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高一数学必修一第五章：三角函数（十四）
计算三角函数的单调性
第一部分：三角函数单调性计算原理
知识点一：简单三角函数的单调性
一、函数的单调性：
（1）当时：函数单调递增；
（2）当时：函数单调递减。
二、函数的单调性：
（1）当时：函数单调递增；
（2）当时：函数单调递减。
三、函数的单调性：
当时：函数单调递增。
知识点二：三角函数的单调性
一、函数的单调性：
（1）当时：原始单调性不变
①当时：函数单调递增；
②当时：函数单调递减。
（2）当时：原始单调性改变
①当时：函数单调递减；
②当时：函数单调递增。
二、函数的单调性：
（1）当时：原始单调性不变
①当时：函数单调递增；
②当时：函数单调递减。
（2）当时：原始单调性改变
①当时：函数单调递减；
②当时：函数单调递增。
三、函数的单调性：
（1）当时：原始单调性不变
当时：函数单调递增。
（2）当时：原始单调性改变
当时：函数单调递减。
第二部分：三角函数单调性高考题型
题型一：计算实数集上三角函数单调性
例题一：2017年高考数学浙江卷第18题：已知函数（）。
（2）求的最小正周期及单调递增区间。
解（2）
。
①函数的最小正周期：。
②，原始单调性改变。
当时：函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
例题二：2016年高考文科数学山东卷第17题：设。
（1）求单调递增区间。
解：（1）
。
，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
例题三：2016年高考文科数学北京卷第16题：已知函数（）的最小正周期为。
（2）求的单调递增区间。
解：（2）
。
函数的最小正周期为。
，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
例题四：2014年高考文科数学四川卷第17题：已知函数。
（1）求的单调递增区间。
解：（1），原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
例题五：2014年高考理科数学福建卷第18题：已知函数。
（2）求函数的最小正周期以及单调递增区间。
解：（2）
。
①函数的最小正周期：。
②，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
例题六：2014年高考文科数学福建卷第18题：已知函数。
（2）求函数的最小正周期以及单调递增区间。
解：（2）
。
①函数的最小正周期：。
②，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
题型二：计算给定区间上三角函数单调性
例题一：2021年高考数学新高考1卷第4题：下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：，原始单调性不变。
当时：函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
如下数轴所示：
所以：当时：函数单调递增。
例题二：2018年高考数学天津卷理科第6题文科第6题：将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A、在区间上单调递增 B、在区间上单调递增
C、在区间上单调递增 D、在区间上单调递增
解：函数的图像向右平移个单位长度得到：。
，原始单调性不变。
当时：函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
当时：当时：函数单调递增。
例题三：2016年高考理科数学天津卷第15题：已知函数。
（2）讨论在区间上的单调性。
解：（2）
。
，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
如下数轴所示：
所以：当时：函数单调递减。
当时：函数单调递增。
例题四：2014年高考理科数学辽宁卷第9题：将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A、在区间上单调递减 B、在区间上单调递增
C、在区间上单调递减 D、在区间上单调递增
解：函数的图像向右平移个单位长度得到：。
，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
如下数轴所示：
所以：当时：函数单调递增。
例题五：2013年高考数学上海卷（春季）第20题：既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：①奇函数：和；偶函数：。所以：BD是偶函数。
当时：函数单调递减。
当时：当时：函数单调递减。
例题六：2013年高考理科数学安徽卷第16题：已知函数的最小正周期为。（2）讨论在区间上的单调性。
解：（2）
。
函数的最小正周期：。
，原始单调性不变。
当时：
函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
如下数轴所示：
所以：当时：函数单调递增。
当时：函数单调递减。
题型三：已知三角函数单调性，计算参数取值范围
例题一：2018年高考理科数学新课标2卷第10题：若在是减函数，则的最大值是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：
。，三角函数单调性不变。
当时：函数单调递减。
所以：当时：函数单调递减。
在是减函数。
如下数轴所示：
所以：，的最大值为。
例题二：2018年高考文科数学新课标2卷第10题：若在是减函数，则的最大值是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：。
，原始单调性不变。
当时：函数单调递减。
所以：当时：函数单调递减。
如下数轴所示：
所以：的最大值为。
例题三：2013年高考理科数学上海卷第21题：已知函数，其中常数。
（1）若在上单调递增，求的取值范围。
解：（1），原始单调性不变。
当时：函数单调递增。
所以：当时：函数单调递增。
如下数轴所示：
所以：，。
所以：的取值范围：。

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