021春 海淀区期中）　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：因为：，
★☆☆练习１．
（2021春 凉山州期末）在平行四边形中，　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：平行四边形中，，
★☆☆练习2．
（2021春 大荔县期末）下列各式中不能化简为的是　　
A． B．
C． D．
答案：．
解析：，错误；
，错误；
，正确；
，错误．
★☆☆例题２．
如图所示，向量，，，在一条直线上且，
则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由 得 ，，
即，，故选：．
★☆☆练习1．
如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：观察图形知：，，，
．故选：．
★☆☆练习2．
已知是的边上的中点，若向量，，则向量等于　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选：．
【题型三：利用向量的运算判断图形的形状】
★☆☆例题１．设四边形中，有且，则这个四边形是　　
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【答案】
【解析】解：，，且．又，四边形为等腰梯形．故选：．
★☆☆练习1．
在四边形中，，其中不共线，则四边形是　　
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】
【解析】解：
，，，四边形是梯形，故选：．
【小节回顾】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
一．平面向量的线性运算 1.对向量定义的理解 ★☆☆☆☆ √
2.向量的线性运算 ★★☆☆☆ √
3.利用向量的运算判断图形的形状 ★★☆☆☆ √
教师建议：
模块二 向量的坐标运算及基本定理
【知识点】
(
１．共线向量定理
向量
与
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使得
.只有
才保证实数
的存在性和唯一性.
２
.平面向量的基本定理：
如果
、
是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
、
，使
，其中
、
是一组基底.
３. 几个重要结论：
（1）若
、
为不共线向量，则
、
为以
、
为邻边的平行四边形的对角线向量；
（2）
；
(3)若
为线段
AB
的中点，
O
为平面内任一点，则
．
（4）
,若点
A
，
B
，
C
三点共线，则
.
)
(
４
.
平面向量的坐标表示
(1)基底：
在平面直角坐标系中，分别取与
轴、
轴方向相同的两个单位向量
，
作为基底．
(2)坐标：
对于平面内的一个向量
，有且只有一对实数
、
，使得
，我们把有序实数对
叫做向量
的坐标，记作
，其中
叫做向量
在
轴上的坐标，
叫做向量
在
轴上的坐标．
(3)坐标表示：
就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：
，
，
５. 平面向量的坐标运算
（1）若
，
，则
；
（2）若
，
，则
；
（3）若
，
，
则
.
8. 向量平行的坐标表示
（1）如果
，
，则
的充要条件为
；
（2）三点
，
，
共线的充要条件为
.
)
【题型一：共线向量基本定理】
★☆☆例题１．
设，，，当，且时，点在　　
A．线段上 B．直线上
C．直线上，但除去点 D．直线上，但除去点
【答案】
【解析】解：即
，，共线故选：．
★☆☆练习１．
（2021春 临汾月考）已知是两个不共线的向量，且向量共线，则实数的值为　　
A．3 B． C． D．
答案：．
解析：是两个不共线的向量，且向量共线，
存在实数，使得，
，解得．
实数的值为．
★☆☆练习２．
（2021春 杭州期末）在中，，，若，则等于　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：在中，，，
，，，，．
★☆☆练习３．
（多选）（2021秋 下陆区校级月考）已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是　　
A．且
B．存在相异实数，，使
C．当时，
D．已知梯形，其中，
答案：．
解析：．联立和消去向量可得出，，且，
，共线；
．都是非零向量，且，，
，都不为0，，共线；
．当时，满足，此时对任意的向量都有，
得不出共线；．与不一定平行，
得不出共线．
【题型二：平面向量基本定理】
★★☆例题１．
下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③基底中的向量不能为零向量.
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】
【解析】解：不共线的非零向量可以表示成基底
★★☆练习1．
设是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出所有满足条件的序号)
【答案】③
【解析】解：不共线的非零向量可以表示成基底
★★☆例题２．
如图所示，已知在平行四边形中，、分别是、边上的中点．若，，试以、为基底表示、.
【答案】，
【解析】解：回顾平面向量基本定理，强调基底（两个不共线向量），平面上任意向量表示的存在性和唯一性（有且仅有）
★★☆练习1．
如图，在中，，若 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：回顾平面向量基本定理，强调基底（两个不共线向量），平面上任意向量表示的存在性和唯一性（有且仅有）。先确定基底，再根据中点结论得到.
★★☆练习２．
（2021春 广东期中）在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点．设，，则　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：因为，
所以，
则．
【题型三：平面向量的坐标运算】
★★☆例题１．若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现
已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由已知，，，，设，，，
则由，，在基底下的坐标为．故选：．
★★☆练习1．
已知向量，．若实数与向量满足，则可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：向量，，，
若存在实数与向量满足，设
则，，，可得
再观察、、、各项中的向量坐标，只有项满足
故选：．
★★☆练习２．
（2021春 温州期末）已知，，，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一个基底的是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：，，与不共线，错误，
，（4），与不共线，错误，
，，与共线，正确，
，，与不共线，错误，
★☆☆例题２．，，且在的延长线上，使，则点为　　
A． B．， C．， D．
【解析】
【解析】解：由题意知，设，则，，，
，，点的坐标为．故选：．
★☆☆ 练习1．
已知平面向量，，，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：平面向量，且，
所以，即则，，，故选：．
★☆☆例题３．
（2021春 西湖区期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量
是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：，， 3，，
故与向量同向的单位向量为，，
★☆☆ 练习1．
（2021 巴中模拟）已知向量，若，，三点共线，则实数　　
A． B． C．4 D．5
答案：．
解析：向量，
若，，三点共线，则存在实数，使，
即，解得，．
【小节回顾】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
二．平面向量的坐标运算及基本定理 1.共线向量基本定理 ★☆☆☆☆ √
2.平面向量基本定理 ★★☆☆☆ √
3.平面向量的坐标运算 ★★☆☆☆ ×
教师建议：
模块三 平面向量的数量积
【知识点】
(
1．两个非零向量的夹角：
已知两个非零向量
，作
，则
称作向量
和向量
的夹角，记作
，并规定
．当
时，称
．
2．向量数量积（内积）：
的数量积记作
，定义为
．
备注：两个向量的数量积
就等于一个向量的模长
与另一个向量
在这个向量
方向上的投影的数量的
乘积
，这就是向量
数量积的几何意义.
以数量积的定义，我们可以
⑴判断两个向量是否垂直：
（规定，零向量与任何向量都垂直）；
⑵计算任一向量的模长：
，即
；
⑶计算两个向量的夹角：
（
）．
3．向量的数量积满足的运算律：
⑴交换律：
；
⑵与数乘的结合律：
；注意：数量积本身不满足结合律！
⑶对加法的分配律：
)
(
4.
数量积的坐标运算：
（１）模长：
，即
；
（２）
，
（３）求向量夹角的坐标方法：
)
【题型一：对数量积定义的认识】
★☆☆例题1．
若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是　　
A． B．
C． D．
【解析】
【解析】解：由向量的加法满足结合律，我们易得一定成立；由向量满足分配律，易得一定成立；由
数乘向量满足乘法分配律，故一定成立；由，表示一个与平行的向量，而；表示一个与平行的向量，而方向与方向不一定同向．故不一定成立故选：．
★★☆练习1．
已知，，则的值为　　
A． B． C．3 D．1
【答案】
【解析】解：
（或．故选：．
【题型二：数量积的模长与夹角】
★☆☆例题1．
平面向量与的夹角为，若，，则　　
A． B． C．4 D．12
【答案】
【解析】解：由，所以，
所以
．所以．故选：．
★☆☆练习1．
（2021春 海陵区校级期末）已知向量满足，，则　　
A．3 B． C．7 D．
答案：．
解析：，
，，
．
★☆☆例题２．
已知，，与的夹角为，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，，
，所以，夹角为．故选：．
★★☆练习１．
设单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，，，
，，
．故选：．
★☆☆例题３．
已知非零向量满足，且则与的夹角为（　　）
　 A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由已知非零向量满足，且，设两个非零向量的夹角为，所以，即，所以，，所以；
★☆☆练习1．
若非零向量满足，且，则的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：， 即，
即， 即.
【题型三：平行与垂直问题】
★☆☆例题1．
已知向量，如果向量垂直，则的值为　　
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】解：向量，，向量垂直，
，解得，故选：．
★☆☆练习1．
已知平面向量，，与垂直，则　　
A． B．1 C． D．2
【答案】
【解析】解：，，，与垂直，
，代入数据可得：，解之可得故选：．
【题型四：数量积的几何意义】
★☆☆例题1．
已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为　　
A． B．4 C． D．
【答案】
【解析】解：由两个向量数量积的几何意义可知：在方向上的投影即：
故选：．
★☆☆练习1．
在直角三角形中， , ，是斜边 的中点，则向量在向量,方向上的投影是________．【答案】
【解析】解：由题可知,故向量在向量,方向上的投影
★★☆练习２．
（多选）已知向量，的夹角为，且，，则和在方向上的投影的数量分别等于　　
A．4 B．2 C．1 D．
答案：．
解析：向量，的夹角为，，，
所以；
所以，
所以；
所以在方向上的投影的数量为
．
【小节回顾】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
三．平面向量的数量积 1.对数量积定义的认识 ★★☆☆☆ √
2.数量积的模长与夹角 ★★☆☆☆ √
3.平行与垂直问题 ★★★☆☆ ×
4.数量积的几何意义 ★★☆☆☆ ×
教师建议：
模块四 平面向量的应用
【知识点】
(
1.
外心的结论：
是
的外心
2.
垂心的结论：
是
的垂心(
1)
(2)
表示
边
的高
上的任意向量，过垂心
3.
重心的结论：
是
的重心（1）
表示
边
的中线
上的任意向量，过重心；（2）
; (3)
,
点
为
的重心
4．内心的结论：
是
的内心：（1）
分别是
的三条边，则满足
（2）
表示
的角平分线上的任意向量，过内心
)
【题型一：判断平面图形的形状及简单应用】
★☆☆例题1．
中，若，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】
【解析】解：，
，，为直角三角形．故选：
★☆☆练习1．
在平行四边形中，若，则必有　　
A． B．或 C．是矩形 D．是正方形
【答案】
【解析】解：在平行四边形中，
★★☆例题２．
（2021春 尖山区校级月考）若，点在外，且，设实数，满足，则　　
A． B．2 C． D．
答案：．
解析：，
①
，且
两边同时平方可得，
整理可得，②
联立可得，
★★☆练习１．
（2021春 宝鸡期末）已知为三角形所在平面内一点，，则　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：根据题意，为三角形所在平面内一点，
若，则是的重心，如图：
设直线与交与点，则有，
设到的距离为，则到的距离为，
故；
★★☆练习２．
（2021春 郫都区校级月考）设为内一点，且满足关系式，则　　．
答案：
解析：由题可得，则，
即，
设，分别为、的中点，，
则，设，
为的中位线，
，
是的中点，
，
又，
，
是的中点，
，
又，
，
故．
【题型二：三角形中的四心问题】
★★☆例题1．
如图，若，，分别是的边，，的中点，是的重心，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】证明：连接、、，如图，、、分别是三边的中点，
，，四边形为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得
，同理在平行四边形中，②，在平行四边形在中，③，将①
②③相加，得故选：．
★★☆练习1．
已知点，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一定点，是内的一动点，若，，，则点的轨迹一定过
的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，
则．又，，即
．又，，点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：．
★★☆练习2．
若点是的重心，则下列向量中与共线的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：点是的重心，设，，分别是边，，的中点，
，同理，
，，
零向量与任意的向量共线，故选：．
★★☆例题2．
已知为所在平面内一点，满足，则点是的　　
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】
【解析】解：设，，，则，，．
由题可知，，
，化简可得，即，
，，即．同理可得，．
是的垂心．故选：．
★★☆练习１．
如图，点为的外心，且，则等于　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】解：作于，则为的外心，，
可得同理可得
，故选C
★★☆练习２．
（2019秋 岳麓区校级期末）在内使的值最小的点是的　　
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
答案：．
解析：令，，设，则，，
于是．
所以当时，最小，
此时，
则点为的重心．
【题型三：平面向量中的最值与取值范围问题】
★★☆例题1．
（2021春 海淀区校级期中）已知，，，，在同一平面内，，且，则的最大值为　　
A． B． C． D．4
答案：．
解析：，，又，．
，
当、与反向时，取得最大值，
★★☆练习1.
（2021 重庆质检）已知等边的边长为，为它所在平面内一点，且，则的最大值为　　
A． B．7 C．5 D．
答案：．
解析：设为线段的中点，连接，则．由向量模的三角不等式得，即，
，（1）
在中，，（2）（2）代入 （1）得
．
★★☆练习２.
（多选）（2020秋 西湖区校级期末）如图，直角的斜边长为2，，且点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．则　　
A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值
C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值
答案：．
解析：，，，
，．
设，则，且，
，，，，
，，
故
，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；
答案项错误；
，
当，即时，取到最大值，无最小值．
答案项正确；
，，
所以
，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；
因为，
所以，
故没有最大值，也没有最小值．
答案项正确；
★★☆例题２．
（2021春 邳州市校级期中）已知向量，，
（1）当时，求的值；
（2）求在，上的最大值与最小值．
答案：（１），．（２）最大值与最小值分别为，．
解析：（1），，，
，即，整理得，所以，．
解得，．
（2），
又，，可得，，所以，，所以，
综上，在，上的最大值与最小值分别为，．
★★☆练习１.
（2021春 中山市期末）已知中，，，的对边分别为，，，且．
（1）判断的形状，并求的取值范围；
（2）如图，三角形的顶点、分别在、上运动，，，若直线直线，且相交于点，求，间距离的取值范围．
答案：（１），；
（２）
解析：（1），
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
，
，；
（2）简解：不妨设，，则，，
，
．
★★☆练习２.
（2021春 台江区校级期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）设，，试用表示与；
（2）设，试用表示，并求的最小值．
答案：（１），．（２）
解析：（1）由题意知，点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点，
所以，，
又因为与轴交于点，与轴交于点，
由，，且，，
所以，．
（2）由，
由，，三点共线，
所以，
即，①
同理，
由，，三点共线，
所以，②
由①②得，
，
所以，
所以，
当时，取得最小值为．
【小节回顾】
模块 题型拆分 难度 是否掌握
四． 平面向量的应用 1.判断平面图形的形状及简单应用 ★★☆☆☆ √
2.三角形中的四心问题 ★★☆☆☆ √
3.平面向量中的最值与取值范围问题 ★★☆☆☆ √
教师建议：
课堂总结
一．知识点/公式
二．题型/考法
巩固 提升
【巩固】
★☆☆1：已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：不正确，、的方向不确定．不正确，当、 垂直时，．
不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的
方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故
一定有，从而，故正确．故选：．
★☆☆2： 若是正方形，是的中点，且，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图，．
故选：．
★☆☆3：若是内一点，，则是的　　
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】
【解析】解：以、为邻边作平行四边形，则．又，
．．为的中点，且、、共线．又为的中点，是中
线的三等分点，且．是的重心．故选：．
★☆☆４．（2021春 郫都区校级期中）若向量，，则　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：，，
．
★☆☆５．（2021 山西三模）已知的重心为，则向量　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：取中点，连接，
是的重心，、、三点共线，
由重心特点得，
．
★☆☆６．（2021春 广州月考）已知向量与共线，则　　
A． B．4 C．9 D．
答案：．
解析：向量与共线，
，
解得．
★☆☆７． 已知中，，，，，，，则与的夹角是
A． B． C． D．或
【答案】
【解析】解：，，又，，
，解得．，，
★★☆８：与向量，，的夹角相等且模为的向量为　　
A．，
B．，
C．，，，
D．，，，
【答案】
【解析】解：设所求的向量的坐标是．与向量，，的夹角相等，，①要求的向量的模为，②
由①②得，，
要求的向量的坐标是，，故选：．
★☆☆９．（2021春 武侯区校级期中）已知不共线向量，，且，，若与共线，则的值是　　
A．2 B． C． D．3
答案：．
解析：与共线，
存在实数，使，即，
根据平面向量基本定理，，解得．
★☆☆１０．（2021 九龙坡区质检）已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：向量，，，，
解得，，．
★★☆１１．在平面直角坐标系中，，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解析】解：由题意可知向量的模是不变的，当与同向时的最大，．故选：．
★★☆１２．已知向量，，，若点、、能构成三角形，则实数应满足的条件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：若点、、不能构成三角形，则只能三点共线．
，，，，
，，，．假设、、三点共线，则，即．若、、三点能构成三角形，则．故选：．
★☆☆１３．（多选）（2015春 杭州校级月考）已知、、为三个不共线的点，为所在平面内一点，若，则点与的位置关系是　　
A．点在内部 B．点在外部
C．点在直线上 D．点在直线上
答案：．
解析：，．
如图所示，以，为邻边作平行四边形，则，
延长到点，使得，则，
点在边所在的直线上，点在外部．
★☆☆１４．（多选）（2021春 浙江期中）已知向量，，则　　
A．
B．
C．与向量平行的单位向量为
D．向量在向量上的投影向量为
答案：．
解析：，
，，，与向量平行的单位向量为，向量在方向上的投影向量为．
★★☆１５．（多选）（2021春 温州期末）如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是　　
A．若存在实数，使得，则
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线，，，，则
D．若向量与垂直，，，，则
答案：．
解析：：若，有一个不为0，不妨设不等于0，则，
与共线，这与，不共线矛盾，，正确，
：根据平面向量基本定理可知，
如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，错误，
与共线，，
，，正确，
与垂直，，
，不一定成立，错误．
★★☆１６．（多选）（2021春 苏州期中）在平面直角坐标系内，为坐标原点，已知，，若是线段的三等分点，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
答案：．
解析：，，
，
是线段的三等分点，或，
则或．
设，又，
，，或，，，
即或，
解得或．
★★☆１７．（2021春 邢台期末）已知，，若，，三点共线，且，写出一个满足条件的点的坐标为 　　．
答案：．
解析：设，则，由，，三点共线得，
又，，．
由得，把代入得：，解得或，
则满足条件的一个点坐标为．
★★☆１８．（2021春 京口区校级期中）在中，，，，为边上的高，若，则　　．
答案：．
解析：由题意得，
，，，
，
，
，，，
★★☆1９：过点 作圆的两条切线，切点分别为 则 .
【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中作出圆及其切线，，连接，，由图可知，，，则，的夹角为 ，所以.
★★☆２０.在 中，，的面积为，若 ，，则 的最小值为　 　
【答案】
【解析】解：如图，建立直角坐标系，设，，若
则， 由题意的面积为，可得 ，
，当且仅当时取等号.
★★☆２1．（2020秋 丹东期末）已知平面上点，，，且．
（1）求；
（2）若点，用基底表示．
答案：见解析
解析：（1）设，由点，，，
所以，，
又，所以，
解得，
所以点，，
所以；
（2）由点，所以，
，，
设，
即，解得，
用基底表示．
★★☆２２．（2021春 韶关期末）如图，已知在平面直角坐标系中不重合的四点，，，满足以下条件：，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求四边形的面积．
答案：见解析
解析：（1），，且，
，解得；
（2），，且，
，解得或2，
时，，两点重合，不满足条件应舍去；时，，
，
．
【提升】
★★☆1： 已知，则向量与的夹角是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，2，，，0，，
，
，
设 向量与的夹角是，则
，，故选：．
★★☆2： 平面向量，，满足，，，，则的最小值为　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】解：设，，，．满足，不妨取．
平面向量，，，，，．，．
，，化为．只考虑．不妨取，．
，当且仅当时取等号．
的最小值为．故选：．
★★☆3： 已知向量满足，．则△的形状为　　
A．正三角形 B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形 D．直角三角形
【答案】
【解析】解：可得，
两边同时平方可得
由向量的数量积的定义可得，同理可得可得
则三角形为等边三角形故选：．
★★☆4： 已知两个向量集合，，，，若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】解：，即是说方程组有解．
而，②即为③
由①得，代入③消去得，移向得出
．，，当时，的最小值为，当
时，的最大值为5．故选B
★★☆5：已知平面向量、、满足，且，则的最大值是
【答案】
【解析】解：因为，设，
所以，
所以，
其中 ，所以当时，取最大值.
★★☆6：已知点A,B,C在圆上运动，且，若点的坐标为，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意，为直径，所以 ,当且仅当点为时，取得最大值，故选B.
★★★７．在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设中点为，，分两种情况，一种为、在的两侧时，此时可以求出当时，的最小值为，另一种为、在的同侧时，可以求出当或与或重合时，的最大值为，故选B
★★★８．（2021春 虹口区校级期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，，，，，，，向量集，且，不重合．则这个集合中元素的个数为　　
A．18 B．24 C．36 D．42
答案：．
解析：如图，以为起点的向量共有，3，4，5，，等6个向量，故以为终点的向量也有6个向量，
以为起点的向量且与以上12个向量不相等的有，等2个向量，故以为终点的向量也有2个向量，
以为起点的向量且与以上16个向量不相等的有个向量，故以为终点的向量也有1个向量，
以、、，为起点或终点的向量与以上18个向量中的某一个向量相等，
综上所述，这个集合中元素的个数为18，
★★★９．（2019秋 迎泽区校级月考）在中，若，记，，，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
答案：．
解析：如图，
作，则，
四边形是平行四边形，
，设的边上的高为，的边上的高为，则：，
，
，
．
★★★１０．（多选）（2020秋 如皋市期末）如图，是的中点，，是平行四边形内（含边界）的一点，且．以下结论中正确的结论为　　
A．当时，，
B．当是线段的中点时，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
答案：．
解析：当，据共线向量的充要条件得到在线段上，故，故错；
当是线段的中点时，
，故对；
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故对，
对于，令，则，当，，共线时，则，
当平移到过点时，的最大值为，故正确
★★★１１．（2021 柯桥区模拟）已知平面向量，，，，满足，，，则的最大值为　　．
答案：．
解析：，
原式，
，
，，
原式要取最大值时，需满足，与同向，且与反向，
即原式取最大值为，，
★★★１２．（2020 江苏模拟）在平面直角坐标系中，异于原点的、、三点满足，则面积的最大值为　　
答案：．
解析：如图，以为坐标原点建系，设，，
，
，
，化简得，
所以的最大值为，
所以，
所以，当且仅当“”时取等号，经验证成立．
高考模拟
★★☆1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：，，，．
，
因此，．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．
★★☆2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，则．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．
★★☆3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)
A．　　　　　B．　　　　C．　　　　　　　D．
【答案】B
解析：，所以，
所以．
★★☆４.（２０２１·新课标高考） 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
★☆☆５．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．
★★☆６．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图
则，，，，连结，过点作于点
在中，有
即
所以圆的方程为
可设
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值为，故选A．
法二：通过点作于点，由，，可求得
又由，可求得
由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值
又点到的距离与点到直线的距离相等，均为
而此时点到直线的距离为
所以，所以的最大值为，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．
法四：由题意，画出右图．
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为．∵，．∴．切于点．
∴⊥．∴是中斜边上的高．
即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理
【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

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