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高考二轮坐标系与参数方程专项训练
(原卷+答案)
考点一　极坐标方程的应用——“极”“直”要统一，“ρ”“θ”用意义
1．极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
或
顺便指出，上式对ρ<0也成立．(一般认为ρ≥0)
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
2．圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝________．
(2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝________．
(3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.
[例1]　[2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[考查知识]　直角坐标方程与极坐标方程的互化．
[核心素养]　数学运算．
归纳总结
1.求曲线的极坐标方程的一般思路
求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键．
2．解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．
对点训练
[2021·成都市第二次诊断性检测]在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(φ为参数)，直线l的方程为x＋y－6＝0.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；
(2)若点P(x，y)在直线l上且y>0，射线OP与曲线C相交于异于点O的点Q，求的最小值．
考点二　参数方程的应用——引“参”用其意义，消“参”化为坐标
1．直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t是参数).
设P是直线上的任意一点，则|t|表示有向线段P0P的长度．
2．圆的参数方程
圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为__________________(θ为参数).
3．椭圆的参数方程
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为________(θ为参数).
[例2]　[2021·东北三校第二次联合模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ.
(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|.
[考查知识]　曲线的参数方程与普通方程的互化，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
[核心素养]　数学运算．
归纳总结
1.参数方程化为普通方程消去参数的方法
(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；
(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法；
(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②－＝4；③＋＝1.
2．直线的参数方程中参数几何意义的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数).若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
对点训练
[2021·银川市教学质量检测]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(β为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l1的极坐标方程为θ＝α，直线l2的极坐标方程为θ＝α＋.
(1)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
(2)设直线l1与曲线M交于A，C两点，直线l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．
考点三　参数方程、极坐标方程的综合应用——二者统一，坐标为本
[例3]　[2021·甘肃省第二次高考诊断考试]在平面直角坐标系xOy中，点A是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，点B满足2＝，点B的轨迹是曲线C2.
(1)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，点P的直角坐标是(－1，0)，若直线l与曲线C2交于M，N两点，当|PM|，|MN|，|PN|成等比数列时，求cos α的值．
[考查知识]　直角坐标方程化为极坐标方程，直线的参数方程及其应用．
[核心素养]　数学运算，逻辑推理．
归纳总结
解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
对点训练
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线C1与C2相交于A，B两点．
(1)求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
(2)求点M(1，－1)到A，B两点的距离之和．
同步练习
[A·基础达标]
1．[2021·郑州市第二次质量预测]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(t是参数)，α∈.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin －2cos θ.
(1)写出曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α－sin αcos α的值．
2．[2021·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝ ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
3．[2021·昆明市“三诊一模”教学质量检测]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1，C2交于A，B两点，求|OA|·|OB|.
4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R).以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．
[B·素养提升]
5．[2021·长沙市统一模拟考试]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求l和M的极坐标方程；
(2)当α∈时，求|OA|＋|OB|的取值范围．
6．[2021·合肥市第二次教学质量检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρsin (θ－)－2＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C2与曲线C1交于点A，B，M(－2，2)，求－的值．
参考答案
考点一
2．（1）R　（2）2a cos θ
[例1]　解析：（1）由题意知⊙C的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1，
则⊙C的参数方程为（α为参数）.
（2）由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k（x－4），
即kx－y＋1－4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝ρcos θ－＋1，ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
即ρcos θ－ρsin θ－4＋＝0，ρcos θ＋ρsin θ－4－＝0.
对点训练
解析：（1）由曲线C的参数方程得曲线C的普通方程为（x－1）2＋y2＝cos2φ＋sin2φ＝1.
由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，即ρsin(θ+)＝3.
（2）设点P的极坐标为（ρ1，θ），点Q的极坐标为（ρ2，θ），其中0<θ<.
由（1）知|OP|＝ρ1＝，|OQ|＝ρ2＝2cos θ，
∴＝＝＝＝.
∵0<θ<，∴<2θ＋<，
∴－∴当sin （2）＝1，即θ＝时，取得最小值2.
考点二
1.
2.
3.
[例2]　解析：（1）曲线C1：（α为参数）的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
由x＝ρcos θ，x2＋y2＝ρ2，
可得ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
曲线C2：ρ＝2cos θ－2sin θ，即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，
由x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－2y，即（x－）2＋（y＋1）2＝4.
（2）直线l的普通方程为y＝－x，
所以直线l的极坐标方程为θ＝－或θ＝.
与曲线C1的极坐标方程联立，得A(2)，
与曲线C2的极坐标方程联立，得B(4)，
所以|AB|＝|ρA－ρB|＝4－2.
对点训练
解析：（1）由（β为参数），消去参数β得（x－1）2＋（y－1）2＝4，
∴曲线M是以（1，1）为圆心，2为半径的圆．
∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴曲线M的极坐标方程为ρ2－2ρ（sin θ＋cos θ）－2＝0.
（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，
将直线l1与圆M的极坐标方程联立，得ρ2－2ρ（sin α＋cos α）－2＝0，
∴ρ1＋ρ2＝2（sin α＋cos α），ρ1·ρ2＝－2.
∵O，A，C三点共线，
∴|AC|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
用α＋代替α可得|BD|＝，
∵l1⊥l2，∴四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝ .
∵sin22α∈[0，1]，∴S∈[4，6]，
故四边形ABCD面积的取值范围为[4，6].
考点三
[例3]　解析：（1）曲线C1的直角坐标方程可化为x2＋y2－4x＝0，
因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点B的极坐标为（ρ，θ），则由2＝可知，点A的极坐标为（2ρ，θ），代入曲线C1的极坐标方程ρ＝4cos θ，整理得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
（2）由（1）可知曲线C2的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，
把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C2的直角坐标方程，得（t cos α－2）2＋（t sin α）2＝1，
整理，得t2－4t cos α＋3＝0，由于直线l与曲线C2交于M，N两点，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，
当|PM|，|MN|，|PN|成等比数列时，|t1t2|＝|t1－t2|2，即16cos2α－12＝3，
所以cos2α＝，所以cos α＝±.
对点训练
解析：（1）消去参数t得曲线C1的普通方程为y2＝4x，因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C2的直角坐标方程为x－y－2＝0.
（2）曲线C2的参数方程为（t′为参数），
将其代入曲线C1的普通方程y2＝4x中，得t′2－3t′－3＝0，
Δ＝18＋6>0，
设t1，t2分别为A，B两点对应的参数，则t1＋t2＝6，t1t2＝－6，
由参数的几何意义，知M（1，－1）到A，B两点的距离之和为|t1－t2|＝＝＝4.
同步练习
1．解析：（1）ρ＝4（sin θ·＋cos θ·）－2cos θ＝4sin θ＋2cos θ，
则ρ2＝4ρsin θ＋2ρcos θ，由，得x2＋y2＝4y＋2x，
∴曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2－2x－4y＝0.
（2）∵曲线C1与C2有且仅有一个公共点，∴直线C1：y＝tan α·x＋5与圆C2相切，圆C2的圆心为（1，2），半径为，则＝，
解得tan α＝2或tan α＝－（舍去），
∴sin2α－sin αcos α＝＝＝.
2．解析：（1）根据ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，所以C的直角坐标方程为（x－）2＋y2＝2.
（2）设P（x，y），M（x′，y′），则＝（x－1，y），＝（x′－1，y′）.
因为＝ ，所以，即，
因为M为C上的动点，
所以＋＝2，即（x－3＋）2＋y2＝4.
所以P的轨迹C1的参数方程为（其中α为参数，α∈[0，2π））.
所以|CC1|＝3－2，⊙C1的半径r1＝2，又⊙C的半径r＝，所以|CC1|所以C与C1没有公共点．
3．解析：（1）消去参数t得C1的普通方程为x－y＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1.
因为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4.
（2）C1的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，
C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
联立得，
解得cos θ＝，sin θ＝－，
由sin2θ＋cos2θ＝1得ρ4－12ρ2＋8＝0，所以ρρ＝8，ρ1ρ2＝2，
所以|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝2.
4．解析：（1）依题意，得直线l1的直角坐标方程为y＝x，
直线l2的直角坐标方程为y＝x，
由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，
∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
∴曲线C的直角坐标方程为（x－）2＋（y－1）2＝4，
∴曲线C的参数方程为（α为参数）.
（2）联立方程，得得|OA|＝|ρ1|＝4，
同理，得|OB|＝|ρ2|＝2.
又∠AOB＝，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝×4×2×＝2，
故△AOB的面积为2.
5．解析：（1）由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）.
曲线M的普通方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，
所以M的极坐标方程为ρ2－2（cos θ＋sin θ）ρ＋1＝0.
（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），且ρ1，ρ2均为正数，
将θ＝α代入ρ2－2（cos θ＋sin θ）ρ＋1＝0，
得ρ2－2（cos α＋sin α）ρ＋1＝0，
当α∈时，Δ＝4sin 2α>0，
所以ρ1＋ρ2＝2（cos α＋sin α），
根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．
从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2（cos α＋sin α）＝2sin .
当α∈时，α＋∈，
故|OA|＋|OB|的取值范围是（2，2].
6．解析：（1）由，得
两式平方相减得y2－2x2＝4，即－＝1.
又y＝≥2（t>0），∴曲线C1的普通方程为－＝1（y≥2）.
曲线C2：ρsin （θ－）－2＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴y－x－4＝0，
∴曲线C2的直角坐标方程为x－y＋4＝0.
（2）设曲线C2的参数方程为（t′为参数）.
代入曲线C1的方程得－4＝8，即3t′2－20t′＋40＝0.
Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝，
∴＝＝＝＝＝＝，
∴－＝或－.

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