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高一数学必修一第五章：三角函数（十）
恒等变换
设计师：宁永辉
第一部分：三角函数公式
知识点一：三角函数两角和差公式
如下表所示：
正弦两角和差公式 ① 正弦两角和差展开之后由两项组成，两项都是正弦乘余弦，两项之间和差与两角和差相同。
②
余弦两角和差公式 ① 余弦两角和差展开之后第一项余弦乘余弦，第二项正弦乘正弦，两项之间和差与两角和差相反。
②
正切两角和差公式 ① 正切两角和差展开式为分式结构，分子是两角正切的和差，和差与两角和差相同，分母是和两角正切的乘积，和差与两角和差相反。
②
知识点二：三角函数二倍角公式
如下表所示：
正弦二倍角公式 。
余弦二倍角公式 。 ，。 。 。
正切二倍角公式 。
知识点三：三角函数半角公式
如下表所示：
。
。
。
知识点四：三角函数和差化积公式
如下表所示：
和差化积公式一：。 推理：； ； 。
和差化积公式二：。 推理：； ； 。
和差化积公式三：。 推理：； ； 。
和差化积公式四：。 推理：； ； 。
和差化积公式五：。 推理：。
和差化积公式六：。 推理：。
知识点五：三角函数辅助角公式
如下表所示：
辅助角公式一：，其中，，。 推理：。 假设：，。 原式。
辅助角公式二：，其中，，。 推理：。 假设：，。 原式。
辅助角公式三：，其中，，。 推理：。 假设：，。 原式。
辅助角公式四：，其中，，。 推理：。 假设：，。 原式。
第二部分：三角函数化简
题型一：三角函数辅助角公式
一、三角函数辅助角公式化简例题讲解，如下表所示：
例题一：化简：。 解：计算：。 。
例题二：化简：。 解：计算：。 。
例题三：化简：。 解：计算：。 。
例题四：化简：。 解：计算：。 。
二、三角函数辅助角公式化简跟踪训练，如下表所示：
训练一：化简：。 解：
训练二：化简：。 解：
训练三：化简：。 解：
训练四：化简：。 解：
三、三角函数辅助角公式化简跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：化简：。 解：计算：。 。
训练二：化简：。 解：计算：。 。
训练三：化简：。 解：计算：。 。
训练四：化简：。 解：计算：。 。
题型二：三角函数半角公式与诱导公式结合题型
一、三角函数半角公式与诱导公式结合例题讲解，如下表所示：
例题一：化简：。 解：。
例题二：化简：。 解：。
例题三：化简：。 解：。
二、三角函数半角公式与诱导公式结合跟踪训练，如下表所示：
训练一：化简：。 解：
训练二：化简：。 解：
训练三：化简：。 解：
三、三角函数半角公式与诱导公式结合跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：化简：。 解：。
训练二：化简：。 解：。
训练三：化简：。 解：。
题型三：三角函数半角公式与辅助角公式结合题型
一、三角函数半角公式与辅助角公式结合例题讲解，如下表所示：
例题一：化简：。 解：。 计算：。 。
例题二：化简：。 解：。 计算：。 。
例题三：。 解： 。
二、三角函数半角公式与辅助角公式结合跟踪训练，如下表所示：
训练一：化简：。 解：
训练二：化简：。 解：
训练三：化简：。 解：
三、三角函数半角公式与辅助角公式结合跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：化简：。 解： 。 计算：。 。
训练二：化简：。 解：。 计算：。 。
训练三：化简：。 解： 。
题型四：三角函数两角和差、半角公式与辅助角公式结合题型
一、三角函数两角和差、半角公式与辅助角公式结合例题讲解，如下表所示：
例题一：化简：。 解： 。
例题二：化简：。 解： 。
例题三：化简：。 解： 。 计算：。 。
二、三角函数两角和差、半角公式与辅助角公式结合跟踪训练，如下表所示：
训练一：化简：。 解：
训练二：化简：。 解：
训练三：化简：。 解：
三、三角函数两角和差、半角公式与辅助角公式结合跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：化简：。 解： 。 计算：。 。
训练二：化简：。 解： 。
训练三：化简：。 解： 。 计算：。 。
第三部分：三角函数值计算
三角函数值计算高考真题讲解
例题一：2021年高考文科数学全国乙卷第6题：（ ） A、 B、 C、 D、 解：诱导公式得到：。 。
例题二：2021年高考数学全国甲卷文科第11题理科第9题：若，，则 （ ） A、 B、 C、 D、 解： 。 ，。 。
例题三：2020年高考理科数学新课标1卷第9题：已知，且，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：余弦二倍角公式得到：。 或者，。 同角之间基本关系得到：，。
例题四：2020年高考文科数学新课标2卷第13题：若，则 。 解：余弦二倍角公式得到：。
例题五：2020年高考数学江苏卷第8题：已知，则的值是 。 解：三角函数半角公式得到： 。 三角函数诱导公式得到：。
例题六：2020年高考数学浙江卷第13题：已知，则 ， 。 解：。 。
例题七：2020年高考理科数学新课标3卷第9题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：。 。
例题八：2020年高考文科数学新课标3卷第5题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
例题九：2019年高考理科数学新课标2卷第10题：已知，，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：。 。 。
例题十：2019年高考数学江苏卷第13题：已知，则的值是 。 解： 或者。 。 分类讨论：（1）当时：。（2）当时：。 所以：。
例题十一：2018年高考理科数学新课标2卷第15题：已知，，则 。 解：①。 ②。 ①②相加得到： 。
例题十二：2018年高考文科数学新课标2卷第15题：已知，则 。 解：。
三角函数值计算高考真题跟踪训练
训练一：2018年高考数学新课标3卷理科第4题文科第4题：若，则（ ） A、 B、 C、 D 、 解：
训练二：2018年高考数学江苏卷第16题：已知，为锐角，，。 （1）求的值； （2）求的值。 解：
训练三：2018年高考数学浙江卷第18题：已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点。 （1）求的值； （2）若角满足，求的值。 解：
训练四：2017年高考文科数学新课标1卷第15题：已知，，则 。 解：
训练五：2017年高考文科数学新课标3卷第4题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：
训练六：2017年高考数学江苏卷第5题：若，则 。 解：
训练七：2017年高考文科数学山东卷第4题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：
训练八：2016年高考理科数学新课标3卷第5题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：
训练九：2016年高考理科数学新课标2卷第9题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：
训练十：2016年高考理科数学四川卷第11题： 。 解：
训练十一：2016年高考文科数学新课标1卷第14题：已知是第四象限角，且，则 。 解：
训练十二：2016年高考文科数学新课标3卷第6题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：
三角函数值计算高考真题跟踪训练参考答案
训练一：2018年高考数学新课标3卷理科第4题文科第4题：若，则（ ） A、 B、 C、 D 、 解：。
训练二：2018年高考数学江苏卷第16题：已知，为锐角，，。 （1）求的值； （2）求的值。 解：（1）。 。 。 （2），，为锐角 。。 。 。
训练三：2018年高考数学浙江卷第18题：已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点。 （1）求的值； （2）若角满足，求的值。 解：（1）。 。 根据三角函数诱导公式得到：。 （2）。 分类讨论： ①当时： 。 ②当时： 。
训练四：2017年高考文科数学新课标1卷第15题：已知，，则 。 解：。 。 。。 。
训练五：2017年高考文科数学新课标3卷第4题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
训练六：2017年高考数学江苏卷第5题：若，则 。 解：。
训练七：2017年高考文科数学山东卷第4题：已知，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：。
训练八：2016年高考理科数学新课标3卷第5题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
训练九：2016年高考理科数学新课标2卷第9题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
训练十：2016年高考理科数学四川卷第11题： 。 解：根据余弦二倍角得到：。
训练十一：2016年高考文科数学新课标1卷第14题：已知是第四象限角，且，则 。 解：。 是第四象限角。 。 。
训练十二：2016年高考文科数学新课标3卷第6题：若，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：。

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