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苏科版 七年级数学（上） 第6章 平面图形的认识（一）
专题一 直线、射线和线段
知识梳理
构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限。
在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，也为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究。
观察——操作——思考——交流——总结是学习平面图形性质的有效途径，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：
1．直线、射线、线段的区别与联系。
2．线段中点的概念。
3．枚举法、分类讨论法。
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成——《荀子·修身》
苏科版 初一数学（上）线段和角 培优专题讲义 1 / 3
典型例题
例 （线段中点问题）已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为_________________。
例 （距离最值问题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（　　）
A．可以是直线AD外的某一点 B．只有点B或点C
C．只是线段AD的中点 D．有无穷多个
例 （线段长度问题）如图，C是线段上的一点，D是BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长。
例 （线段长度问题）如图所示，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点。
（1）若线段AB＝，CE＝，＝0，求，；
（2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图②，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE的长。
例 （线段定值问题）已知线段AB＝，CD＝，线段CD在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若与互为相反数。
（1）求线段AB，CD的长；
（2）M，N分别是线段AC，BD的中点，若BC＝4，求MN；
（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：
①是定值；②是定值。可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值。
例 （线段和问题）如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm。
例 （直线交点问题）平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿。
例 （条件补充问题）如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，则只需条件（　　）
A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2
例 （新定义问题）【概念】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作。
【理解】
如点C是AB的中点时，即，则；反过来，当时，则有。因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义。
【应用】
（1）如图①，点C在线段AB上。若，则_____；若，则_______。
（2）已知线段AB=10cm，点P、Q分别从点A，B同时出发，相向运动，点P到达B点时，点P、Q都停止运动，设运动时间为t s。
① 若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示和，并判断它们的数量关系；
② 若点P和点Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，t为何值时，
【拓展】
（3）如图②，在三角形ABC中，AB=AC=6，BC=4，点P，Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动至点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B，且点P、Q同时到达点B，设。当Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示。
专题二 角
知识梳理
角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位。
解与角有关的问题常用到以下知识与方法：
1. 角的分类；
2. 角平分线的概念；
3. 互余、互补等数量关系角；
4. 用方程的观点来进行角的计算。
典型例题
例 （网格问题）如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则 .
例 （补角和余角）如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
例 （时钟问题）钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的值。
例 （作图设计问题）（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来。
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由。
例 （动角问题）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若，直接写出∠DOE的度数 （用含α的代数式表示）；
（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.
① 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
② 在∠AOC的内部有一条射线OF，满足，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由。
图 ① 图 ②
课后巩固练习
一、选择题
1、如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝，BC＝则AD＝（　　）
A． B． C． D．
第1题 第2题
2、如图，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（　　）
A． B． C． D．
3、如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数，，都不为0，且C是AB的中点．如果＝0，那么原点O的位置在（　　）
A．线段AC上 B．线段CA的延长线上
C．线段BC上 D．线段CB的延长线上
(
城市
)
第3题 第4题
4、如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A，B，C，D，E，F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（　　）
A．A处 B．C处 C．G处 D．E处
5、如图，若，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A. B. C. D.
第5题 第6题
6、如图是一个3×3的正方形，则图中的和等于（ ）
A. 270° B. 315° C. 360° D. 405°
二、填空题
7、如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿。
第7题 第9题 第10题
8、已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 。
9、如图，，若，则等于 。
10、如图，O是直线AB上一点，，，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角有___________对。
11、α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则 。
三、解答题
12、如图，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度数。
13、如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE. 求证：。
14、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？
15、电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点，且BP3＝BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P2001，请计算P0与P2001之间的距离。
16、设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的3倍．现甲自A地去B地，乙、丙则从B地去A地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达自己的目的地？
17、如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12。
（1）求点A，B对应的数；
（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，设运动时间（＞0）。
① 求点M，N对应的数（用含的式子表示）；
② 为何值时，OM＝2BN？
18、将一副三角板当中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠COD的度数。
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍。如果存在，请求出∠AOD的度数；如果不存在，请说明理由。

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