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高考二轮圆锥曲线的定义、方程与性质专项训练
（原卷+答案）
考点一　圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝________(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝________(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆的标准方程为________________(或＝1)，其中a>b>0；
(2)双曲线的标准方程为________________，其中a>0，b>0；
(3)抛物线的标准方程为x2＝________，y2＝________，其中p>0.
[例1]　(1)[一题多解]已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
(3)[一题多解][2020·天津卷]设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
[考查知识]　(1)椭圆的定义、标准方程；(2)抛物线的定义；(3)双曲线的定义、标准方程、几何性质．
[核心素养]　数学运算，直观想象．
1.关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
定型 确定曲线类型
计算 利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
对点训练
1.[2021·郑州市模拟]已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．＋1
考点二　圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
　圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝________＝________；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝________＝________．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：
①双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)；
②双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为________，准线方程为x＝________；
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为________，准线方程为y＝________．
[例2]　(1)[2021·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
(2)[2020·全国卷Ⅲ]设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A． B．
C．(1，0) D．(2，0)
[考查知识]　(1)双曲线的定义及其简单几何性质；(2)抛物线的几何性质．
[核心素养]　直观想象，数学运算．
归纳总结
1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
(2)用法：①可得或的值；
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
对点训练
1.[2021·全国乙卷]已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为__________．
2．[2021·宁夏银川模拟]已知点F1，F2分别是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点．若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是(　　)
A．2 B．
C．3 D．
考点三　直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求
1．弦长公式：
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝________________＝________________或|AB|＝__________________＝________________________________.
2．过抛物线焦点的弦长：
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝________，y1y2＝________，弦长|AB|＝________．
[例3]　(1)[一题多解]过点P(4，2)作一直线，该直线与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．4
(2)[2021·重庆模拟]已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若＝3，则|MN|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
[考查知识]　直线与圆锥曲线的位置关系．
[核心素养]　逻辑推理，数学运算．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，则直线的斜率为－.
(3)双曲线＝1(a>0，b>0)上以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝.
对点训练
[2021·南充模拟]已知直线x＋y＝1与椭圆＝1(a>b>0)交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为坐标原点)．若椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是(　　)
A．[] B．
C． D．
[A·基础达标]
1．若双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±3x
2．[2021·重庆高三模拟]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点为F1，F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足＝0，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．
C．4 D．
3．[20210·安徽池州市池州一中高三模拟]已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，点M在椭圆C上，点N在圆E：(x－2)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MN|的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
4．[2021·山东泰安市高三模拟]已知抛物线y2＝2px(p＞0)上有两点A，B，O为坐标原点，以OA，OB为邻边的四边形为矩形，且点O到直线AB距离的最大值为4，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．[2021·山西高三模拟]设直线l与抛物线y2＝4x相交于点A、B两点，O为坐标原点，若·＝－4，则△OAB面积的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[4，＋∞)
6．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　)
A．＋ B．9＋
C．9＋ D．＋
7．[2021·湖南长沙市长郡中学高三二模]设F1，F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A． B．4
C．8 D．8
8．[2021·山西太原市模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是____________________________．
9．[2021·河南安阳市高三模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线x＝与C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则椭圆C的离心率为__________________．
10．[2021·江西高三模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，P(t，t－2)，若动点满足＝(O为坐标原点)，则|MP|的最小值是____________．
11．[2021·江西高三模拟]过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为______________________．
[B·素养提升]
12．[2021·黑龙江佳木斯一中高三模拟]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线x2＝4y的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
13．[2021·广西高三模拟]过F作与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线平行的直线，分别交两条渐近线于A、B两点，若OAFB四点共圆(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为________．
参考答案
考点一
1．(1)2a　(2)2a　
2．(1)＝1　(2)＝1　(3)±2py　±2px
[例1]　解析：(1)方法一　∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又∵|BF1|＋|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|AF2|＝a，|BF1|＝a，
∵|AF2|＝a，则A为椭圆短轴端点，则∠AOF2＝90°
在Rt△AF2O中，cos ∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos ∠BF2F1＝.
根据cos ∠AF2O＋cos ∠BF2F1＝0，可得＝0，
∴a2＝3，又∵c2＝1，b2＝a2－c2＝2，
∴方程为＝1，故选B.
方法二　当求出|AF2|＝a时，可知A为短轴端点，不妨设A(0，b)，可得B代入椭圆＝1得a2＝3，又c2＝1，b2＝a2－c2＝2，
所以方程为＝1.
解析：(2)设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，
由抛物线定义得|AF|＝x0＋，
∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，
∴9＋＝12，
∴p＝6.故选C.
解析：(3)方法一　由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而＝1的渐近线方程为＝0和＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
方法二　由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B，C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，l过点(1，0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1，故选D.
答案：(1)B　(2)C　(3)D
对点训练
1．解析：直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点(－5，0)，即a＝5，又离心率e＝＝＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16，则椭圆的方程为＝1，故选D.
答案：D
2．解析： 如图所示，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.
答案：A
考点二
(1)　(2)±x　±x　(3)　 　
[例2]　解析：(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝，故选A.
(2)由抛物线的对称性，不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由得D(2，2)，E(2，－2)，∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为，故选B.
答案：(1)A　(2)B
对点训练
1．解析：双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝± x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
答案：4
2．解析：由已知条件得，|AF1|＝，∵△ABF2为正三角形，
∴tan 30°＝tan ∠AF2F1＝＝＝＝＝，
∴e2＋2e－＝0，解得e＝－或e＝.又∵0∴e＝.故选D.
答案：D
考点三
1.|x1－x2|　|　
|y1－y2|　
2.　－p2　x1＋x2＋p
[例3]　解析：(1)方法一　
由题意可知，点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在．
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2.
由消去y，
得(1 －2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1x2＝.
因为P(4，2)为AB的中点，
所以＝8，
解得k＝1，满足Δ>0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，
于是|AB|＝·＝·＝4.
方法二　由题意可知，点P的位置如方法一中图所示，且直线AB的斜率存在．
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则
整理可得(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)．
因为P(4，2)为AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以k＝＝＝1，
所以直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y，得x2－8x＋10＝0，所以x1x2＝10，
于是|AB|＝·＝·＝4.故选D.
解析：(2)分析知P不可能在x轴上．根据对称性，不妨设P在x轴下方，如图，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l：x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N到准线的距离分别为dM，dN，由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1＋，|NF|＝dN＝x2＋，于是|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋1.过点M作MQ⊥l，垂足为Q.∵＝3，∴|PM|＝2|MF|＝2|QM|.
∴∠QPM＝，∴∠NFx＝.
方法一　直线MN的斜率为，∵F，∴直线PF的方程为y＝，将y＝代入方程y2＝2x中，得3＝2x，化简得12x2－20x＋3＝0，∴x1＋x2＝，于是|MN|＝x1＋x2＋1＝＋1＝.故选B.
方法二　直线MN的倾斜角为，由抛物线焦点弦的性质可知，|MN|＝＝＝.故选B.
答案：(1)D　(2)B
对点训练
　解析：由题意联立得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1.
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
∴2×＋1＝0，
化为a2＋b2＝2a2b2.∴b2＝.
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，
∴≤e2≤，
∴，
≤1－，
化为5≤4a2≤6，
解得≤2a≤.
满足Δ>0.
∴椭圆长轴的取值范围是[].
答案：A
1．解析：圆x2＋（y－2）2＝1的圆心（0，2），半径为1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
∵双曲线－y2＝1（a＞0）的一条渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1相切，
∴＝1，解得a2＝，
∴双曲线的渐近线方程y＝±x.故选A.
答案：A
2．解析：虚轴长为2，得b＝，设一条渐近线l：y＝x，则P，
PF1＝，PF2＝，
PF1·PF2＝1－c2＋＝0，
又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，c2＝4，
故e＝＝2，故选A.
答案：A
3．解析：易知圆心E为椭圆的右焦点，且a＝3，b＝，c＝2，
由椭圆的定义知：|MF|＋|ME|＝2a＝6，所以|MF|＝6－|ME|，
所以|MF|＋|MN|＝6－|ME|＋|MN|＝6－（|ME|－|MN|），
要求|MF|＋|MN|的最小值，只需求|ME|－|MN|的最大值，显然M，N，E三点共线时|ME|－|MN|取最大值，且最大值为1，所以|MF|＋|MN|的最小值为6－1＝5.故选B.
答案：B
4．解析：设直线AB的方程为x＝my＋b，代入抛物线方程可得y2－2pmy－2pb＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pb，
由·＝x1x2＋y1y2＝（my1＋b）（my2＋b）＋y1y2＝（m2＋1）y1y2＋mb（y1＋y2）＋b2
＝（m2＋1）（－2pb）＋2pm2b＋b2＝b2－2pb＝0，
解得b＝2p或b＝0（舍去），
即直线AB的方程为x＝my＋2p，原点到直线AB的距离为d＝，
当m＝0时，d最大值＝2p＝4.所以p＝2，故选B.
答案：B
5．解析：因为直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，所以该直线斜率不为零，
设该直线的方程为x＝my＋n，其中m，n不同时为零；设A（x1，y1），B（x2，y2），
由可得y2－4my－4n＝0，
则，Δ＝16m2＋16n＞0，即m2＋n＞0；
因此x1x2＝（my1＋n）（my2＋n）＝m2y1y2＋mn（y1＋y2）＋n2＝n2，
又·＝－4，所以x1x2＋y1y2＝－4，即n2－4n＋4＝0，解得n＝2；
所以|AB|＝＝＝4；
又点O到直线x＝my＋2的距离为d＝，
所以△OAB的面积为S△OAB＝·|AB|·d＝4≥4，
即△OAB面积的取值范围是[4，＋∞）.故选D.
答案：D
6．解析：令y＝1，得x＝，即A.
由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k（x－1），代入y2＝4x.
消去y，得k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝＝4.
|AB|＝xA＋xB＋p＝.
将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B（4，－4）.
故|MB|＝＝.
故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝＋＋＝9＋.故选B.
答案：B
7．解析：由＋＝2，所以OF1·＋F1P·＝2||，∴·（OF1＋F1P）＝·＝2||，
可得|OP|＝2，
不妨设F1（－2，0），F2（2，0），所以||＝|F1F2|，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝48.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，所以16＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝16，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝8.故选C.
答案：C
8．解析：由题意可知，抛物线的焦点在x轴上，可设抛物线的方程为y2＝mx，
将点P的坐标代入抛物线方程，可得2m＝16，解得m＝8，
因此，该抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
9．解析：根据题意，把x＝代入＋＝1中，得y＝±，不妨设A，且F（c，0），
则F到直线x＝的距离为，由∠AFB＝120°，
得tan ＝＝，
则b＝|a－2c|，平方计算得＝.
答案：
10．解析：设点M的坐标为（x，y），
因为＝，可得＝，整理得x2＋（y－1）2＝2，即点M的轨迹是以（0，1）为圆心，r＝为半径的圆．
又由点P（t，t－2），可得点P在直线x－2＝y, 即x－y－2＝0上，
则圆心M（0，1）到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即|MP|的最小值是d－r＝－＝.
答案：
11.
解析：设∠MAF＝θ，|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义可得|AM|＝a，|BN|＝b，
且180°－2∠AFM＋180°－2∠BFN＝180°，故∠AFM＋∠BFN＝90°，
故∠MFO＋∠NFO＝90°即MF⊥NF，
设∠MAF＝θ，则由余弦定理得|MF|2＝2a2（1－cos θ），|NF|2＝2b2（1＋cos θ），
S△MAF＝a2sin θ，S△NBF＝b2sin θ，
因为△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，
所以有a2sin θ·b2sin θ＝1，即a2b2sin2θ＝4，
所以（S△MFN）2＝＝a2b2sin2θ＝4，
所以△MFN的面积为2.
答案：2
12．解析：∵双曲线－＝1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，
又∵抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－，
双曲线－＝1的两条渐近线与抛物线x2＝4x的准线分别交于A，B两点，
∴A，B两点的横坐标分别是x＝和x＝－，
∵△AOB的面积为，∴××＝，
∴b＝a，c＝＝2a，∴e＝＝2.
答案：C
13．解析：由题意可得F（c，0），
∵直线OA、OB都平行于渐近线，
∴可设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x，
∴过点F平行与OA的直线FB的方程为y＝（x－c），
过点F平行与OB的直线FA的方程为y＝－（x－c），
分别联立方程，，
解得A，B，即线段AB与OF互相垂直平分，
则四边形OAFB为菱形，其外接圆圆心在AB、OF的交点处，
∴OA⊥AF，
则·＝－＝0，即a＝b，
∵c2＝a2＋b2＝2a2，c＝a，
∴双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：

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