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初中数学：母子相似三角形在不同几何图形中的灵活应用
相似三角形是中考数学中的必考知识点之一，而相似三角形中的母子相似又是我们最常见的相似类型。在三角形、四边形、圆等相关题目中，经常可见母子相似型的三角形，因此，其基础性与重要性可见一斑，我们必须学会灵活应用。
基本原理
基本定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定方法：
（1）两角分别相等的两个三角形相似；
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
二、母子相似三角形基本图形
三、母子相似三角形在不同几何图形中的应用
3.1、普通三角形中的母子相似
例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB =∠ABC。
求证：（1）DB2 =DE·DA ;（2）∠DCE =∠DAC
证明：（1）∵∠DEB =∠ABC
∠BDE=∠BDE
∴△BDE ∽△ADB
∴BD/AD = DE/DB
∴DB2 =DE·DA
（2）∵AD是中线
∴CD = BD
∴CD2 =DE·DA
又∵∠ADC=∠CDE
∴△DCE ∽ △DAC
∴∠DCE =∠DAC
3.2、直角三角形中的母子相似
例2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C = 90 ，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：（1）△AME ∽△NMD ；（2）ND2=NC·NB
证明：（1）∵AD是Rt△ABC中∠A的平分线，
∴∠1 = ∠2
∵∠C = 90 ，EF是AD的垂直平分线
∴∠1+∠ADC = ∠4+∠ADC = 90 ,∠3 = ∠4
∴∠1 = ∠4 = ∠2
又∵∠AM E= ∠NMD
∴△AME ∽△NMD
∵EF是AD的垂直平分线
∴ND = NA
∵∠C = 90 ，EF是AD的垂直平分线
∴∠7+∠3+∠4 = ∠B+∠1+∠2
又由（1）知∠1 = ∠4 = ∠2 = ∠3
∴∠7 = ∠B
又∵∠ANC = ∠ANC
∴△ANC∽△BNA
∴AN/BN = NC/NA
∴NA2=NC·NB
又ND = NA
∴ND2=NC·NB
3.3、四边形中的母子相似
例3、如图，F、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC的点，且BF = BQ ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH。
证明：∵BH⊥CF，BF⊥BC，∠BCH = ∠BCH
∴△BCH ∽ △FCB
∴
∵BF = BQ， BC =CD
∴①
∵∠BCH+∠DCH = ∠BCH+∠HBC
∴∠DCH = ∠HBC ②
由 ①②可知，△BHQ ∽△CHD
∴∠CHD = ∠BHQ
又∠CHQ为公共角 且∠CHQ + ∠BHQ =90
∴∠CHD +∠CHQ = 90 即QH⊥DH得证。
例4、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG.
(1)求证：四边形EFDG是菱形；
(2)求证：EG2=GF·AF/2；
证明：（1）由折叠的原理，
△ADF≌△AEF
∴DF=EF，DG=EG，∠AFD=∠AFE；
∵GE//CD；∴∠EGF=∠AFD；
∴∠EGF=∠AFE；
∴EG=EF；
∴DF=EF=DG=EG；即四边形EFDG是菱形。
（2）在Rt△DOF和Rt△ADF中，∠DFO=∠AFD，
∴Rt△DOF∽Rt△ADF；
∴ AF:DF=DF:OF；
∴DF^2= OF·AF；
又OG=OF=GF/2，OD⊥GF；
∴EG^2=GF·AF/2.
3.4、圆中的母子相似
例5、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．
解：（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，∴OB=r，BE=r，
∴BF=OB+OF=r，∴FG=BF sinB=r，
∴BG==r，∴EG=BG﹣BE=r，
∴S△FGE=EG FG=r2，EG：FG=1：2，
∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，
∴=（）2 =，∴S△EHG=S△FGE=r2．
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