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选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》
§211椭圆及其标准方程
【知识要点】
椭圆的定义:到两个定点F、F2的距离之和等于定长(>FF)的点的轨迹
标准方程:(1)+
a*b=>b>O), c=va-
b,焦点是F1(-c,0),F2(c,0)
(2)
x+x=1(a>b>0),c=a-b2
焦点是F1(O,c),F2(0,c)
【例题精讲】
【例1】两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10,写出椭圆的
标准方程
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为a+b=1(a>b>0
2a=10.2c=8.∴a=5.c=4
b2=a2-c2=52-42=9.
所以所求椭圆标准方程为x
点评:写椭圆的标准方程的条件是:一是焦点位置,二是a2和b2的值
例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过-3,5,求椭圆的标准方程
解:因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为二+x=1(a>b>0
由椭圆的定义知,20=9+(2+2+、3+(2-23=350+106=20,:a=√J6
又c=2,:b2=a2-c2=10-4=6,所以所求标准方程为2+x=1
另法:∵b2=a2-c2=a2-4,
∴可设所求方和y2,x=1,后将点(35
25)的坐标代入可求出a,从而求出椭圆方程
点评:题(1)根据定义求,若将焦点改为(0,-4)、(0,4)其结果如何:题(2)由学生的思考
与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程:其二是由已知焦距
求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程
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【例3】判断下列方程是否表示椭圆,若是,求出a,b,c的值
y=1
=1;④4y2+9x2=36
解:①表示圆:②表示椭圆;a=2.b=√2c=√2;
③不是椭圆(是双曲线)
④4y2+9x2=36可以表示为x+2=1,是椭圆,a=3b=2c=√5
【例4】已知△ABC的一边BC的长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程
解法一:以BC边为x轴,BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,
其方程为:
=1(y≠0)
解法二:以BC边为y轴,BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,
其方程为:x+2=1(x≠0)
点评:1.要明确建立坐标系,这是解析几何的重要特征,如何建系将关系到结果的繁与简
2.要熟悉椭圆的定义
【基础达标】
椭圆x+y=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为()
2.椭圆x
1上任一点P到两个焦点的距离的和为()
B.24
D.213
已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F的直线交椭圆于M,N两点,则△MNF2周长为
D.32
4.椭圆的两个焦点分别是F(-8,0和F2(8,O),且椭圆上一点到两个焦点距离之和为20,则此椭
圆的标准方程为()
2012
36
D
36100
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