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2.4　二次函数的应用
【基础练习】
知识点1　几何图形的面积与二次函数
1.用40cm的绳子围成一个矩形,则矩形面积y(cm2)与一边长x(cm)之间的函数关系式为(　　)
A.y=x2 B.y=-x2+40x
C.y=-x2+20x D.y=-x2+20
2.如图1,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm,点P从点A出发,沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是 (　　)
图1
A.8cm2 B.16cm2
C.24cm2 D.32cm2
3.有长为24m的篱笆,一边利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成如图2所示的矩形花圃ABCD,设花圃边AB=xm,面积为Sm2.
(1)写出S与x之间的关系式,并指出x的取值范围;
(2)当AB,BC分别为多少米时,花圃面积最大 最大面积为多少
图2
知识点2　二次函数与抛物线形问题
4.[2021·襄阳]从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图3所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,则喷出水珠的最大高度是　　　　m.
图3
5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图4,若菜农身高为1.8m,他在不弯腰的情况下,在大棚内的横向活动范围是　　　　m.
图4
6.如图5,小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方与地面的距离都是2.5m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时,头部刚好接触到绳子,求绳子的最低点与地面的距离.
图5
知识点3　利润最大化问题
7.某书城某畅销书的售价为每本30元,每星期可卖出200本,书城准备开展“读书节活动”降价促销.经调研,如果此畅销书每本的售价每降低1元,每星期可多卖出20本.设每本畅销书降价x元,每星期售出此畅销书的总销售额为y元,则y与x之间的函数表达式为 (　　)
A.y=(30-x)(200+40x)
B.y=(30-x)(200+20x)
C.y=(30-x)(200-40x)
D.y=(30-x)(200-20x)
8.某商店销售一种水产品,成本为每千克40元.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;每千克售价每上涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,当每千克售价定为　　　　元时,每月获得的利润最多.
9.抗击“新冠”疫情后期,我国的医疗物资供给和销售已经正常,某药店销售每瓶进价为40元的消毒洗手液,市场调查发现,若以每瓶50元的价格销售,平均每天销售90瓶,单价每提高1元,平均每天就少销售3瓶.
(1)平均每天的销售量y(瓶)与销售价x(元/瓶)之间的函数关系式为　　　　　　;
(2)求该药店平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元/瓶)之间的函数关系式;
(3)当每瓶的销售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少元
知识点4　利用二次函数的最值解决其他实际问题
10.[2020·山西]竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 (　　)
A.23.5m B.22.5m
C.21.5m D.20.5m
11.如图11是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加
　　　　m.
图11
12.生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在只有温度不同的环境中,经过一定时间后,测量出这种植物高度的增长情况如下表:
温度x/℃ 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
植物高度增长量y/mm 1 25 41 49 49 41 25 1
生物学家经过猜想,推测出y与x之间是二次函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(2)推测最适合这种植物生长的温度,并说明理由.
图12
【能力提升】
13.如图6,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,则四边形ABCD的面积的最大值是 (　　)
图6
A.16 B.32 C.36 D.64
14.如图7,有一个横断面边缘为抛物线的隧道入口,隧道入口处的底面宽度为8m,两侧距底面4m高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m,则这个隧道入口的最大高度约为　　　　
m(精确到0.1m).
　　图7
15.如图8,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D是直线BC上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,求△BCD面积的最大值.
图8
16.如图9,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑点D与点B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为xs,AE的长为ycm.
(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,△BDE的面积S最大 最大值为多少
图9
17.某网店销售一种儿童玩具,进价为每件30元,物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%.在销售过程中发现,这种儿童玩具每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系.当销售单价为35元/件时,每天的销售量为350件;当销售单价为40元/件时,每天的销售量为300件.求销售单价是多少时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,并求此时的最大利润.
18.[2020·内蒙古]某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具,若按每件50元销售,一个月可售出500件,销售价每涨1元,月销量就减少10件.设销售价为每件x元(x≥50),月销量为y件,月销售利润为w元.
(1)写出y与x之间的函数关系式和w与x之间的函数关系式;
(2)商店要在月销售成本不超过10000的情况下,使月销售利润达到8000元,销售价应定为每件多少元
(3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润 并求出最大利润.
答案
1.C　[解析]∵矩形一边长为xcm,周长为40cm,
∴邻边长为=(20-x)cm,
∴矩形的面积y=x(20-x)=-x2+20x.
故选C.
2.B　[解析]根据题意,点P从点A出发,沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动,设运动时间为ts.
∴AP=2t,AQ=t,S△APQ=t2.
∵0∴△APQ的最大面积是16cm2.
故选B.
3.解:(1)由题意知AB=xm,
则BC=(24-3x)m.
则S=x(24-3x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48.≤x<8
(2)当x≥>4时,S随x的增大而减小,
则当x=时,S取得最大值,此时AB=m,BC=10m.
S最大=-3×-42+48=-3×+48=,则当AB=m,BC=10m时,花圃面积最大,最大面积为m2.
4.3　[解析]∵y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,
∴当x=1时,y有最大值为3,
∴喷出水珠的最大高度是3m.
故答案为3.
5.3　[解析]设抛物线的函数表达式为y=ax2+b,由图得知,点(0,2.4),(3,0)在抛物线上,
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2.4.
∵菜农的身高为1.8m,∴令y=1.8,得1.8=-x2+2.4,解得x1=,x2=-,
∴--=3(m).
即他在不弯腰的情况下,在大棚内的横向活动范围是3m.
6.解:以左边树与地面的交点为原点,地面水平线为x轴,左边树为y轴建立平面直角坐标系,如图.
由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1).
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c.
把A,B,C三点的坐标分别代入函数表达式,得解得
∴y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5.
∵2>0,∴当x=1时,y最小值=0.5.
即绳子的最低点与地面的距离为0.5m.
7.B　8.70
9.[解析](1)由题意,得y=90-3(x-50)=-3x+240.
故答案为y=-3x+240.
解:(1)y=-3x+240
(2)W=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600.
(3)W=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200.
∵-3<0,
∴当x=60时,W取得最大值,最大值为1200元,
即每瓶的销售价为60元时,可以获得最大利润,最大利润是1200元.
10.C
11.(4-4)
12.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c,选(0,49),(2,41),(-2,49)代入关系式后得方程组
解得
∴y=-x2-2x+49.
将其余各组值代入均成立,
∴y与x之间的函数关系式为y=-x2-2x+49.
(2)最适合这种植物生长的温度是-1℃.
理由:由(1)可知,y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50,当x=-1时,y取最大值,即说明最适合这种植物生长的温度是-1℃.
13.B
14.9.1
15.解:设抛物线的函数表达式是y=ax2+bx+c.
∵抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,
∴解得
∴y=-x2+5x-4.
设过点B(4,0),C(0,-4)的直线的函数表达式为y=kx+m.
根据题意,得解得
∴直线BC的函数表达式为y=x-4.
设点D的坐标是(x,-x2+5x-4),过点D作y轴的平行线交直线BC于点P,则P(x,x-4),
∴S△BCD=S△DCP+S△DBP=
=-2(x-2)2+8,
∴当x=2时,△BCD的面积取得最大值,最大值是8.
16.解:(1)动点D运动xs后,BD=2xcm.
又∵AB=8cm,
∴AD=(8-2x)cm.
∵DE∥BC,∴=,
∴AE===6-x,
∴y关于x的函数表达式为y=-x+6(0(2)S△BDE=·BD·AE=·2x·-x+6=-(x-2)2+6(0∴当x=2时,△BDE的面积S最大,最大值为6cm2.
17.解:根据题意,设y=kx+b(k≠0),将(35,350),(40,300)代入,
得
解得
则y=-10x+700.
设每天获得的利润为w元,
则w=(x-30)y=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000.
∵x≤30×(1+60%)=48,且-10<0,
∴当x=48时,w取最大值3960元,
故销售单价为48元/件时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,此时的最大利润是3960元.
18.解:(1)根据题意,可得y与x之间的函数关系式为y=500-10(x-50)=-10x+1000,
则w与x之间的函数关系式为
w=(x-40)(-10x+1000)=-10x2+1400x-40000.
(2)令w=8000,即-10x2+1400x-40000=8000,
则x2-140x+4800=0,
解得x1=60,x2=80.
当x=60时,成本=40×[500-10×(60-50)]=16000>10000,不符合要求,舍去;
当x=80时,成本=40×[500-10×(80-50)]=8000<10000,符合要求,
∴销售价应定为每件80元.
(3)w=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000,
当x=70时,w取最大值9000,
故当销售价定为每件70元时会获得最大利润,最大利润为9000元.

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