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【学生版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【5】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、已知，，用a、b表示__________．．
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
2、含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，则__________
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
3、不等式的解集为
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
4、若不等式在上有解，则a的取值范围是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
5、已知，化简_______
6、某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队而未参加合唱团的人数是________
7、已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为
8、已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________
9、已知，均为正数，且，的最小值为
10、函数的严格单调递减区间是
11、定义两个实数间的新运算“Δ”：（x，y∈R），对于任意的实数a，b，c，给出下列结论：（1）aΔb＝bΔa：（2）（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc）；（3）（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c）；（4）（a+b）Δc＝aΔc+bΔc，正确结论的序号是 ___
12、设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，，
使得，则称函数具有性质，那么下列函数：
①；②；③；
具有性质的函数的个数为 ．
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
14、某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
15、在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级（单位：与声强度
（单位：之间的关系为，其中基准值．若声强级为
时的声强度为，声强级为时的声强度为，则的值为（ ）
A．10 B．30 C．100 D．1000
16、设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
设集合，集合.
（1）若，求：；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知函数．
（1）判断在内的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
19、（本小题满分10分）
已知函数，，其中且，．
（1）求函数和的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数和的图象；
（3）设，写出不等式的解集．
20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分）
某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，
且，则称是上的“距增函数”．
（1）判断函数是否为上的“1距增函数”？说明理由；
（2）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；
（3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的“2021距增函数”，求的取值范围．
【教师版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【5】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、已知，，用a、b表示__________．．
【提示】注意：指数与对数的互化；
【答案】
【解析】因为，所以，
所以有换底公式得：
因为，而，所以，
所以，，故答案为：；
【说明】本题考查了对数的定义、指数与对数的互化与换底公式；
2、含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，则__________
【提示】注意：等价与集合元素的互异性；
【答案】
【解析】由题意，显然，故，即，此时，故或，即，又；（1）当时，两个集合分别为，不满足集合中元素的互异性，（2）当时，两个集合分别为，，成立故；所以.
故答案为：；
【说明】本题考查了集合相等与集合元素的互异性；
3、不等式的解集为
【提示】注意：不等式性质；
【答案】或；
【解析】由得，即，也即，解得或，所以原不等式的解集为或；
【说明】本题考查了依据不等式性质，利用等价解分式不等式；
4、若不等式在上有解，则a的取值范围是
【提示】注意：审题关键词“有解”；
【答案】
【解析】因为，所以不等式化为，又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是；
【说明】本题考查了等价转化与函数与方程思想；
5、已知，化简_______
【提示】注意：指数幂的运算法；
【答案】1
【解析】；故答案为：1.
【说明】本题考查了指数幂的运算法则即可计算；
6、某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队而未参加合唱团的人数是________
【提示】注意：分析与处理“数据”的方法；
【答案】25
【解析】设全年级所有人构成全集，参加合唱团的构成集合A，参加运动队的构成集合B，则可用Venn图表示出关系如下：
由题可知集合A中的元素个数为30，
因为参加合唱团而未参加运动队的有10人，
则可得出中元素个数为，
则可得参加运动队而未参加合唱团的构成的集合的元素个数为，
即参加运动队而未参加合唱团的人数为25.
故答案为：25.
【说明】利用Venn图可求出；
7、已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为
【提示】注意：利用待定系数法求幂函数解析式，结合单调性进行等价；
【答案】；
【解析】由题意可知，，解得，，故，易知，为偶函数且在上单调递减，又因为，所以，解得，或.故的取值范围为；
【说明】本题考查了求幂函数解析式的基本方法；亮点是结合函数奇偶性进行等价，以减
少量；
8、已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________
【提示】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案；
【答案】
【解析】由得，解得
由得，解得
因为“”是“”的必要非充分条件
所以，解得
故答案为：
【说明】解答本题关键是：利用解不等式进行化简，然后结合数轴进行判断；
9、已知，均为正数，且，的最小值为
【提示】注意：构建与基本不等式的联系；
【答案】；
【解析】因为，，均为正数，且，所以，，
则，
当且仅当即时取等号；
【说明】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10、函数的严格单调递减区间是
【提示】注意：将复合函数进行“分解”，再利用定义进行验证；
【答案】
【解析】令，令，解得，而的图象的对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，又递减 ，所以根据复合函数单调性原则得函数的单调递减区间是；
故答案为：。
【说明】解答本题关键是：先保证有意义，再分解成若干个初等函数；
11、定义两个实数间的新运算“Δ”：（x，y∈R），对于任意的实数a，b，c，给出下列结论：（1）aΔb＝bΔa：（2）（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc）；（3）（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c）；（4）（a+b）Δc＝aΔc+bΔc，正确结论的序号是 ___
【提示】理解新定义；
【答案】（1）（2）（3）；
【解析】由于，所以（1），正确；
（2），
,所以（2）正确；
（3），
，所以（3）正确；
（4），，
所以（4）错误．故答案为：（1）（2）（3）
【说明】本题考查了对新定义的理解、应用与等价转化；
12、设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，，
使得，则称函数具有性质，那么下列函数：
①；②；③；
具有性质的函数的个数为 ．
【提示】直接利用题中给出的函数具有性质的定义，对选项中的三个函数逐一分
析判断，是否存在两个不等实数，，使得，即可得到答
案；
【答案】2；
【解析】函数，
因为函数为奇函数，可找到关于原点对称的点，
比如，，则有，
故选项①具有性质；
函数，
假设存在两个不等实数，，使得，
即，解得，与假设矛盾，
故不存在，故选项②不具有性质；
函数，故函数为偶函数，且，
令，解得，
则存在，使得，
故选项③具有性质．
所以具有性质的函数的个数为2个．
故答案为：2；
【说明】本题考查了函数与方程的应用，涉及了新定义的理解，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【提示】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得在
上是增函数，再通过计算（1）、（2）的值，发现（1）（2），即可得到零
点所在区间；
【答案】A
【解析】因为，在上是增函数，
（1），（2），
所以，（2）（1），根据零点存在性定理，
可得函数的零点所在区间为；故选：A；
【说明】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识；
14、某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
【提示】注意：阅读理解；
【答案】C
【解析】设第n年获利y元，则，2019年即第1年，，，所以，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C
【说明】本题考查了函数关系式的建立与对数计算，以及实际问题对变量的限制；
15、在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级（单位：与声强度
（单位：之间的关系为，其中基准值．若声强级为
时的声强度为，声强级为时的声强度为，则的值为（ ）
A．10 B．30 C．100 D．1000
【提示】根据题意，得到且，然后利用对数的运算性质和运算法
则进行求解，即可得到答案；
【答案】D；
【解析】根据题意，声强级（单位：与声强度（单位：之间的关系为，
则有且，
故，
则，
所以．
故选：；
【说明】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了对数的运算，解题关键是利用
对数的运算法则和运算性质对等式进行变形；
16、设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【提示】理解：新定义；
【答案】D；
【解析】，与是的子集，，对子集分情况讨论：
当时，，，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当 时，，有种情况；
所以共有种，故选：D；
【说明】理解新定义，对于有限集枚举与检验有时也是有效的方法；
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
设集合，集合.
（1）若，求：；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
【提示】注意：数的集合与数轴结合，化抽象为具体；；
【答案】（1）或，（2）
【解析】（1）当时，，.则或，或；
（2）若“”是“”的必要条件，则B A ，因为，，
集合，
当时，即满足题意；
当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围是；
【说明】在进行集合关系的判断与集合运算时，注意考点“空集”；
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知函数．
（1）判断在内的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
【提示】（1）先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断，
（2）若为奇函数，则，代入可求，然后结合奇函数定义进行检验即可判断；
【解析】（1）在内的单调递增，证明如下：
设，
则，
所以，
所以在上单调递增，
（2）存在使得为奇函数，
若为奇函数，则，
故，此时，，
故为奇函数，此时．
【说明】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键；
19、（本小题满分10分）
已知函数，，其中且，．
（1）求函数和的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数和的图象；
（3）设，写出不等式的解集．
【提示】（1）对于，由可得的值，即可得、的解析式，即可得
答案；（2）由（1）的结论，作出函数的图象；（3）出的解析式，分析的单调性
以及，据此可得的解集，即可得答案；
【解析】（1）根据题意，，，则有，
则，，
（2）由（1）的结论：，
0 1 2
4 2 1
，
0 1 2 3
0 1
其图象如图：
（3），必有，
即的定义域为，，
在，上为减函数，在，为增函数，
则在，上为减函数，且，
若，必有，即不等式的解集为，．
【说明】本题考查函数的图象以及函数单调性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算；
20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分）
某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【提示】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），
根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，
当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案；
【解析】解：（1）因为，①当时，根据年利润销售收入成本，
所以，；
②当时，根据年利润销售收入成本，
所以，．
综合①②可得，．
（2）①当时，，
所以，当时，取得最大值万元；
②当时，，
当且仅当，即时，取得最大值万元．
综合①②，由于，
所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元
【说明】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力；
21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，
且，则称是上的“距增函数”．
（1）判断函数是否为上的“1距增函数”？说明理由；
（2）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；
（3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的“2021距增函数”，求的取值范围．
【提示】（1）要判断函数是否为上的“1距增函数”，只要任意，检验是否成立即可判断；
（2）结合已知函数及，即可求解；
（3）由已知结合函数是定义在上的奇函数，对进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求；
【解析】（1）函数是上的“1距增函数”，
任意，有，且，
所以，
因此是上的“1距增函数”．
（2）（答案不唯一，不小于4即可）
（3），因为为上的“2021距增函数”，
①当时，由定义恒成立，即恒成立，
由绝对值几何意义可得，
②当时，分两种情况：
当时，由定义恒成立
即恒成立，由绝对值几何意义可得，
当时，由定义恒成立
即恒成立
当时，显然成立
当时，可得
综上，的取值范围为；
【说明】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用；
【沪教版2020】 高一上（期末） 班级 姓名
高一数学试卷 第20页 共4页

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