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美
妙
的
数
学
世
界
数学七年级上册
高
斯
求
和
公
式
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，生于布伦瑞克，卒于哥廷根。德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。享有“数学王子”的美誉。高斯与牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。
（1777年4月30日－1855年2月23日）
老师出完题后，全班同学都在埋头计算。只有小高斯不急不慌的思考着，想了一会儿，小高斯很快给出了答案：5050。
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋2＋3＋4＋…+50+51+…＋97+98+99＋100＝？
1＋100＝101
2＋99＝101
3＋98＝101
4＋97＝101
50＋51＝101
小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51
　 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
　　(1+100)×100÷2＝5050
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？
探究发现
图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
21
20
19
1
1
2
3
21
1+2+3+…+20+21
=(1+21)×21÷2
=231
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100
=(1+100)×100÷2
=5050
求1到n的正整数之和。
高斯求和公式
由高斯的巧算方法，得到求和公式：
和=(首项+末项)×项数÷2
探究发现
线段AB上的点数（不包括A、B两点）
图 例
线段条数
1
2
3
4
n
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
A
B
C
D
1+2+3+…+（n+1)=
…
A
O
B
一条射线：1+2=3
二条射线：1+2+3=6
三条射线：1+2+3+4=10
……
……
n条射线：1+2+3+…+n+(n+1)
n
1
1
n
形
数
数形结合
在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。

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