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高考二轮概率、随机变量及其分布列专项训练
（原卷+答案）
考点一　古典概型与几何概型——构建模型，合理分类
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
[例1]　(1)[一题多解][2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为(　　)
A.　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(　　)
A. B． C． D．
[考查知识]　古典概型与几何概型．
[核心素养]　逻辑推理，数学运算．
归纳总结
解答几何概型、古典概型问题时的策略
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．
(3)利用几何概型求概率时，关键是确定构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
对点训练
1．[一题多解][2021·武汉模拟]我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种元素的相生相克关系如图所示，若从这五种元素中随机选取三种，则取出的三种元素中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为(　　)
A． B． C． D．
2.
七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
考点二　相互独立事件和独立重复试验——正难则反
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2…，n.
[例2]　11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[考查知识]　相互独立事件概率乘法公式．
[核心素养]　逻辑推理，数学运算．
归纳总结
求相互独立事件的概率的两种方法
直接法 正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
间接法 当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．
对点训练
[2021·山东济宁联考]为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动．抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜
色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖．若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率错误的是(　　)
A．某顾客抽奖一次中奖的概率是
B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是
C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
考点三　离散型随机变量的分布列、均值与方差——综合各类概率，活用分布模型
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．
(2)两点分布与二项分布的均值、方差
①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[例3]　[2021·济南模拟]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者赢得比赛，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．
(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率．
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分，若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
[考查知识]　相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与分布列．
[核心素养]　逻辑推理，数学运算．
归纳总结
计算期望与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接用定义或公式求．
(2)已知随机变量X的期望、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的期望、方差和标准差，可直接用期望及方差的性质求．
(3)若能分析出所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的期望、方差公式来求．
对点训练
智能制造被认为是未来工业转型的核心，某报告显示，2020年全国制造业智能制造能力成熟度较2019年有所提升．为了解某地区企业的智能制造水平，随机抽取了100家企业对智能制造的水平进行评分，根据这100家企业的智能制造评分情况，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].
(1)若该地区共有2 300家企业，试估计智能制造评分在[50，60)内的企业数量；
(2)估计该地区企业的智能制造评分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)以样本的频率估计概率，为提高企业智能制造的水平，监管部门随机从当地抽取4家企业了解情况，求这4家企业的智能制造评分在[60，70)内的企业数量X的数学期望．
考点四　概率与统计的综合应用——准确审题，数据分析
角度1 概率与统计图表的交汇问题
[例4]　[2021·合肥市模拟]某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约2.5亿，合作商户超过200万家，活跃骑手超过50万名，日完成订单超过1 800万．抽样调查数据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取100名对其一周内点外卖次数进行统计，得到数据如表：
2次及以下 3～5次 6～8次 8次以上
男 2 30 15 5
女 3 22 20 3
(1)根据上表，从一周点外卖“8次以上”的8名用户中随机抽取3名，求男性用户数量X的分布列及其期望；
(2)从所有用户中随机抽取n名用户，满足“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率超过，若用样本频率估计总体概率，求n的最小值．
(参考数据：lg 2∈(0.301，0.302)，lg 3∈(0.477，0.478))
[考查知识]　离散型随机变量的分布列和期望，对立事件的概率计算公式．
[核心素养]　数学建模和数学运算．
归纳总结
破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤
角度2 概率与统计案例的交汇问题
[例5]　[2021·长春市高三质量检测]近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3 568亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．
(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X.
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示)；
②求X的数学期望和方差．
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
[考查知识]　独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望和方差．
[核心素养]　数据分析．
归纳总结
解决概率、统计与其他知识的综合
角度3 概率、统计与数列的交汇
[例6]　第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，届时，北京将成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．在某次滑雪表演比赛中，抽取部分参赛队员的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计，并按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](已知分数在[90，100]内的人数为3)的分组作出如图所示的频率分布直方图．
据此解答如下问题：
(1)求样本容量n及频率分布直方图中a的值．
(2)滑雪场馆内的一销售网点为了吸引游客，增加营业收入，开展“参加游戏赢奖券”促销活动，购物满200元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共7格的方格图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戏开始时“跳子”在第1格，参与者需从一个口袋(装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球)中任取两个球，若两个球颜色不同，则“跳子”前进1格(即从第1格到第2格)，若两个球颜色相同，则“跳子”前进2格(即从第1格到第3格)，当“跳子”前进到第6格或者第7格时，游戏结束．“跳子”落在第6格可以得到30元奖券，“跳子”落在第7格可以得到90元奖券．记“跳子”前进到第n格(1≤n≤7)的概率为Pn.
①证明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比数列．
②求某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额的期望．
[考查知识]　等比数列的性质及离散型随机变量的分布列和数学期望．
[核心素养]　数据处理，逻辑推理．
归纳总结
破解此题的关键是将概率的参数表达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特．
对点训练
[2021·济南历城模拟]共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.2020年某市共享单车用户年龄(已知不超过59岁)分布图如图1所示，一周内市民使用共享单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”．已知在“经常使用共享单车用户”中有是“年轻人”．
(1)现对该市市民进行“是否经常使用共享单车与年龄的关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并判断是否有85%的把握认为用户是否经常使用共享单车与年龄有关．
年轻人 非年轻人 合计
经常使用共享单车用户 120
不常使用共享单车用户 80
合计 160 40 200
(2)将(1)中频率视为概率，若从该市市民中随机抽取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
[高考5个大题]
解题研诀窍(四) 概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
[思维流程——找突破口]
[技法指导——迁移搭桥]
概率与统计问题辨析、辨型的基本策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等．
(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等．
(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等．
(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率．
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差．
(6)会套用求、K2的公式，再作进一步求值与分析．
[典例]　某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[快审题]
求什么 想什么 求f(p)的最大值点，想到f(p)的表达式． 求E(X)的值，想到X的可能取值及所对应的概率、均值的性质．
给什么 用什么 给出检验费及赔偿费可计算E(X)．
差什么 找什么 计算E(X)，应找出X与不合格产品件数的关系，利用均值性质求解．
[稳解题]
(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝p2·(1－p)18，
所以f′(p)＝[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝p(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1，
当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1，
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知Y～B(180，0.1)，
X＝20×2＋25Y，
即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元，由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．
题后悟道
解决概率与统计问题的关键点
(1)会利用两个基本计数原理、排列与组合，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；能准确判断随机变量X的所有可能取值，然后求出随机变量X取每个值时的概率，即可得随机变量X的分布列；还需活用定义，即会活用随机变量的数学期望的定义进行计算．
(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，根据统计量K2的计算公式确定K2的值，K2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．
[A·基础达标]
1．[2021·河南高三二模]小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为(　　)
A． B．
C． D．
2．[2021·西安市经开第一中学高三模拟]已知a，b是区间[0，4]上的任意实数，则函数f(x)＝ax2－bx＋1在[2，＋∞)上单调递增的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．[2021·江西高三模拟]在区间[0，1]上随机取两个数x，y，则事件“y≥x2 020”发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．[2021·河南南阳市高三模拟]现有11棵树径(绕树底部围一圈得到的周长)均不相等的国槐需要种植在新办公楼的前面，种成一排，若要求从中间往两边看时，树径都依次变小，则树径排第五的那棵树和树径排第一(树径最大)的那棵树相邻的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．[2021·山西临汾市高三一模]1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1 000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为(　　)
(π≈3，≈1.732)
A．577 B．537
C．481 D．331
6．[2021·广西钦州市高三二模]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分(由对角线OB及函数y＝x3围成)的概率为____________．
7．[2021·宁夏吴忠市高三一模]某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好仅有2天连续的概率为____________．
8．[2021·甘肃金昌市高三二模]在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为____________．
9．[2021·陕西高三模拟]某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：
文艺活动 体育活动
男性居民 15 20
女性居民 25 10
(1)判断能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；
(2)用分层抽样方法，在样本中选择文艺活动的居民中按性别抽取8人，再从这8人中随机选3人，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
10．[2021·黑龙江哈尔滨市模拟]在企业风险决策中，当天气好的概率P大于其临界概率P0时，执行该方案好于改变该方案，当天气好的概率P等于P0时，执行方案收益的数学期望等于改变该方案收益的数学期望．某工程队签署一项赴A地施工的合同，根据已有统计得到的数据提供如下方案：若赴A地后一个月天气好，可以按期完工能盈利12.6万元；若赴A地后一个月天气不好，则造成损失4.8万元．改变方案则不赴A地，留在B地，若天气好可临时承包一些零星工程，盈利5.4万元；若天气不好，则损失1.2万元．
(1)试确定今后一个月赴A地施工的天气好的临界概率P0(设AB两地的天气状态相同).
(2)若人力资源部获得了A地近三年的6月份的最高气温数据，列出如下频率分布表．
最高气温(度) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 21 31 25 4 7
若最高气温在[20，35)内，则视为天气好．以频率作为概率，根据(1)中所得天气好的临界概率判断，该企业今年6月份是赴A施工，还是留在B地？本月期望获得的利润是多少？
[B·素养提升]
11．[2021·重庆高三模拟]现有甲、乙等6名来自三所大学的大学生(每所大学各2人)志愿者，为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行，他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作，每个社区分配两名大学生．
(1)求甲、乙两人被分配到同一社区的概率；
(2)设有X个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学，求X的分布列与数学期望．
12．[2021·安徽池州市]某科技企业投资2亿元生产一种供5G智能手机使用的芯片，该芯片因生产原因其性能存在着一定的差异，该企业为掌握芯片的性能情况，从所生产的芯片中随机抽取了200块进行了性能测试，得到其性能指标值的频数分布表如下所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表).
性能指标值/分 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 20 30 40 60 30 20
利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数；
(2)每块芯片的性能等级和纯利润X(单位：元/片，1＜m＜4)如下表所示：
性能指标值 [40，50) [50，70) [70，90) [90，100]
等级 次品 C级 B级 A级
纯利润X －40em 30m 50m 70m
(ⅰ)从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3块芯片，试求至少有2块芯片为A级或B级芯片的概率；
(ⅱ)若该科技企业该芯片的年产量为200万块，其中次品直接报废处理，其他芯片全部能被手机厂商收购，问：该企业两年之内是否有可能收回总投资？试说明理由．参考数据：ln 10≈2.30.
参考答案
考点一
[例1]　解析：(1)解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)　4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为OA，OB，将4个1和2个0随机排成一行有
＝.
解法二(含有相同元素的排列)　将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有
＝.
(2)
解析：在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于，即x＋y>，则.在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝，故选B.
答案：(1)C　(2)B
对点训练
1．解析：方法一　从五种元素中选取三种，共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系有5种情况，所以概率为，故选B.
方法二　从这五种元素中随机选取三种，不同的情况共有＝10(种)．取出的三种元素中，彼此间恰好有—个相生关系和两个相克关系的情况有＝5(种)．所求概率为P＝＝，故选B.
答案：B
2．解析：设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为×1×2＋1×＝，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝.
答案：
考点二
[例2]　解析：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
对点训练
解析：对于A选项，顾客抽奖一次中奖的概率为＝＝，故A选项正确．
对于B选项，有如下两种方法：
方法一　顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是＝.
方法二　顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1－＝1－＝1－＝.
故B选项正确．对于CD选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是＝，故C选项错误，D选项正确．故选C.
答案：C
考点三
[例3]　解析：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2“甲队以3∶2胜利”为事件A3.由题意，各局比赛结果相互独立．
故P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝×()2×＝.所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.
P(X＝1)＝P(A4)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
对点训练
解析：(1)由频率分布直方图可知，(0.005＋a＋0.016＋0.020×2＋0.029)×10＝1，解得a＝0.010.
故该地区智能制造评分在[50，60)内的企业数为2 300×0.010×10＝230.
(2)该地区企业智能制造评分的平均值为＝45×0.05＋55×0.10＋65×0.20＋75×0.29＋85×0.20＋95×0.16＝74.7.
(3)由频率分布直方图可知，智能制造评分在[60，70)内的频率为0.20，故任选一家企业，智能制造评分在[60，70)内的概率为.
易知X～B，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故其分布列为
X 0 1 2 3 4
P
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二　E(X)＝4×＝.
考点四
[例4]　解析：(1)随机变量X可以取到的值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴用户数量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率为P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＞，∴P(Y＝0)＜，即＜，∴n＞.
∵∈(6，7)，n∈N*，∴n的最小值为7.
[例5]　解析：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 70 10 80
合计 150 50 200
K2＝≈11.111＞10.828，
在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
(2)①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5.(求分布列，正确确定X的所有可能取值是关键)
其中P(X＝0)＝；P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝；P(X＝3)＝；P(X＝4)＝；P(X＝5)＝.
X的分布列为
②由于X～B，所以E(X)＝5×＝2，(求随机变量X的数学期望时，可先分析X是否服从二项分布，若服从直接用公式求解即可)
D(X)＝5×＝.
[例6]　解析：(1)由题意知，分数在[90，100]内的人数为3人，其对应的频率为10×0.015＝0.15.所以样本容量n＝＝20.a＝＝0.02.
(2)①证明：从口袋中摸到的两个球是同色球的概率为P＝＝；摸到的两个球是异色球的概率为1－P＝.“跳子”开始在第1格为必然事件，即P1＝1，“跳子”移到第2格，其概率为，即P2＝.
“跳子”前进到第n(3≤n≤6)格的情况有如下两种：
“跳子”先到第n－2格，概率为Pn－2；
“跳子”先到第n－1格，概率为Pn－1.
所以3≤n≤6时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，
所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)．
因为P2－P1＝－≠0.
所以＝－(3≤n≤6)．
所以当2≤n≤6时，数列{Pn－Pn－1}是等比数列，首项为P2－P1＝－，公比为－.
②设某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额为X元，则X的所有可能取值为30，90，
由(2)可知Pn－Pn－1＝＝(2≤n≤6)，
所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1
＝＋＋…＋＋1
＝＝(2≤n≤6)，
所以P6＝＝，
易知P7＝P5＝＝.
故X的分布列为
X 30 90
P
则X的期望为E(X)＝×30＋×90＝.
对点训练
解析：(1)补全的2×2列联表如下：
年轻人 非年轻人 合计
经常使用共享单车用户 100 20 120
不常使用共享单车用户 60 20 80
合计 160 40 200
所以K2＝≈2.083＞2.072，
即有85%的把握认为用户经常使用共享单车与年龄有关．
(2)由(1)中的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为×100%＝10%，
即在抽取的用户中出现经常使用共享单车的“非年轻人”的概率为0.1.
因为X～B(3，0.1)，X＝0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝(1－0.1)3＝0.729，P(X＝1)＝3×(1－0.1)2×0.1＝0.243，
P(X＝2)＝3×(1－0.1)×0.12＝0.027，P(X＝3)＝0.13＝0.001，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
方法一　所以E(X)＝0×0.729＋1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3.
方法二　所以E(X)＝3×0.1＝0.3.
1．解析：输入不同的组合一共有：CCC＝48种可能，
而正确密码只有一种可能，所以密码一次输入就对的概率为，故选A.
答案：A
2．解析：因为a，b是区间[0，4]上的任意实数，则函数f（x）＝ax2－bx＋1在[2，＋∞）上单调递增，
所以≤2 b≤4a如图阴影部分所示：
则所要求的概率为P＝＝＝，故选D.
答案：D
3．解析：如图
y≥x2 020表示阴影部分，即事件A表示“y≥x2 020”，
则S阴影＝1－x2 020dx＝1－x2 0210＝，
所以P（A）＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：将树径从高到低的11棵树依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则1号必须排在正中间，从其余10棵树中任选5棵排在1号的左边，剩下的5棵排在1号的右边，有C＝252种排法．当排名第五的5号排在最高的1号的左边时，从6，7，8，9，10，11中任选4棵排在5号的左边，其余五棵排在1号的右边，有C＝15种排法，同理当排名第五的5号排在最高的1号的右边时，也有15种排法．所以树径排第五的那棵树和树径排第一的那棵树相邻的概率为＝.故选D.
答案：D
5．解析：设原正三角形边长为3a，则由正弦定理得＝2R，即R＝a，
所以正三角形外接圆半径为a，则S圆＝πR2＝3a2π，
又由题意得凸出来的小正三角形边长为a，
则S六角星＝S大三角形＋3S小三角形
＝·3a·3a·＋3×·a·a·＝3a2，
则＝＝≈0.577，
所以落在六角星中的豆子数约为1 000×0.577＝577，故选A.
答案：A
6．解析：由题意阴影部分面积为S1＝（x－x3）dx＝0＝－－0＝，
又正方形面积为S＝1×1＝1，
所以所求概率为P＝＝.
答案：
7．解析：连续7天中随机选择3天，有C＝35种选择，其中恰好仅有2天连续，把连续的2天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有A＝20种选择，所以所求的概率为P＝＝.
答案：
8．解析：设阴影区域的面积为S，
由几何概型公式得＝，∴S＝16.故阴影部分的面积为16.
答案：16
9．解析：（1）由K2＝≈6＞3.841，
所以有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关．
（2）用分层抽样方法，男性居民抽取人数为：15×＝3
女性居民抽取人数为：25×＝5
则X的可能取值为：0，1，2，3.
依题意得P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．解析：（1）12.6×P0＋（1－P0）×（－4.8）＝5.4×P0＋（1－P0）×（－1.2），得P0＝.
（2）气温在[20，35）的频率为＝，
所以今年6月份天气好的概率为，
因为＞P0＝，所以应赴A地施工．
期望获得的利润是12.6×－×4.8＝6.8万元．
所以该企业应赴A地施工，本月期望获利6.8万元．
11．解析：（1）设事件A为：甲、乙两人被分配到同一社区，将6人分为3组，共有＝15种，其中甲乙分到同一组的情况有3种，所以P（A）＝＝；
（2）由题知，X的可能取值为0，1，3，
P（X＝3）＝，P（X＝1）＝＝，∴P（X＝0）＝1－－＝，所以X的分布列为：
X 0 1 3
P
所以数学期望E（X）＝.
12．解析：（1）由题意知，样本平均数为
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5.
所以可以估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数为70.5分．
（2）（ⅰ）由题意知芯片为A级或B级芯片的概率P＝＝0.55，
则从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3块芯片，至少有2块芯片为A级或B级芯片的概率为P＝1－C0.453－C0.452×0.55＝0.574 75.
（ⅱ）由题意可知，该芯片的性能指标值与对应概率如下表所示：（1＜m＜4）
性能指标值 [40，50） [50，70） [70，90） [90，100]
纯利润 －40em 30m 50m 70m
概率 0.1 0.35 0.45 0.1
故每块芯片的纯利润
E（X）＝－40em×0.1＋30m×0.35＋50m×0.45＋70m×0.1＝－4em＋40m，
记y＝E（X），则y′＝－4em＋40＝－4（em－10），
令y′＝0，得m＝ln 10，
故当m∈（1，ln 10）时，y′＞0，y＝E（X）单调递增，
当m∈（ln 10，4）时，y′＜0，y＝E（X）单调递减，
所以当m＝ln 10≈2.30时，y取得最大值，
ymax＝－4eln 10＋40×ln 10≈－4×10＋40×2.30＝52（元）.
所以2×52×200万＝208百万>2亿，
故该企业两年之内可以收回总投资．

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