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人教版中考数学《二次函数》专项练习题
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①b2-4ac<0；②ab>0；③a-b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 -2 …
A．抛物线开口向上 B．y最大值为4
C．当x＞1时，y随着x的增大而减小 D．当0＜x＜2时，y＞2
3．抛物线的对称轴为（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝12，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．关于函数y＝﹣x2﹣2x的图象，有下列说法：①对称轴为直线x＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，再绕原点旋转180°所得的抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
7．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，2a+3b+4c的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（ ）
A．（0，1） B．（2，1） C．（1，－1） D．（－2，1）
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＜0，b＜0，c＝0
11．二次函数的最小值为（ ）
A．5 B．0 C．-3 D．-4
12．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．如图，在同一直角坐标系中，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），直线y2＝mx＋n与抛物线交于B、C两点．
（1）当x满足____时，y1＞y2；
（2）当x满足____时，y1 y2＞0．
14．把抛物线y＝x2＋4x﹣5向左或向右平移____个单位，使得抛物线经过原点．
15．二次函数y＝（x﹣1）2＋3图象的顶点坐标是________．
16．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．
17．关于x的函数（a为实数）的函数上两点、，则________（填>、＜、＝号）
18．如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为____．
19．若函数y＝x2＋3x＋c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是____（用“＜”连接）．
20．二次函数y=（x+5）2-7的顶点坐标是________．
三、解答题（共60分）
21．（8分）某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：
时间t/天 2 3 10 20
日销售量m/件 96 94 80 60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y＝t+30（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）求出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
22．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
23．（8分）若实数，，满足时，就称点为“平衡点”
（1）判断点，是不是“平衡点”；
（2）已知抛物线上有且只有一个的“平衡点”，且当时，的最小值为，求的值．
24．（8分）已知二次函数y=x2+4x-1
（1）将解析式化为y=（a+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是___________．
25．（8分）已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x＋1交于点P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数解析式；
（3）求y1大于y2时，x的取值范围．
26．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．
（1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．
27．（10分）已知二次函数的图象过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图像的顶点及与x轴的交点坐标；
（3）在下面的直角坐标系中画出该函数的图象，借助图象，直接写出若，则y的取值范围是________．
（4）动点P在此抛物线上滑动，若满足，求此时P点的坐标．
参考答案
1．A2．D3．B4．C5．B6．B7．B8．A9．B10．A11．D12．C
13．x＜0或x＞3； x＞-1且x≠3
14．1或5
15．（1，3）
16．
17．
18．
19．
20．（-5，-7）
21．（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）
解：（1）由题意得，设，将，代入解析式，得
，解得，即
故答案为：
（2）设日销售利润为元，则由题意可得，
∵，开口向下
∴当时，.
在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元
（3）由题意得：
，
∴对称轴为：，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，
∴，
∴，
又∵
∴.
22．（1）所利用旧墙AD的长为15米；（2）矩形菜园ABCD面积的最大值平方米．
解：（1）设AB=x米，则BC=60-3x，
∴，
解得，，
∵a＝20，篱笆长为60米，
∴，解得，
∴所利用旧墙AD的长为15米；
（2）设矩形菜园ABCD面积为y，
则，
是开口向下，且对称轴为的抛物线，
∴当时y随x的增大而减小，
∴当时，
平方米．
故矩形菜园ABCD面积的最大值平方米．
23．（1）不是“平衡点”，是“平衡点”；（2）
解：（1）∵A的坐标是
2+（-3）=-1，不满足“平衡点”的定义，
∴A不是平衡点；
又∵B的坐标是
3-2=1，满足“平衡点”的定义，
∴B是平衡点；
（2）设抛物线的平衡点为（a，1﹣a），
把（a，1﹣a）代入y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3；
∴化简后可得：a2+（p﹣t）a+q+t﹣4＝0，
由于有且只有一个平衡点，
∴关于a的一元二次方程，＝0，
∴化简后为q＝（p﹣t）2+4﹣t，
∴q是p的二次函数，对称轴为p＝t，开口向上，
∵﹣2≤p≤3，
∴q随p的增大而减小，
∴当p＝3时，q可取得最小值，
∴（3﹣t）2+4﹣t＝t，
∴解得：t＝4±，
∵t＞3，
∴t＝4+．
24．（1），顶点坐标为（－2，－5），对称轴为直线x＝－2；（2）x≥－2
解：（1）已知二次函数，
∴它的顶点坐标为（-2，-5），对称轴为直线；
（2）∵，二次函数对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，
∴若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是，
故答案为：．
25．（1）-1；（2）；（3）
解：（1）把（m，0）代入y2＝x＋1得
解得，
（2）由题意可得抛物线的对称轴方程为直线
∴
∴
把代入得
解得，
∴
（3）令
解得，或
∴抛物线与直线交点的横坐标为-1和
如图，
∴时，
26．（1）抛物线l1的表达式为；抛物线l2的表达式 ；（2）2≤x≤4；（3）线段MN的最大值是12．
解：（1）由题意可知，抛物线l1的对称轴为直线.
∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），且AB＝6，
∴A（1，0），B（7，0）.
把A（1，0）代入，解得.
∴抛物线l1的表达式为.
把C（5，n）代入，解得.
∴C（5，4）.
∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，.
∴设抛物线l2的表达式为.
把A（1，0），C（5，4）代入，得，解得.
∴抛物线l2的表达式为．
（2）观察图象可知，两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E（2，-），顶点F（4，）
所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2于点P（m，0），M，N，
∴M（m，），N（m，）.
① 如图1，当1≤m≤5时，
∴当m＝3时，MN的最大值为4；
② 如图2，当5﹤m≤7时，
5﹤m≤7在对称轴m＝3右侧，
MN随m的增大而增大.
∴当m＝7时，MN的最大值是12.
综上所述，线段MN的最大值是12.
27．（1）；（2）顶点、与x轴交点、；（3）图见解析；；（3）、、．
解：（1）∵二次函数的图象过点．
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2），
∴顶点，
令，则，
解得，
与x轴交点、；
（3）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点：（-1，0），（0，3），（1，4），（2，3），（3，0），
用平滑曲线连接，
则二次函数图形如图，
由图象可知，若，则y的取值范围是；
（4）分两种情况，点P在AB下方抛物线上，与点P在AB上方抛物线上，
设点P的坐标为(m,n)
点P在AB下方抛物线上，
点P到AB的距离为3-n，AB=2-0=2，
∵，
∴，
解得，
，
解得，
∴点P1（），P2（）；
与点P在AB上方抛物线上，
点P到AB的距离为n-3，AB=2-0=2，
∵，
∴，
解得，
，
解得，，
点P3（1，4），
综合得P点的坐标．、、。

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