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2022年高考数学第一轮复习专题：圆锥曲线
韦达定理压轴大题
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第一部分：韦达定理计算
一、已知直线斜率的题型。
（1）已知直线斜率的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于、两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：（直线的斜截式方程，引进直线与轴的截距作为题目中唯一的参数）。 假设：两个交点的坐标。假设：点的坐标为，点的坐标为。 直线与椭圆相交于、两点直线的方程与椭圆的方程 联立解方程组得到、两点的坐标。 对椭圆的方程去分母：方程两边同时乘以得到： 。 联立和得到： 。 韦达定理计算：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
例题二：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于、两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
（2）已知直线斜率的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于、两点。 完成韦达定理计算。 解：
训练二：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于、两点。 完成韦达定理计算。 解：
（3）已知直线斜率的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与椭圆：（）相交于、两点。完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 ； 。
训练二：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于、两点。 完成韦达定理计算。 解：设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
二、已知直线上一点题型。
（1）已知直线上一点的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线方程：。 联立和得到：， 或者，。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线方程：。 联立和得到：无解直线与抛物线没有交点。 （2）当直线斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
（2）已知直线上一点的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：
训练二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：
（3）已知直线上一点的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，或者 ，。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的斜率为。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
训练二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：直线与抛物线只有一个交点，不符合题目已知两个交点的要求。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 是直线：上一点； 是直线：上一点。 。 。
三、直线无已知条件题型。
（1）直线无已知条件的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 。
例题二：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 。
（2）直线无已知条件的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：
训练二：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：
（3）直线无已知条件的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线与椭圆：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 。
训练二：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 完成韦达定理计算。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 。
第二部分：半韦达定理计算
一、半韦达定理的题型（一）。
（1）半韦达定理的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：椭圆：（），点为椭圆的上顶点，点为椭圆的右焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：椭圆：的上顶点，右焦点。 根据直线的斜截式方程得到直线的方程：。 联立和得到： 。 把代入得到：。 所以：点的坐标为。
例题二：已知：椭圆：，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：椭圆：，。 椭圆：的右顶点。 根据直线的截距式方程得到直线的方程：。 联立和得到： 。 把代入得到：。 所以：点的坐标为。
（2）半韦达定理的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：椭圆：（），点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：
训练二：已知：椭圆：，点为椭圆的下顶点，点为椭圆的左焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：
（3）半韦达定理的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：椭圆：（），点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：椭圆：的左顶点，上焦点。 根据直线的截距式方程得到直线的方程：。 联立和得到： 。 把代入得到：。 所以：点的坐标为。
训练二：已知：椭圆：，点为椭圆的下顶点，点为椭圆的左焦点。直线与椭圆相交于点。 计算：点的坐标。 解：椭圆：，。 椭圆：的下顶点。 根据直线的斜截式方程得到直线的方程：。 联立和得到： 。 把代入得到：。 所以：点的坐标为。
二、半韦达定理的题型（二）。
（1）半韦达定理的例题讲解，如下表所示：
例题：已知：直线与椭圆：相交于，两点。假设：点的坐标为 ，点的坐标为。点的坐标为，直线与椭圆相交于另一个点，直线与椭圆相交于另一个点。 计算：点和点的坐标。 解：点，点直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 联立和得到： 。 直线与椭圆相交于，两点。 根据韦达定理得到：。 在椭圆：上。 ， 。 把代入得到： 。 所以：点的坐标为。同理可以得到：点的坐标为。
（2）半韦达定理的跟踪训练，如下表所示：
训练：已知：直线与椭圆：相交于，两点。假设：点的坐标为 ，点的坐标为。点的坐标为，直线与椭圆相交于另一个点，直线与椭圆相交于另一个点。 计算：点和点的坐标。 解：
（3）半韦达定理的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练：已知：直线与椭圆：相交于，两点。假设：点的坐标为 ，点的坐标为。点的坐标为，直线与椭圆相交于另一个点，直线与椭圆相交于另一个点。 计算：点和点的坐标。 解：点，点直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 联立和得到： 。 直线与椭圆相交于，两点。 根据韦达定理得到：。 在椭圆：上。 ， 。 把代入得到： 。 所以：点的坐标为。 同理得到点的坐标为。
第三部分：弦长
一、弦长公式的原理，如下图所示：
弦长公式 弦长公式：斜率为的直线与曲线相交于，两点。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 ①； ②。
弦长公式推理 推理：点是直线：上一点①； 点是直线：上一点②。 ①-②得到： ③，④。 根据两点之间距离公式得到：。 把③代入得到： 。 。 把③代入得到： 。 。
二、无参数弦长计算。
（1）无参数弦长的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线的方程：，椭圆的方程：，直线与椭圆相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
例题二：已知：直线的方程：，抛物线的方程：，直线与抛物线相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
（2）无参数弦长的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线的方程：，椭圆的方程：，直线与椭圆相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：
训练二：已知：直线的方程：，抛物线的方程：，直线与抛物线相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：
（3）无参数弦长的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线的方程：，椭圆的方程：，直线与椭圆相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： ，。 根据弦长公式得到：。
训练二：已知：直线的方程：，抛物线的方程：，直线与抛物线相交于，两点。计算：弦长的长度。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
三、有参数弦长计算。
（1）有参数弦长的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为直线与椭圆：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 。
例题二：已知：过点直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
例题三：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
（2）有参数弦长的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为直线与椭圆：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：
训练二：已知：过点直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：
训练三：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：
（3）有参数弦长的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为直线与椭圆：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
训练二：已知：过点直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，。 根据两点之间距离公式得到：。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
训练三：已知：直线与抛物线：相交于，两点。 计算：弦长的长度。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。
四、已知弦长计算直线方程。
（1）已知弦长计算直线方程的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 所以：直线的方程：或者。
例题二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，。 根据两点之间距离公式得到：不成立。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 或者， 直线的方程：或者。 所以：直线的方程：或者。
（2）已知弦长计算直线方程的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：
（3）已知弦长计算直线方程的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 所以：直线的方程为：。
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点，。 计算：直线的方程。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，。 根据两点之间距离公式得到：不成立。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 或者，。 所以：直线的斜率为或者。
第四部分：直线与曲线两个交点的中点
一、无参数直线与曲线两个交点的中点。
（1）无参数计算与曲线两个交点的中点例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
例题二：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
（2）无参数计算与曲线两个交点的中点跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：
训练二：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：
（3）无参数计算与曲线两个交点的中点跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
训练二：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
二、有参数直线与曲线两个交点的中点。
（1）有参数计算与曲线两个交点的中点例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：直线与抛物线只有一个交点不成立。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是线段的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
（2）有参数计算与曲线两个交点的中点跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：
（3）有参数计算与曲线两个交点的中点跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是的中点，。 所以：线段的中点的坐标为。
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：线段的中点的坐标。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：。 所以：线段的中点的坐标。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 是选段的中点， 。 所以：线段的中点的坐标为。
第五部分：判别式计算
一、判别式计算直线方程。
（1）判别式计算直线方程的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相切。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的方程：。 联立和得到： 。 计算判别式。 直线与椭圆相切。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相切。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的斜率为，直线过点直线的方程：。 联立和得到：。 计算判别式：。 直线与抛物线相切或者。 所以：直线的方程为或者。
（2）判别式计算直线方程的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相切。 计算：直线的方程。 解：
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相切。 计算：直线的方程。 解：
（3）判别式计算直线方程的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相切。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的方程：。 联立和得到：。 计算判别式：。 直线与抛物线相切。 所以：直线的方程为。
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相切。 计算：直线的方程。 解：假设：直线的斜率为，直线过点直线的方程：。 联立和得到： 。 计算判别式：。 直线与椭圆相切。 所以：直线的方程为或者。
二、判别式计算参数取值范围。
（1）判别式计算参数取值范围的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：参数的取值范围。 解：联立和得到： 。 计算判别式：。 直线与椭圆相交于两点。 所以：参数的取值范围：。
例题二：已知：过点，斜率为的直线与抛物线：相交于，两点。计算：参数的取值范围。 解：过点，斜率为的直线方程：。 联立和得到：。 计算判别式：。 直线与椭圆相交于两点 。 所以：参数的取值范围：。
（2）判别式计算参数取值范围的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线：与抛物线：相交于，两点。 计算：参数的取值范围。 解：
训练二：已知：过点，斜率为的直线与椭圆：相交于，两点。计算：参数的取值范围。 解：
（3）判别式计算参数取值范围的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线：与抛物线：相交于，两点。 计算：参数的取值范围。 解：联立和得到：。 计算判别式：。 直线和抛物线相交于两点。 所以：参数的取值范围：。
训练二：已知：过点，斜率为的直线与椭圆：相交于，两点。计算：参数的取值范围。 解：过点，斜率为的直线的方程：。 联立和得到： 。 计算判别式：。 直线和椭圆相交于两点 。 所以：参数的取值范围：。
第六部分：以弦长为直径的圆
一、无参数以弦长为直径的圆。
（1）无参数以弦长为直径的圆例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 或者。 根据弦长公式得到：。 圆的直径。 ，。 所以：。 圆心为直径的中点。 圆心，半径圆的方程：。
例题二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到：。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为直径的中点。 圆心，半径圆的方程：。
（2）无参数以弦长为直径的圆跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：
（3）无参数以弦长为直径的圆跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为直径的中点。 圆心，半径圆的方程：。
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为直径的中点。 圆心，半径圆的方程：。
二、有参数以弦长为直径的圆。
（1）有参数以弦长为直径的圆例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为直径的中点。 圆心，半径圆的方程：。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：直线的斜率为，直线过点直线的方程：。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为的中点圆心。 圆心，半径圆的方程：。
（2）有参数以弦长为直径的圆跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：
（3）有参数以弦长为直径的圆跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 圆心为直径的中点圆心的坐标。 圆心，半径圆的方程为。
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点。 计算：以为直径的圆的方程。 解：假设：直线的斜率为，直线过点直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 圆的直径。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 圆心为直径的中点圆心的坐标为 。 圆心，圆的方程。
第七部分：计算三角形的面积
一、无参数计算三角形的面积。
（1）无参数计算三角形的面积例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点，点的坐标原点。计算：的面积。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 。 点到直线：的距离：。 所以：的面积：。
例题二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点，点的坐标为。计算：的面积。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到：。 点到直线：的距离：。 所以：的面积：。
（2）无参数计算三角形的面积跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点，点为椭圆的右顶点。计算：的面积。 解：
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点，点的坐标为。计算：的面积。 解：
（3）无参数计算三角形的面积跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线：与椭圆：相交于，两点，点为椭圆的右顶点。计算：的面积。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 点为椭圆：的右顶点。 点到直线：的距离：。 所以：的面积：。
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点，点的坐标为。计算：的面积。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 点到直线：得到：。 所以：的面积：。
二、计算三角形的最值。
（1）计算三角形的面积最值例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，点的坐标为。计算：的面积的最大值。 解：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 计算判别式。 直线与椭圆相交于两点。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 点到直线：的距离：。 的面积：。 假设：。对称轴：。 在处取得最大值：。 面积最大值为。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点，为坐标原点。计算：面积的最小值。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：直线与椭圆只有一个交点 不符合题意中的两个交点。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 计算判别式。 直线与椭圆相交于两点。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 原点到直线：的距离：。 面积：。 面积最小值为。
（2）计算三角形的面积最值跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线：（）与椭圆：相交于，两点，为坐标原点。计算：面积的最大值。 解：
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点，为坐标原点。计算：面积的最小值。 解：
（3）计算三角形的面积最值跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线：（）与椭圆：相交于，两点，为坐标原点。计算：面积的最大值。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 计算判别式。 直线与椭圆相交于两点， 。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 原点到直线：的距离：。 的面积：。 的最大值为。
训练二：已知：直线：与抛物线：相交于，两点，为坐标原点。计算：面积的最小值。 解：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 计算判别式。 直线与抛物线相交于两点。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 原点到直线：的距离：。 的面积：。 。 所以：的面积最小值为。
第八部分：计算向量积
一、无参数计算向量积。
（1）无参数计算向量积例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：直线与椭圆：相交于，两点，点的坐标为。计算：向量积的值。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： ，。 ； 。 向量，向量 所以：向量积。
例题二：已知：直线与椭圆：相交于，两点，点的坐标为。计算：向量积的值。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立与得到：。 根据韦达定理得到：，。 点是直线：上一点； 点是直线：上一点。 。 。 ，； ，。 向量积 。
（2）无参数计算向量积跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：直线与椭圆：相交于，两点，点为坐标原点。计算：向量积的值。 解：
训练二：已知：直线与抛物线：相交于，两点，点的坐标为。计算：向量积的值。 解：
（3）无参数计算向量积跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：直线与椭圆：相交于，两点，点为坐标原点。计算：向量积的值。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 。 向量，向量。 向量积。
训练二：已知：直线与抛物线：相交于，两点，点的坐标为。计算：向量积的值。 解：假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： ，。 当时：； 当时：。 向量，向量。 向量积。
二、根据向量积计算直线方程。
（1）根据向量积计算直线方程的例题讲解，如下表所示：
例题一：已知：斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点。证明：。 证明：假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 。 向量，向量。 向量积。
例题二：已知：过点的直线与抛物线：相交于，两点，点的坐标为，。计算：直线的方程。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线方程：。 联立和得到：直线和抛物线只有一个交点 不符合题目已知直线和抛物线有两个交点。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 计算判别式。 根据韦达定理得到：，。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 。 向量，向量。 向量积 ，。 所以：直线的方程：或者。
（2）根据向量积计算直线方程的跟踪训练，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点，点的坐标为，。计算：直线的方程。 解：
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点，点的坐标为，。计算：直线的方程。 解：
（3）根据向量积计算直线方程的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：已知：斜率为的直线与抛物线：相交于，两点，点的坐标为，。计算：直线的方程。 解：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到：。 判别式。 根据韦达定理得到：，。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 。 向量，向量。 或者， 。 所以：直线的方程：。
训练二：已知：过点的直线与椭圆：相交于，两点，点的坐标为，。计算：直线的方程。 解：分类讨论：（1）当直线无斜率时：直线过点直线的方程：。 联立和得到：，。 向量；向量。 向量积。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 计算判别式。 根据韦达定理得到：，。 点在直线：上； 点在直线：上。 。 。 向量，向量。 向量积 或者。 所以：直线的方程：或者。
第九部分：2021年高考真题
一、高考真题，如下表所示：
题目一：2021年高考数学全国甲卷文科第21题理科第21题：抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线：交于，两点，且，已知点，且圆与相切。 （1）求，圆的方程； （2）设，，是上的三个点，直线，均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由。 解：
题目二：2021年高考数学全国乙卷理科第21题文科第21题：已知抛物线：（）的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为。 （1）求； （2）若点在上，，是的两条切线，，是切点，求面积最大值。
解：
题目三：2021年高考数学新高考1卷第21题：在平面直角坐标系中，已知点 ，，点满足。记的轨迹为。 （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率和直线的斜率之和。
解：
题目四：2021年高考数学新高考2卷第20题：已知椭圆：（），右焦点为，且离心率为。 （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两点，直线与曲线（）相切。证明：，，三点共线的充要条件是。
解：
题目五：2021年高考数学北京卷第20题：已知椭圆：（）过点，以四个顶点围成的四边形面积为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点，。若，求的取值范围。 解：
题目六：2021年高考数学天津卷第18题：已知椭圆（）的右焦点，上顶点为，离心率为，且。 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点。若，求直线的方程。 解：
二、高考真题跟踪训练参考答案，如下表所示：
题目一：2021年高考数学全国甲卷文科第21题理科第21题：抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线：交于，两点，且，已知点，且圆与相切。 （1）求，圆的方程； （2）设，，是上的三个点，直线，均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由。 解：（1）假设：抛物线的方程为。 联立和得到：，。 方法一：向量方法。 向量，向量。 。 方法二：斜率方法。 直线的斜率：；直线的斜率：。 。 所以：抛物线的方程为。 圆与相切圆心到直线：的距离为半径。 圆心，半径圆的方程：。 （2）假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 点，，在抛物线：上，，。 直线的斜率：。 过点直线方程： ， 。 同理直线的方程：。 直线与圆相切圆心到直线：的距离等于半径 。 同理可以得到：。 根据韦达定理得到：，。 圆心到直线：的距离： 圆心到直线的距离等于半径直线与圆相切。
题目二：2021年高考数学全国乙卷理科第21题文科第21题：已知抛物线：（）的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为。 （1）求； （2）若点在上，，是的两条切线，，是切点，求面积最大值。
解：（1）抛物线：的焦点的坐标为。 圆：的圆心，半径。 点与圆上的点的距离最小值等于点到圆心的距离减去半径 。 （2）抛物线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 点在：上 ①。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 点和点是抛物线：上的点，。 计算直线的方程：原函数：导函数：。 根据导数的几何意义得到：，过点直线的方程： 。 同理得到直线的方程：。 点在直线：上； 点在直线：上。 所以：直线的方程：。 点到直线：的距离：。 联立和得：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到： 。 ， 。 点在：上。 函数对称轴： 在单调递减在取最大值 面积的最大值。
题目三：2021年高考数学新高考1卷第21题：在平面直角坐标系中，已知点 ，，点满足。记的轨迹为。 （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率和直线的斜率之和。
解：（1）的轨迹为双曲线，，是双曲线的两个焦点，。 ，的轨迹为双曲线的右支。 所以：的方程：（）。 （2）假设：点的坐标为。 假设：直线的斜率为，直线过点直线的方程： 。 联立和得： 。 韦达定理得：；。 根据弦长公式得到：，。 。 假设：直线的斜率为。 同理可以得到：。 ，。
题目四：2021年高考数学新高考2卷第20题：已知椭圆：（），右焦点为，且离心率为。 （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两点，直线与曲线（）相切。证明：，，三点共线的充要条件是。
解：（1）椭圆的右焦点为。椭圆的离心率为 。 所以：椭圆的方程：。 （2）假设：点的坐标为，点的坐标为，直线方程：。 直线：与曲线相切 ①。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 ，，三点共线在直线：上， 。 。 所以：，，三点共线的充要条件是。
题目五：2021年高考数学北京卷第20题：已知椭圆：（）过点，以四个顶点围成的四边形面积为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点，。若，求的取值范围。 解：（1）椭圆：（）过点。 长轴长，短轴长四个顶点围成的四边形面积为 ，椭圆的标准方程：。 （2）直线过点，斜率为直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 计算判别式 。 根据韦达定理得到：，。 直线的方程：，，过点 直线的方程：。 联立和得到： ，。 同理可以得到：。 点在直线：上； 点在直线：上。 与同号； 与同号，与同号与同号。 。 ， 。
题目六：2021年高考数学天津卷第18题：已知椭圆（）的右焦点，上顶点为，离心率为，且。 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点。若，求直线的方程。 解：（1）椭圆的离心率为。 右焦点，上顶点。 椭圆方程：。 （2）假设：直线的方程为。 联立和得到： 。 直线与椭圆有唯一的公共点 。 直线：与轴的正半轴交于点，其中。 求根公式得到：。 。 所以：点的坐标为。 ，直线的方程：。 与直线垂直的直线斜率：，过点直线方程：。 过与垂直的直线：交轴于点。 ，。 直线的方程：直线的斜率为。 。 ，。 所以：直线的方程为：。
第十部分：2020年高考真题
一、高考真题，如下表所示：
题目一：2020年高考数学新课标1卷文科第21题理科第20题：已知，分别为椭圆：（）的左右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另外一个交点为，与的另外一个交点为。 （1）求的方程； （2）证明：直线过定点。 解：
题目二：2020年高考数学新课标2卷文科第19题理科第19题：已知椭圆的方程： （）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合。过且与轴垂直交于，两点，交于，两点，且。 （1）求的离心率； （2）文科：若的四个顶点到的准线距离之和为，求和的标准方程。 理科：设是和的公共点，若，求和的标准方程。 解：
题目三：2020年高考数学新课标3卷文科第21题理科第20题：已知椭圆的方程： （）的离心率为，，分别的左右顶点。 （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。 解：
题目四：2020年高考数学新高考1卷第22题：已知椭圆：（）的离心率为，且过点。 （1）求的方程； （2）点，在上，且，，为垂足。证明：存在定点，使得为定值。 解：
题目五：2020年高考数学新高考2卷第21题：已知椭圆：（）过点，点为其左顶点，且的斜率为。 （1）求的方程； （2）点为椭圆上任意一点，求面积的最大值。 解：
题目六：2020年高考数学北京卷第20题：已知：椭圆：（）过点，且。 求椭圆的方程； 过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，，求的值。 解：
二、高考真题参考答案，如下表所示：
题目一：2020年高考数学新课标1卷文科第21题理科第20题：已知，分别为椭圆：（）的左右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另外一个交点为，与的另外一个交点为。 （1）求的方程； （2）证明：直线过定点。 解：（1）椭圆：的左顶点，右顶点，上顶点。 向量，向量。 向量积。 所以：的方程：。 （2），。 为直线上的动点假设：点的坐标为。 计算直线的方程：，直线的斜率：，过点 直线的方程：。 联立和得到： 。 直线与椭圆相交于，两点。 根据韦达定理得到： 。 是直线：上点 。 计算直线的方程：，直线的斜率：，过点 直线的方程：。 联立和得到： 。 直线与椭圆相交于，两点。 根据韦达定理得到： 。 是直线：上点 。 ，直线的斜率： 。 计算直线的方程：直线的斜率为，过点直线的方程： 。 假设：直线的方程：。 当且时：参数取任意值结果不变直线过定点。
题目二：2020年高考数学新课标2卷文科第19题理科第19题：已知椭圆的方程： （）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合。过且与轴垂直交于，两点，交于，两点，且。 （1）求的离心率； （2）文科：若的四个顶点到的准线距离之和为，求和的标准方程。 理科：设是和的公共点，若，求和的标准方程。 解：（1）椭圆：的右焦点。 椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合抛物线的方程：。 过且与轴垂直的直线方程：。 联立和得到： ，。 联立和得到：， 。 ，，的离心率为。 （2）文科：椭圆：的四个顶点，，，。 抛物线：的准线。 到的距离：；到的距离：； 到的距离：；到的距离：。 的四个顶点到的准线距离之和为 ，，。 所以：的标准方程：；的标准方程：。 理科：椭圆的方程：。 联立和得：或。 上的点的横坐标范围 。 ，， 。 所以：的标准方程：，的标准方程：。
题目三：2020年高考数学新课标3卷文科第21题理科第20题：已知椭圆的方程： （）的离心率为，，分别的左右顶点。 （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。 解：（1）椭圆：，。 椭圆的离心率为 。 所以：的方程：。 （2）椭圆：的左顶点为，右顶点为。 假设：点的坐标为，点在椭圆：上 ①。 点在直线上假设：点的坐标为。 ， 。 ，。 ②。 ，，，。 ， ③。 联立②③得到： 或者，或者。 。 把代入①得到：。 ，； 的方程： 。 点到的距离：。 ， 。 所以：的面积为。
题目四：2020年高考数学新高考1卷第22题：已知椭圆：（）的离心率为，且过点。 （1）求的方程； （2）点，在上，且，，为垂足。证明：存在定点，使得为定值。 解：（1）椭圆：的离心率为 椭圆：。 椭圆：过点 椭圆方程：。 （2）分类讨论：（1）当直线无斜率时：假设：直线的方程为。 假设：点的坐标为点的坐标为。 点在椭圆：上①。 ，；，。 ②。 把②代入①得到：或 直线的方程：或者。 直线过点，，三点共线不成立。 所以：直线的方程：。 （2）当直线有斜率时：假设：直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为。 联立直线:和椭圆：得到： 。 根据韦达定理得到：，。 ，为直线:两点， 。 。 ，， 。 解方程：。用十字相乘计算。 分类讨论：①当时：直线： 直线过定点。 ，是直线上两点，。 在中：斜边。 当定点在的中点处时：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到： 。 ②当时：直线：过定点，，三点共线不成立。
题目五：2020年高考数学新高考2卷第21题：已知椭圆：（）过点，点为其左顶点，且的斜率为。 （1）求的方程； （2）点为椭圆上任意一点，求面积的最大值。 解：（1）椭圆：的左顶点，直线的斜率： 椭圆：。 椭圆：过点。 所以：椭圆的方程：。 （2）假设：点的坐标为（参数方程方法）。 ，。 计算直线的方程：的斜率为，过点直线的方程： 。 点到直线：的距离： 。 。 。 所以：面积的最大值为。
题目六：2020年高考数学北京卷第20题：已知：椭圆：（）过点，且。 求椭圆的方程； 过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，，求的值。 解：（1）椭圆的方程：。 椭圆：过点得到：。 所以：椭圆的方程：。 （2）分类讨论：①当直线无斜率时：直线过点直线的方程为：。 联立和得到：无解不符合题意。 ②当直线有斜率时：假设：直线的斜率为，直线过点 直线的方程：。 假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 计算直线的方程：，，直线过点 直线的方程：。 联立和得到：。 点在直线上。 ， 。同理。 。 。
第十一部分：2019年高考真题
一、高考真题，如下表所示：
题目一：2019年高考理科数学新课标1卷第19题：已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为。 （1）若，求的方程； （2）若，求。 解：
题目二：2019年高考文科数学新课标1卷第21题：已知点，关于原点对称， ，圆过点，且与直线相切。 （1）若在直线上，求圆的半径； （2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由。 解：
题目三：2019年高考理科数学新课标2卷第21题：已知点，，动点满足直线与的斜率之积为。记的轨迹为曲线。 （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点。 ①证明：是直角三角形；②求面积最大值。 解：
题目四：2019年高考文科数学新课标2卷第20题：已知，是椭圆：（）的两个焦点，为上一点，为坐标原点。 （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和取值范围。 解：
题目五：2019年高考数学新课标3卷第21题：已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，。 （1）证明：直线过定点； （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点。 ①文科：求该圆的方程； ②理科：求四边形的面积。 解：
题目六：2019年高考文科数学北京卷第19题：已知椭圆：的右焦点为，且经过点。 （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，直线：（）与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点。 解：
题目七：2019年高考理科数学北京卷第18题：已知抛物线经过点。 （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点。求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点。 解：
题目八：2019年高考文科数学天津卷第19题：设椭圆（）的左焦点为，左顶点为，上顶点为。已知（为原点）。 求椭圆的离心率； 设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程。 解：
题目九：2019年高考理科数学天津卷第18题：设椭圆（）的左焦点为，上顶点为。已知椭圆的短轴长为，离心率为。 （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上。若（为原点），且。求直线的斜率。 解：
二、高考真题参考答案，如下表所示：
题目一：2019年高考理科数学新课标1卷第19题：已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为。 （1）若，求的方程； （2）若，求。 解：（1）假设：直线的方程：，点的坐标为，点的坐标为。
联立和得到： 。 根据韦达定理得到：。 抛物线：的准线：。 根据抛物线的定义得到：，。 。 所以：直线的方程：。 （2）直线：与轴的交点为。 令。 ；。 ①。 点和在直线：上，。 ②。 联立①②得到：，。 根据弦长公式得到： 。
题目二：2019年高考文科数学新课标1卷第21题：已知点，关于原点对称， ，圆过点，且与直线相切。 （1）若在直线上，求圆的半径； （2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由。 解：（1）假设：点的坐标为点的坐标为。 ①。 点在直线上②。 把②代入①得到：。 把代入得到：； 把代入得到：。 假设：圆的方程：。 点在圆：上③。 点在圆：上④。 ③-④得到：⑤。 圆与直线相切圆心到直线的距离等于半径 ⑥。 把⑤⑥代入③得到：。 或者 当时：；当时： 所以：圆的半径为或者。 （2）假设：点的坐标为。圆直线相切。 是等腰三角形，为的中点。 在中：，，。 根据勾股定理得到： 圆心的轨迹为：准线：，焦点为。 根据抛物线的定义得到：。 ，。 当定点为焦点时： 取得定值。
题目三：2019年高考理科数学新课标2卷第21题：已知点，，动点满足直线与的斜率之积为。记的轨迹为曲线。 （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点。 ①证明：是直角三角形；②求面积最大值。 解：（1），；，。 直线与的斜率之积为 。 所以：的方程：；是椭圆。 （2） 假设：的方程为。联立和得到： ，假设， ，，。 计算直线的方程：，的方程：。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：； ； 所以：， ， 是直角三角形。 ① 。 。 ， 。 假设：，根据基本不等式得到：。 ，。 假设： 。 令时，，单调递减 的最大值为。
题目四：2019年高考文科数学新课标2卷第20题：已知，是椭圆：（）的两个焦点，为上一点，为坐标原点。 （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和取值范围。 解：（1）取的中点，连接，如下图所示： 为等边三角形，为的中点。 ，。 根据勾股定理得： ，点的坐标为。 点在椭圆：上 ，。 所以：的离心率：。 （2）假设：点的坐标为。 ①。 是椭圆：上一点②。 把①代入②中得： 。 的面积等于 。 。 ，。 所以：存在点时：，。
题目五：2019年高考数学新课标3卷第21题：已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，。 （1）证明：直线过定点； （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点。 ①文科：求该圆的方程； ②理科：求四边形的面积。 解：（1）假设：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 曲线：的导函数切线的斜率：（导数的意义）。 ，切线的斜率：。 所以：①。 点在曲线：②。 把②代入①得到：。 同理可以得到：。 所以：直线的方程：。 所以：直线过定点。 （2）点，点的中点。 联立和得到：. 根据韦达定理得到：。 点和点在直线：上， 。 点，点的中点。 以为圆心的圆与直线相切于点。 ，，， 。 文科：，，圆心 圆的方程：。 理科：第一种：的方程：，。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 根据弦长公式得到：。 点到直线的距离：。 。 点到直线的距离：。 。 所以：四边形的面积：。
题目六：2019年高考文科数学北京卷第19题：已知椭圆：的右焦点为，且经过点。 （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，直线：（）与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点。 解：（1）椭圆：的右焦点为。 椭圆：经过点。。 所以：椭圆的方程：。 （2）假设：点的坐标为，点的坐标为。 联立和得到： 。 根据韦达定理得到：，。 ； 。 ，直线方程为：。 令。 同理可以得到：。 所以：直线的方程为直线过定点。
题目七：2019年高考理科数学北京卷第18题：已知抛物线经过点。 （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点。求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点。 解：（1）抛物线经过点。 所以：抛物线的方程：，准线方程：。 （2）点的坐标为，点的坐标为。 假设：直线的斜率为，过焦点直线的方程：。 联立和得到：。 根据韦达定理得到：，。 。 的方程：。 联立和得到点，同理得到：。 假设：圆与轴的交点为。 根据直径所对圆周角为，， 或者或者。
题目八：2019年高考文科数学天津卷第19题：设椭圆（）的左焦点为，左顶点为，上顶点为。已知（为原点）。 求椭圆的离心率； 设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程。 解：（1）椭圆左顶点为，上顶点为。 ，， 。 所以：椭圆的离心率：。 （2）左焦点，斜率为。 椭圆的方程为：。 联立和得到： 。 ； 。 圆心在直线上假设：圆心。左顶点。 。 圆为轴相切圆的方程：。 圆与直线：相切 或，。 所以：椭圆的方程为：。
题目九：2019年高考理科数学天津卷第18题：设椭圆（）的左焦点为，上顶点为。已知椭圆的短轴长为，离心率为。 （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上。若（为原点），且。求直线的斜率。 解：（1）椭圆的短轴长为。 离心率为 椭圆的方程：。 （2）假设：点的坐标为，满足①。 上顶点，，的方程：。 令。 点在轴的负半轴上假设：点的坐标为，。 ，，。 ，， ②。 把①代入②得到：或。 ，两点重合不满足条件。 或。 当时：； 当时：。

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