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2021-2022学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元综合练习题（附答案）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）
A． B． C． D．
3．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
4．若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（　　）
A． B． C． D．
6．下列式子错误的是（　　）
A．cos40°＝sin50° B．tan15° tan75°＝1
C．sin225°+cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
7．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
8．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
9．sin60°的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．若cosα＝，则锐角α的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．
A．10 B．10﹣12 C．12 D．10+12
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sinA的值是　 　．
14．比较三角函数值的大小：sin30°　 　cos30°（填入“＞”或“＜”）．
15．若sinA＝，则tanA＝　 　．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为　 　．
17．已知tanA＝1，则锐角∠A＝　 　度．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
19．已知∠A为锐角且sinA＝，则4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A的值是多少．
20．计算：
21．如图示，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积．
22．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．
（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；
（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）
23．某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角∠ABC＝75°．小明测得某时大树的影子顶端在地面C处，此时光线与地面的夹角∠ACB＝30°；又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面D处，此时光线与地面的夹角∠ADB＝50°．若CD＝8米，求该树倾斜前的高度（即AB的长度）．（结果保留一位小数．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.73）
24．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）．
（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02）
25．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
参考答案
1．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∴sinA＝，故A错误；
cosA＝，故B正确；
tanA＝；故C错误；
cosA＝，故D错误；
故选：B．
2．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，
又∵cosA＝＝，
∴AB＝，
故选：B．
3．解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
4．解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
5．解：∵cos2A+sin2A＝1，cosA＝，
∴sin2A＝1﹣＝，
∴sinA＝或sinA＝﹣（舍去）．
故选：B．
6．解：A、sin40°＝sin（90°﹣50°）＝cos50°，式子正确；
B、tan15° tan75°＝tan15° cot15°＝1，式子正确；
C、sin225°+cos225°＝1正确；
D、sin60°＝，sin30°＝，则sin60°＝2sin30°错误．
故选：D．
7．解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴点M（﹣）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．
故选：B．
8．解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，
∵sinB＝，
∴sinA＝＝．
故选：B．
9．解：∵sin60°＝，
∴sin60°的相反数是﹣．
故选：A．
10．解：∵cosα＝，
∴α＝60°．
故选：C．
11．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26．
故选：D．
12．解：由tan∠A＝，得
tan∠A＝．
故选：D．
13．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sinA＝＝，
故答案为：．
14．解：∵sin30°＝，cos30°＝．
∴sin30°＜cos30°．
故答案为：＜．
15．解：∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
则tanA＝．
故答案为：．
16．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设AC＝12k，BC＝5k，
则AB＝＝13k，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
17．解：∵tanA＝1，
∴锐角∠A＝45°．
故答案为：45．
18．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
19．解：∵∠A为锐角，且sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴cosA＝，2sinA﹣cosA＝2×﹣＝1﹣，
∴4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A
＝（2sinA﹣cosA）2
＝（1﹣）2
＝1﹣+
＝﹣．
20．解：原式＝
＝
＝
＝3+2．
21．解：如图，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，AC＝8，∠A＝30°，
∴CD＝4，AD＝4．
在Rt△BCD中，CD＝4，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝4，
∴AB＝4+4，
∴S△ABC＝AB CD
＝×4×（4+4）
＝8+8．
答：△ABC的面积为8+8．
22．解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，
∵AC＝20，∠CAB＝60°，
∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，
∵BC＝BD﹣CD＝30，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴CG∥DH，
∴△BCG∽△BDH，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝≈23（厘米）；
∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；
（2）过C′作C′S⊥MN于S，
∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，
∴A′S＝C′S＝10，
∴BS＝＝10，
∴A′B＝10+10，
∵BG＝＝10，
∴AB＝10+10，
∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），
∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．
23．解：过A作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C＝30°，
∴tan30°＝，
∴CH＝＝AH，
在Rt△ADH中，∵∠ADH＝50°，
∴tan∠ADH＝≈1.19，
∴DH＝，
∵CD＝CH﹣DH＝AH﹣AH＝8，
∴AH≈8.99，
在Rt△AHB中，∵∠B＝75°，
∴sin75°＝，
∴AB＝≈8.99÷0.97≈9.3米，
答：该树倾斜前的高度是9.3米．
24．解：（1）在Rt△ARL中，RL＝AR cos43°≈4.38（km）
（2）在Rt△ARL中，AL＝AR sin43°≈4.08
在Rt△BRL中，BL＝RL tan45.54°≈4.468
∴AB＝BL﹣AL＝0.388≈0.39（km）
∴速度为0.39km/s
答：雷达站到发射处的水平距离为4.38km，这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s．
25．解：修建的这条高速铁路穿越保护区，
理由如下：作PH⊥AC于H，
由题意得，∠PBH＝60°，∠PAH＝30°，
∴∠APB＝30°，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴PB＝AB＝150，
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，
∴PH＝PB sin∠PBH＝75≈129.9，
129.9＞120，
∴修建的这条高速铁路不会穿越保护区．

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