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2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 同步练习题
一、选择题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的两条弦相等
C．弦的垂直平分线经过圆心 D．长度相等的弧的度数相等
2．下列说法正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
3．下列图形的四个顶点在同一个圆上的是（ ）
A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形
4．如图，内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．10cm B．16cm C．18cm D．20cm
7．如图，的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．如图，在中，是直径，是弦，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆O上，且OCDB，连接AD、CD，若∠C=28°，则∠A的大小为( )
A．30° B．28° C．24° D．34°
10．如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0， 3）为圆心， 2 为半径的圆上的动点，Q是线段 PA 的中点，连结 OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4
二、填空题
11．已知：如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为________．
12．如图，是的直径，A是上的一点，，则的度数是________
13．如图，的两条弦，若，则________．
14．如图，中，，，点是外接圆上任意一点，点是弦的中点，当点在外接圆上运动一周时，点运动的路径长为______．
15．已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O的半径为________．
三、解答题
16．如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，连结OE、OC．
（1）求EF的长；
（2）求∠COE的正弦值．
18．如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C，D是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出边上的中线．
（2）在图2中作的角平分线．
19．如图，的半径为，弦的长．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）求点O到的距离．
20．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．
22．如图，经过定点A的直线（k＜0）交抛物线y=﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；
（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t的值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作，交轴的正半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是BC延长线上一点，的平分线CE交于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结AE，在上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．D 10．C
11．
12．58°
13．
14．5π
15．．
16．如图，作BH⊥PQ于点H
在中，由条件知，PB＝480，∠BPQ＝75°﹣45°＝30°，
∴BH==240＜260，
∴本次台风会影响B市．
如图，以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
根据BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2==200，
∴台风影响的时间t==5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
17．解：（1）过点O作OG⊥EF于点G，
∴EG=FG，OG∥AC，
又O为AB的中点，
∴G为BC的中点，即OG为△ABC的中位线，
∴OG=AC=4，
在Rt△OEG中，由勾股定理得，
EG= =3，
∴EF=2EG=6；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，
又O为AB的中点，
∴CO=BO=4 ，
又OG⊥BC，
∴CG=BG=BC=8，
∴CE=CG-EG=8-3=5，
∴CE=EO，
∴∠COE=∠OCE，
∴sin∠OCE=．
∴∠COE的正弦值为．
18．解：（1）如图，CE即为所作；
（2）如图，CF即为所作．
19．解：（Ⅰ）连接，
，，
，
为等边三角形，
；
（Ⅱ）过点O作于C，则，
由勾股定理得，，
答：点O到的距离为．
20．解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
21．解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝18﹣r，OC＝r，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴CE＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCE中，
OE2+CE2＝OC2，即（18﹣r）2+122＝r2，解得r＝13，
∴AB＝2×13＝26．
22．解：（1）∵A为直线y=k（x﹣2）+1上的定点，
∴A的坐标与k无关，
∴x﹣2=0，
∴x=2，此时y=1，
∴点A的坐标为（2，1）；
（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点D的坐标为（2，4）．
∵点A的坐标为（2，1），
∴AD⊥x轴．
如图（1），分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2，
∵△ACD的面积是△ABD面积的两倍，
∴CN=2BM，
∴x2﹣2=2（2﹣x1），
∴2x1+x2=6．
联立，
得x2+（k﹣4）x﹣2k+1=0，①
解得：x1=，x2=，
∴2×=6，
化简得：=﹣3k，
解得：k=﹣．
（3）如图（2），设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）．
∵E是AC的中点，
∴将线段AE沿AC方向平移与EC重合，
∴xE﹣xA=xC﹣xE，yE﹣yA=yC﹣yE，
∴xE=xA+xC），yE=（yA+yC），
∴E（）．
分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
EA2=
=，
过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，
∴GH=2PH，EP2=，
又∵AE=EH，
∴GH2=4PH2
=4（EH2﹣EP2）
=4（EA2﹣EP2）
．
∵GH的长为定值，
∴﹣t=0，且4t﹣5=0，
∴t=．
23．解：（1）如图1，连接
∵，，
∴，．
设抛物线为，
则
得，
．
（2）如图1，连接．
∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴．
（3）如备用图，情况1：点在的上方时，
过作交于点，则
过作，交于 交于 连结、，则
∴，
∴，
∴，，
∴．
情况2：点在的下方时，
∴
∴．
综上：或．

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