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压轴题系列一
——线段动点问题
1、如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【解答】解∶（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
.AP=2MP,BP=2PN, "·MP=4cm, .AP=8cm, '∵P为.AB的中点，
.AB=2AP=16cm,
故答案为16;
（2）∵∶点M、N分别是线段AP、PB的中点，
.AP=2MP,BP=2PN,
..AP+BP=2MP+2PN=2MN, 即AB=2AN，'·AB=12cm, ,MN=6cm;
（3）同意.
理由∶当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
.AP=2MP,BP=2PN,
AP-BP=2MP-2PN=2MN, 即AB=2AN，'·AB=12cm, ,MN=6cm;
当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
..AP=2MP,BP=2PN, ·BP-AP=2PN-2MP=2MN, 即AB=2AN，'·AB=12cm, .MN=6cm.
2、如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．
（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
【分析】（1）根据线段中点的性质得出MC和CN的长度，相加即可得出答案;
（2）根据线段中点的性质得出MC=AC 和CN=CB，相加即可得出答案;
（3）分两种情况进行讨论∶①当点C在线段AB的延长线上时②当点C在线段BA延长线上时，再结合线段中点的性质计算即可得出答案，
【详解】解∶（1）∵AC=7cm，M为AC的中点
MC=AC =.BC=5cm， N为BC的中点
.MN= MC+CN=6cm
（2）∵M为AC的中点
∴MC=AC
∵N为BC的中点
∴CN=CB.∴MN= MC+CN=AB=a,
（2）中的结论依然成立，理由如下∶
①当点C在线段AB的延长线上时∶
∵M为AC的中点
∴MC=AC。∵N为BC的中点
∴CN=CB，∴MN= MC-CN=AB=a,
②当点C在线段BA延长线上时∶
∵M为AC的中点
∴MC=AC。∵N为BC的中点
∴CN=CB，∴MN= CN-MC=AB=a,
综上所述，（2）中的结论仍然成立.
【点睛】本题主要考查及线段的计算，正确理解线段中点的定义是解题的关键.
3、（2021·河南七年级期中）
如图，已知在纸面上有一条数轴．
操作一：
折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合．
操作二：
折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示______的点重合；
②若数轴上，两点的距离为6（在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为______，点表示的数为______．
解∶操作一∶表示1的点与表示-1的点重合，即对折点所表示的数为=0,
设这个数为a，则有0-（-5）=a-0，解得，a =5, 故答案为∶5;
操作二∶表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为=2,
①设b与-2表示的点重合，则有=2，解得，b=6，故答案为∶6;
②设A点、B点所表示的数为x、y，则有，y-x=7,=2
解得，x= -1.5，y=5.5，
故答案为∶-1.5，5.5.
4、（2021-2022郑州期中）（11分）根据给出的数轴，解答下面的问题∶
（1）请你根据图中 A.B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数;A:_ _B:_
观察数轴，与点 A 的距离为4的点表示的数是∶
（3）若将数轴折叠，使得 A 点与一2 表示的点重合，则 B 点与数 重合;
（4）若数轴上 M，N两点之间的距离为2019（M在N 的左侧），且M，N 两点经过（3）中折叠后互相重合，则 M，N 两点表示的数分别是∶M： N：
《庄子·天下篇》中写道∶"一尺之棰，日取其半，万世不竭."意思是∶一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图∶
解：
（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；
（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．故答案为：﹣3或5；
（3）当A点与﹣2表示的点重合，则B点与数1.5表示的点重合．故答案为1.5；
（4）由对称点为1，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧）可知，M点表示数﹣1010.5，N点表示数1008.5．故答案为：﹣1010.5，1008.5
分析：由图可知第一次剩下，截取 1﹣；第二次剩下，共截取1﹣；…由此得出第n次剩下，共截取1﹣=，所以=．
故答案是．
考点：图形的变化规律．
5．如图，已知是数轴上的三点，点表示的数是6，．
（1）写出数轴上点，点表示的数；
（2）点为线段的中点，，求的长；
（3）动点分别从同时出发，点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，原点恰好为线段的中点．
【分听】（1）根据点C表示的数和B.C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据AB之间的距离即可求出A表示的数;
（2）根据M是AB的中点，求出BM的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，BN=BC-CN，当N在C右侧时，BN=BC+CN，最后利用MN=BM+BN即可得出答案;
（3）原点O为PQ的中点时，OP=OQ，分别用含t的代数式表示出OP，OQ，然后建立方程，解方程即可求出t的值.
【详解】'∵'点C表示的数是6，BC=4
∴点B表示的数为6-4=2
∵AB=12
∴点A表示的数为2-12=-10 ..A表示的数是-10，B表示的数是2 .
（2）∵AB=12， M是AB的中点. .AM=BM==3
当点N在点C的左侧时，BN=BC-CN=1，此时MN=BM+BN=6+1=7
当点N在点C的右侧时，BN=BC+CN=7，此时MN=BM+BN=6+9=13
综上所述，MN的值为7或13
（3）∵A表示的数是-10，即OA=10， C表示的数是6，即OC=6
又∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t .AP=6t , CQ=3t,
.OP=OA-AP=10-6t, OQ=OC-CQ=6-3t 当原点O为PQ的中点时 ， OP=OQ ..10-6t=6-3t. ‘解得t=
∴当t=时，原点O为PQ的中点.
【点睛】 本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并
分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键.
6、已知线段，点C在线段上，且．
（1）求线段，的长；
（2）点P是线段上的动点，线段的中点为M，设．
①请用含有m的代数式表示线段，的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
【答案】解：
AB=AC+CB.∴AC=15× =9cm,CB=6cm
(2)①当点 P在点c左端时，
PC= AC-AP=(9-m)cm.
MC =MP+PC=AP+PC=m+（9-m）=(9-m).
当点 P在点C右端时，
PC= AP-AC=(m-9)cm.
MC=MP-PC=m-（m-9）=(9-m)cm
②由题可知∶分三种情况
（1）M是PC的中点、，不可能.
（2）P是MC的中点，此时，P布C的左端 MP=PC. MP=AP=m ∴m=9-m, m=6 3)C是MP的中点，MC=CP.此时，P在C的右端、
由①知∶9-m= m-9 ∴m=12 综上∶m=6或 m= 12.
解题思路∶注意分情况讨记.
7、如图①，已知线段在线段上运动，
线段，，点、分别是、的中点．
（1）若，求的长．
（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由；
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，、分别平分和，则、和有何关系，请直接写出　　．
解∶（1）∵AB=10 cm，CD=2 cm，AC=3 cm，.DB=5 cm，
∵E，F分别是AC，BD的中点，CE =AC=1.5cm,DF =DB=2.5 cm,
∴EF=1.5+2+2.5=6 cm.
EF的长度不变.∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC=AC，DF=DB
EF=EC+CD+ DF=AC +CD+DB=(AB-CD)+CD,
∵AB=10 cm,CD=2 cm,∴EF=6 cm.
∠EOF=（∠AOB+∠COD）.
理由∶∵ OE，OF分别平分∠AOC 和∠BOD,
∴∠COE =∠A0C,∠DOF= ∠BOD
∠EOF=∠COE+∠LCOD+∠DOF=∠AOC+∠COD+∠BOD =（∠AOC+∠BOD）+∠COD=（∠AOB-∠COD)+ ∠COD=（∠AOB+∠COD）
8、已知直线上有 A，B 两点，AB＝24．动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的 速度沿直线向左匀速运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿直线向右匀速 运动，设点 P 运动时间为 t（t＞0，单位 s）．当 A、P、Q 三个点中恰有一点到另外两点的距离相等时，求 t 的值．
解：当 P是QA的中点时，24-2t=2×3t，解得t=3;
当P、Q重合时，24-2t=3t，解得t=
当Q是PA的中点时，3t=2(24-2t）），解得t=：
当Q、A重合时，2t=24，解得t=12;
当t>12时，AQ=2t-24，AP=3t，显然AQ≠AP.
综上，t的值为3或或或12.
9、如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A，C，D，B起始位置所表示的数分别为-2，0，3，12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为1秒.
(1)当=0秒时，AC的长为________，当=2秒时，AC的长为________；
(2)用含有的代数式表示AC的线段长为________；
(3)当=__________秒时，AC-BD=5；当=___________秒时AC+BD=15；
(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位长度，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD，若存在，请直接求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2，4;（2）t+2;（3）6，11;
20 （4）16秒和
3 【解析】【分析】
（1）依据A、C两点间的距离=|a-b|求解即可;（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数;根据A、C两点间的距离=|a-b|求解即可.
（3）1秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点A、点D 表示的数;根据两点间的距离=|a-b|表示出AC、BD.根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元次方程，分别解方程即可得出结论;
（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC=2BD 即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论.
【详解】解∶（1）当t=0秒时，AC=2-0|=I-2I=2;
当t=2秒时，移动后C表示的数为2，.'.AC=|I-2-2|=4.
故答案为∶2;4.
（2）点A表示的数为-2，点C表示的数为t;.AC=|-2-t|=t+2. 故答案为t+2.
（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D 运动的距离为t个单位长度. ..C表示的数是t，D表示的数是3+t，..AC=t+2,BD=|12-(t+3)I,
∵AC-BD=5, ..t+2-|12-(t+3)I=5, 即t+2-|9-t|=5，
当t ≤9时，t+2-（9-t）=5，解得∶t =6;
当t>9时，t+2+（9-t）=5，此时无解;.'.t=6.
∴当t=6秒时AC-BD=5;
∵AC+BD=15, ∴t+2+|12-(t+3)I=15, 即t+2+|9-t|=15
当t≤9时，t+2+（9-t）=15，此时无解;当t>9时，t+2-（9-t）=15，解得t=11;
当t=11秒时AC+BD=15，
故答案为6，11;
假设能相等，则点A表示的数为2t-2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，.
∴AC=|2t-2-t|=|t-2|,BD=|t+3-12|=|t-9|,
∵AC=2BD, ..|t-2|=2|t-9], ∴|t-2|=|2t-18|
解得∶t1=16，t2=
故在运动的过程中使得AC=2BD，此时运动的时
间为16秒和秒
【点睛】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键
10、如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）线段BA的长度为 ；
（2）当t=3时，点P所表示的数是 ；
（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；
（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．
10.【答案】（1）5;（2）6;（3）当0sts5时，动点P所表示的数是2t，当5≤ts10时，动点P所表示的数是20-2t;（4）QB的长度发生变化，当0≤t≤15时，QB=5-t，当5≤t≤10时，QB=5-(20-5t)=t-5.
【解析】解∶（1）∵B是线段OA的中点，..BA=0A=5;故答案为∶5;
当t=3时，点P所表示的数是2×3=6，故答案为∶6;
见答案;（4）见答案.
【分析】（1）根据B是线段OA的中点，即可得到结论;
根据已知条件即可得到结论;
当0≤t≤5时，当5≤t10时，即可得到结论;
（4）当0≤ts5时，当5≤t≤10时，根据线段的和差即可得到结论.此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P 点位置的不同得出等式方程求出是解题关键.
11、如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
11.解析∶（1）∵AB=12，AC=4，∴BC=8。
∴D，E分别是AC和BC的中点，∴.DC=2,CE=4,
∴DE=DC+CE=6，即DE的长是6。
(2)∵AB=12,BC=m。∴AC=12-m。
∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC=6-m,CE=m
∴DE=DC+CE=6，即DE的长是6。
由题意得AP=3t，BQ=6t，∴..AP＋PQ＋BQ=12或AP+BQ-PQ=12,
∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12，
∴t=或t =2，
∴当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6。
12、（2019郑州）(10分)如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|2a+4|+|b-6|=0
(1)求A,B两点之间的距离;
(2)若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一个挡板,一个小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动：
设运动的时间为(秒)
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间。
解∶（1）因为|2a＋4|＋|b一6|=0，所以2a+4=0，b-6=0.所以a =—2，b=6.所以 AB=|b-a|=8.
设数轴上点C表示的数为c.因为AC=2BC，
所以|c-a|=2|c一b|，即|c+2|=2|c-6!.因为 AC=2BC>BC，所以点 C不可能在 BA 的延长线上，则C点可能在线段AB 上或线段 AB 的延长线上.
①当C点在线段 AB 上时，则有一2②当C点在线段AB 的延长线上时，则有c>6，得c+2=2（c一6），解得c=14，故
当AC=2BC时，c=或 c=14.
①因为甲球运动的路程为1×=t，OA=2，所以甲球与原点的距离为t+2.乙球到原点的距离分两种情况∶
（Ⅰ）当0≤t≤3时，乙球从点 B 处开始向左运动，一直到原点O，因为OB=6，乙球运动的路程为2×t=2t，所以乙球到原点的距离为6-2t.
（Ⅱ）当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为 2t一6;
②当0当t>3时，得t+2=2t-6，解得t=8.故当t=或8时，甲、乙两小球到原点的距离相等.
13、（2020郑州）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为一2、4，若点M从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 N从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点 M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为12 个单位长度。
解析
本题主要考查数轴的基本概念和一元一次方程的应用。
根据N点沿数轴移动的方向不同，分两种情况讨论∶
①当N点沿数轴向左移动，则点M表示的数为（-2＋5t），点N表示的数为（4-4t），由MN=12得∶
|(-2＋5t)-(4-4t)|=12, 解得∶t= 2，或t = -3（舍去）。
②当N点沿数轴向右移动，则点M表示的数为（-2＋5t），点N表示的数为（4＋4t），由MN=12得∶
|(-2＋5t)-(4+4b)|=12, 解得∶t=18，或t=-6（舍去）。
故本题正确答案为2或18。
14、已知数轴上两点，对应的数分别为，8.
（1）如图1，如果点和点分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒6个单位.
①，两点之间的距离为__________.
②当，两点相遇时，点在数轴上对应的数是____________.
③求点出发多少秒后，与点之间相距4个单位长度？
（2）如图2，如果点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点、分别是线段、的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值.如果变化，请说明理由：如果不变，请直接写出线段的长度.
【答案】（1）①.A.B 两点之间的距离为12，②当P，Q 两点相遇时，点P在数轴上对应的数是-10，③2秒;（2）不变，MN=6
【分析】 （1）①根据两点间的距离公式即可求解;
②根据相遇时间=路程差÷速度差先求出时间，再根据路程=速度x时间求解即可;③分两种情况∶P，Q两点相遇前;P，Q两点相遇后;进行讨论即可求解;（2）由线段中点的性质可求MN的值不变.
【详解】（1）①A，B两点之间的距离为8-（-4）=12.
②12÷（6-2）=3（秒），-4-2×3=-10.
故当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是-10.
③P，Q两点相遇前，（12-4）÷（6-2）=2（秒），
P，Q两点相遇后，
（12+4）÷（6-2）=4（秒）.
故求点P出发2或4秒后，与点Q之间相距4个单位长度;
（2）线段MN的长度不会变化，∵'点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴PM=PA，PN=PB
MN=PM+PN=(PA+PB)=AB=6
【点睛】 本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值.
15．（2021·广东广州市·铁一中学七年级期中）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题：
（1）请直接写出、、的值，__________，__________，__________．
（2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．
（3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
【考点】数轴;非负数的性质∶绝对值;非负数的性质∶偶次方;一元一次方程的应用.
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个
非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值;
（2）根据x的范围，确定 x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简;
（3）先求出BC=3+4，AB=3+2，从而得出BC-AB=2.
【解答】解∶（1）'·b是最小的正整数，·。b=1.
根据题意得∶c-5=0且a+b=0，.a=- 1,b=1,c=5. 故答案是∶-1;1;5;
（2）当0≤x≤1时，x+1>0，x-1≤0，x+5>0，则∶|be+1 -|x-1|+2|x+5|=x+1- (1-x)+2(x+5)
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10;
当10，x-1>0，x+5>0.
∴|x+l| -|x-1|+2|x+5|=x+1-(x-1)+2(x+5)
=x+1- x+1+2x+10 =20+12;
（3）不变.理由如下∶
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5. ∴BC=(5t+5)-(2t+1)=3+4,AB=(2t+1)-(-1-t)=3+2, .BC-AB= (3+4)-(3+2)=2, 即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变.
（另解）"点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，
..4、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度;
"∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，·.B、C'之间的距离每秒钟增加 3个单位长度. 又∵BC-AB=2，
∴BC-AB的值不随着时问t的变化改变.
【点评】木题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把"数"和"形"结合起来，二者互相补允，相辅相成，把很多复杂的问题转化简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.
16．如图，点 A在数轴上表示的数是-6，点 B在数轴上表示的数是12
（1）线段AB的长为_______；线段AB的中点表示的数是______
（2）点C是数轴上的一个动点，当 AC-3BC=6 时，点 C表示的数是多少？
（1）18，3;（2）8或18
【解析】【分析】
（1）由数轴两点距离求法AB=12-（-6））=18;设线段AB的中点为E，由线段中点得AE=BE=AB=9，由距离求法OE=OB-EB=3;
（2）根据点C的位置进行分类考虑①当点C在 A B之间时，②当点C在点B右侧时，设设点C表示的数为x，③当点C在点A左侧时，根据 AC-3B C=6 列方程解之即可. 【详解】
（1）点A在数轴上表示的数是-6，点 B在数轴上表示的数是12，
AB=12-(-6)=12+6=18, 设线段AB的中点为E，则AE=BE，AB=9，
OE=OB-EB=12-9=3,
线段 AB的中点表示的数是3.
①当点C在AB之间时，设点C表示的数为x，则AC=x+6，BC=12-x，
∵AC-3BC=6,
x+6-3 (12-x) =6, 解答x=8，
点C表示的数为 8，
②当点C在点B右侧时，设设点C表示的数为x，则AC=x+6，BC=x-12，∵AC-3BC=6, x+6-3(x-12) =6, 解答x=18，
点 C 表示的数为 18，
③当点C在点A左侧时，AC当AC-3BC=6 时，点C表示的数是8或18.
【点睛】
本题考查数轴两点间距离，线段中点，利用线段和差列简单方程，会解方程，会根据点的位置分类讨论是解题关键。
17．如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a=　 　，b=　 　．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
18、如图,在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足。
(1)求A，B两点之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动
设运动的时间为t(秒)
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示)；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间。
解析：（1）8;（2）①C在A的左边时，不符题意;②C在AB之间
时，设C点表示的数为x，AC=x—（一2）=x十2;BC=6一x，
由已知x十2=2（6—x）解得∶x=；
③C在B点右边时，
设C点表示的数为x，AC= x—（—2）=x十2;BC=x一6，由
已知 x十2=2（x—6）解得∶x=14 综合得知;C点表示的数为
或14
①甲离原点的距离∶t+2;乙离原点的距离∶6—2t（03）;②当0当t>3时;t＋2=2t—6得t=8，综上得知∶所需时间为秒或8秒
19．已知：数轴上点A、B、C分别对应数a、b、c，其中，b是最小的正整数，且满足（a+b+2）2+|c﹣4|＝0．
（1）请求出a、b、c的值，并在数轴上分别标出点A、B、C；
（2）若点P为此数轴上的一个动点，其对应的数为x，且点M为PC的中点．
①当AP＝BP时，求线段PM的长；
②当AP＝3BP时，求线段PM的长．
【答案】（1）a=-3，b=1，c=4；在数轴上分别标出点A、B、C；（2）①线段PM的长为2.5；②线段PM的长为2或0.5．
20．（12分）阅读理解，完成下列各题
综合题
定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2 倍，则称点C 是[B，A]的2 倍点．例如：如图1，点C 是[A，B]的2 倍点，点D 不是[A，B]的2 倍点，但点D 是[B，A]的2 倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1 中，点A 是　 　的2倍点，点B是　 　的2 倍点；（选用A、B、C、D 表示，不能添加其他字母）；
（2）如图2，M、N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点E是[M，N]的2倍点，则点E 表示的数是　 　；
（3）若P、Q 为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ=m，一动点H从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P和Q两点的2倍点？（用含m 的代数式表示）
　
【解答】解：（1）∵CA=2，DA=1，CA=2DA
∴点A 是[C，D]的2倍点
∵BD=2，BC=1，BD=2BC
∴点B是[D，C]的2倍点．
故答案为：[C，D][D，C]
（2）∵NM=4﹣（﹣2）=6
又∵点E是[M，N]的2倍点
∴EM=MN=4
∴点E 表示的数是2
故答案为：2；
（3 ）∵PQ=4，PH=2t
∴HQ=m﹣2t
又∵点H 恰好是P和Q两点的2倍点
∴点H是[P，Q]的2倍点或点H是[Q，P]的2倍点
∴PH=2HQ 或HQ=2PH
即：2t=2（m﹣2t）或 2×2t=m﹣2t
解得 t=m或 t=m
所以，当t=m或t=m时点H 恰好是P和Q两点的2倍点．
21、（本题12分）如图，在数轴上点A表示的数为一30，点B表示的数为80.动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点 B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发
（1）三个动点运动7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为__（2）当点D与点E距离为 44个单位时，求此时点C在数轴上所表示的数（3）若点E回到点B时，三点停止运动，当三个动点运动过程中
① 是否存在某一时刻，点D在点C和点E之间，且与点C和点E的距离相等 若存在，请求出时间;若不存在，请说明理由
②是否存在某一时刻，这三点中是否还有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等 若存在，请直接写出时间;若不存在，请说明理由
解∶（1）点C表示的数为∶-30＋6×7= 12,
点D表示的数为∶4×7= 28，点E表示的数为∶80-8×7=24，故答案为∶12，28，24;
（2）设运动时间为t秒，根据题意，得C∶-30＋6t，D∶4t，E∶80-8t或8t-80,
所以DE=|80-12t|或 |4t-80| |80-12t|=44，解得t=3，或>10（舍去），
|4t-80|=44，解得t=31，或t=9（不符合题意，舍去）.
.点C表示的数为6×3-30=-12或6×31-30=156.
答∶点C在数轴上所表示的数是-12或156。
（3） ①存在，时间是5秒或秒.理由如下∶
设运动时间为t秒，根据题意，得4t＋30-6t=80-8t-4t，解得t=.
或4t-8t＋80=-30＋6t-4t，解得t=
答∶存在.时间为 5秒或秒
②存在，时间为秒或秒。理由如下∶
设运动时间为t秒，根据题意，得
当点E在 CD中点时，
6t-30-（80-8t）=80-8t-4t，解得
t=
6t-30-（8t-80）=8t-80-4t，解得
t=.
当点C在 ED中点时，
6t-30-（80-8t）=4t-（6t-30），解
得t=
答∶存在，时间为秒或秒或秒.
（1）根据动点在数轴上的运动，已知速度即可求得结果;
（2）根据题意列出一元一次方程即可求解;（3）根据题意动点在数轴上的运动列出一元一次方程即可求得结果.
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离，解决本题的关键是根据点在数轴上的运动规律列方程.
22、如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）
（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；
（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？
（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【解答】.(1)设点A 的速度为x 单位长度/秒.
根据题意,得4(x+3x)=16,x=1,3x=3.
故点A 的速度为 1 单 位 长 度/秒,点 B 的
速度为3单位长度/秒.图略.
(2)设y 秒 后 原 点 恰 好 在 点A、点 B 的 正
中间.
根据题意,得
(12-3y)+(-4-y)=0.解得y=2,
故2秒后原点在点A 与点B 正中间.
(3)设点B 在z 秒后追上点A.
根据题意,得3z-z=12+4,z=8.
10×8=80(单位长度).
故行驶的路程是80个单位长度.
23．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．
（1）若AP＝8厘米．
①运动1秒后，求CD的长；
②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是　9或11　厘米．
【解题思路】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；
（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【解答过程】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm），
∵AP＝8cm，AB＝12cm，
∴PB＝AB﹣AP＝4（cm），
∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm），
②∵AP＝8，AB＝12，
∴BP＝4，AC＝8﹣2t，
∴DP＝4﹣3t，
∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，
∴AC＝2CD；
（2）当t＝2时，
CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm），
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1cm，
∴CB＝CD+DB＝7（cm），
∴AC＝AB﹣CB＝5（cm），
∴AP＝AC+CP＝9（cm），
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD＝AB﹣DB＝6（cm），
∴AP＝AD+CD+CP＝11（cm），
综上所述，AP＝9或11，
故答案为：9或11．
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北师版七年级上册 期末压轴题系列
线段中的动点问题
不管是在期中考试也好，还是在期末考试中，线段上的动点一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考察样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。其实我们线段动点问题也是有四大类型题目，我们只要把这些题目掌握，做压轴大题也能拿分。
一、 双基目标
掌握“线段中的动点问题”四种类型解题方法：
①与中点相关类型；
②线段中的和差倍分类型；
③“追及、相遇”类型；
④追及、相遇与折返综合类型.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
温故知新
如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC、BC、AB的中点.
（1）若AB=10 cm，则MN= cm;
解∶（1）因为M、N分别是AC、BC的中点，
所以
所以MN=MC十CN=(AC+ BC)=5(cm).
故填 5.
解（2）因为 AC=3 cm，CP=1cm，所以 AP=AC十CP=4 cm，
因为P是线段AB的中点，所以 AB=2AP=8 cm，所以 CB=AB一AC=5 cm，
因为N是线段CB的中点，所以
所以 PN=CN-CP=1.5(cm)
（2）若AC=3cm，CP=1 cm，求线段PN的长。
如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
例1
典例精讲
解：（1）∵M是线段AP的中点，MP=4cm，
∴AP=2MP=2×4=8（cm），
又∵点P是线段AB的中点，
∴AB=2AP=2×8=16（cm）．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
解：（2）∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，
∴
∴
∵AB=12cm，
∴MN=12÷2=6（cm）．
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由以上猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，
线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
解：（3）同意。①当P点在线段AB延长线上时，
∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，
∴
∴
∵AB=12cm，
∴MN=12÷2=6（cm）．②当点P在线段BA延长线时，与此类似。
中点模型
如图，已知直线AB.点P是直线AB上任意一点，点M是AP的中点，
点N是BP的中点,则
如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
例2
典例精讲
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
解：（1）-2+4=2．
故点B所对应的数；
解：（2）（-2+6）÷2=2（秒），
4+（2+2）×2=12（个单位长度）．
故A，B两点间距离是12个单位长度．
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
解：（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x=12-4， 解得x=4；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x=12+4，
解得x=8．
故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
2．如图①，已知线段AB=12，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC=4，则DE的长为_____________；
（2）若BC=m，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
跟踪练习
解：（1）∵AB=12，AC=4，
∴BC=8.
∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=2,CE=4,
DE=DC+CE=6，即 DE的长是6.
（1）若AC=4，则DE的长为_____________；
解：(2)∵AB=12,BC=m, ∴AC=12-m.
∵点D，E分别是AC和BC的中点，
DE=DC+CE=6，即DE的长是6.
（2）若BC=m，求DE的长；
解：（3）由题意得AP=3t，BQ=6t，
∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12，
3t+6+6t=12或3t+6t-6=12，
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度
的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，
设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
间隔距离模型一
相遇前
相遇后
（总路程-间隔距离）÷速度和=间隔时间
（总路程+间隔距离）÷速度和=间隔时间
线段中“能追上小明吗？”
已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。
⑴ AB中点M对应的数；
⑵ 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只
电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数
例3
典例精讲
解：（1）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，
∴ =60；则AB中点M对应的数是100-60=40；故答案为：40．
⑴ AB中点M对应的数；
⑵ 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
解：(2)①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，∴AB=100+20=120，设t秒后P、Q相遇，∵电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，∴6t+4t=120，解得t=12秒；答：PQ经过12秒以后相遇；
相遇模型
两运动物体路程（同时）和÷速度和=（共同的）运动时间
解：②∵由①可知，经过12秒P、Q相遇，
∴此时点P走过的路程=6×12=72单位，
∴此时C点表示的数为100-72=28．
答：C点对应的数是28．
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。
解：（3）设两只蚂蚁经x秒相遇。得：6x-4x=120，x=60，
-20-4×60=-260，则D点对应的数是-260.
追及模型
两运动物体距离差÷速度差=（共同的）运动时间
已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　 　；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
例4
典例精讲
解∶（1）（6-4）÷2=1.
故点P在数轴上表示的数是1;
故答案为∶1;
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC=6x BC=4x，AB=10，
∵AC-BC=AB,
∴6x-4x=10, 解得x=5，
∴点P运动5秒时，追上点R;
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　 　；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？
若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
（3）线段 MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况∶
①当点P在A、B之间运动时（如图①）∶
MN=MP+PN=AP+PB=（AP+PB）=AB=5.
②当点P运动到点 B左侧时（如图②）
解题过程略。【答案】MN=5
如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别是-20、0、40，甲、乙两个电动蚂蚁分别在A、C两处同时出发，运动速度分别是6个单位/秒和4个单位/秒.
（1）若甲、乙相向而行，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数；
（2）在（1）的条件下，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，甲立刻掉头往回走，当甲、乙相遇时即停止运动，求出相遇时甲所在位置表示的数.
跟踪练习
解∶ ①当甲、乙相遇之前，设出发x秒两只电动蚂蚁相距10个单位。
6x＋4x=40-(-20)-10 解得x=5
此时甲所在位置表示的数为一20＋ 5×6=10.
②当甲、乙相遇之后，设出发y秒之后两只电动蚂蚁相距10个单位。
6y +4y =40-(-20)+ 10 解得y =7
此时甲所在位置表示的数为一20+7×6= 22
综上所述，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数为10或22。
（2）解∶∵乙的速度<甲的速度，
乙追不上甲，即在（1）的条件下，只有"甲、乙相遇之后"满足情况，
此时乙所在位置表示的数是40-7×4=12，
设经过z秒甲、乙相遇，6z-4z=22-12 解得 z =5 22-5×6= -8
故相遇时甲所在位置表示的数为-8
（2）在（1）的条件下，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，甲立刻掉头往回走
，当甲、乙相遇时即停止运动，求出相遇时甲所在位置表示的数.
如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
例5
典例精讲
解：（1）一4；6-6t
（2）①设点 P运动t秒时追上点Q，根据题意，得6t=10十4t，解得 t=5.
答∶当点 P运动5秒时，点 P与点Q相遇.
②设当点 P运动t秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当点 P不超过点Q时，则10十4t一6t=8，解得t=1;当点P超过点Q时，则10十4t+8=6t，解得 t=9.
答∶当点 P运动1或9秒时，点 P与点Q间的距离为8个单位长度。
追上前
追上后
（初始距离-间隔距离）÷速度差=间隔时间
（初始距离+间隔距离）÷速度差=间隔时间
间隔距离模型二
1、（2018郑州）乐乐家距离学校2800米，一天早晨，他以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的妈妈发现他忘了带数学书，妈妈立即以180米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他．
(1)妈妈追上乐乐用了多长时间？
(2)放学后乐乐仍以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学英树以280米/分的速度从学校出发骑自行车回家，乐乐家和英树家是邻居(两家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出)，请问英树出发多长时间，两人相距300米？
跟踪练习
解∶（1）设妈妈追上乐乐用了x分钟，根据题意，得180x=80x+80×5，解得x=4. 答∶妈妈追上乐乐用了4分钟.
（2）设英树出发y分钟，两人相距300米.根据题意，得
①英树在乐乐后面相距300米，则280y=80y+80×10-300，解得y=2.5;
②英树在乐乐前面相距300米，则280y=80y+80×10+300，解得y=5.5;
或80（y+10）=2800-300，解得y=21.25.
答∶英树出发2.5分或5.5分或21.25分钟，两人相距300米.
2、（2021郑州）寒风凛凛、爱心涌动，临近传统佳节，我市某学校部分师生冒着严寒为50km外的夕阳红敬老院送去过节物资，并为老人们表演节目．学校司机小李开车以60km/h的速度带着师生和物资从学校出发，同时志愿者小王开车以90km/h的速度从敬老院出发，前去迎接小李车上的部分学生到敬老院给老人们表演节目，小王接到学生以后立刻返回敬老院（学生下车和上车的时间不计），学校司机小李开车行驶多长时间时两车相距5km？写出答案，并说明理由．
跟踪练习
解：①在两车相遇之前，设从出发到两车相距 5km时的时间为 t h，
由题可知∶60t+90t+5=50.
解得 t=
②设当两车相遇时所需时间为x h，由题可知 60x+90x=50.
解得X= ；
设当两车相遇之后到两车相距 5km 时所需时间为yh 由题可知∶90y- 60y=5.
解得：y=
所以此时学校司机小李开车行驶的时间为 =
如图，在数轴上，点A、B分别表示点﹣5、3，M、N两点分别从A、B同时出发以3cm/s、1cm/s的速度沿数轴向右运动．
（1）求线段AB的长；
（2）求当点M、N重合时，它们运动的时间；
（3）M、N在运动的过程中是否存在某一时刻，使BM=2BN．若存在请求出它们运动的时间，若不存在请说明理由．
例6
典例精讲
解∶（1）AB=l3-（-5）|=8;
（1）求线段AB的长；
（2）设它们运动的时间为t，根据题意得，3t-t=8，解得∶t=4，
当点M、N重合时，它们运动的时间是4s;
（2）求当点M、N重合时，它们运动的时间；
解：（3）存在，
设它们运动的时间是x s，
根据题意得，8-3x=x-3或3x-8=x-3，
（3）M、N在运动的过程中是否存在某一时刻，使BM=2BN．
若存在请求出它们运动的时间，若不存在请说明理由．
跟踪练习
如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝ AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．
（1）求线段ED的长；
（2）当MN＝ CD时，请直接写出t的值．
解∶(1)∵ AB =30，AD=2BD
又 AD十 BD=AB
即 3BD=30
∴BD=10，AD=20
（1）求线段ED的长；
解：
①当t<15时，即M还未到B点
MN= 30-（2+t）=|2，t=6s ;
②t≥I5s时，即M从B反向运动
MN=I0t-2(t-15）=12，t=18s
∴综上t=6或 18s (注意分类讨论）
（2）当MN＝ CD时，请直接写出t的值．
如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）
（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；
解：（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒3t个单位长度．
依题意有：4t+4×3t=16，
解得：t=1，
故点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，
则A到达的位置为：-4，B到达的位置是12，在数轴上的位置如图：
答：点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度；
例7
典例精讲
（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？
解：（2）设y秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：
4+y=12-3y
解得：y=2，
答：2秒时，原点恰好处在AB的中点；
（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，
另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，
遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，
问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，
行驶的路程是多少个单位长度？
解：（3）设当C运动z秒后，C为AB的中点，
由题意可得：4+z+z=（16-3z+z），
解得：z=，
答：当点C运动 秒时，C为AB的中点．
如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a=　 　，b=　 　．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
例8
典例精讲
【解析】（1）AB=12，AO=2OB，AO=8，OB=4，A点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4 ·.a=-8,b=4.
故答案为∶∶ a=-8; b=4;
（2）①当0∵2OP-OQ=4,∴2(8-2t)-(4+t)=4,t=1.6;
②当点P与点Q重合时，如图4，2t=12+t，t=12
③当4则2（2t-8）-（4+t）=4，t=8.
综上所述:当t为1.6秒或8秒时，2OP-OQ=4;
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M
追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，
以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，
求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
解：②当点P到达点O时 8÷2=4，此时OQ=4+t=8 即点Q 所表示的实数为8
如图6 设点M运动的时间为t秒 由题意得;2t-t-8 t-8 此时 点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16 .点M行驶的总路程为∶3×8=24.中小学教育资源及组卷应用平台
压轴题系列一
——线段动点问题
1、如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
2、如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．
（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
3、（2021·河南七年级期中）
如图，已知在纸面上有一条数轴．
操作一：
折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合．
操作二：
折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示______的点重合；
②若数轴上，两点的距离为6（在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为______，点表示的数为______．
4、（2021-2022郑州期中）（11分）根据给出的数轴，解答下面的问题∶
（1）请你根据图中 A.B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数;A:_ _B:_
观察数轴，与点 A 的距离为4的点表示的数是∶
（3）若将数轴折叠，使得 A 点与一2 表示的点重合，则 B 点与数 重合;
（4）若数轴上 M，N两点之间的距离为2019（M在N 的左侧），且M，N 两点经过（3）中折叠后互相重合，则 M，N 两点表示的数分别是∶M： N：
《庄子·天下篇》中写道∶"一尺之棰，日取其半，万世不竭."意思是∶一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图∶
5．如图，已知是数轴上的三点，点表示的数是6，．
（1）写出数轴上点，点表示的数；
（2）点为线段的中点，，求的长；
（3）动点分别从同时出发，点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，原点恰好为线段的中点．
6、已知线段，点C在线段上，且．
（1）求线段，的长；
（2）点P是线段上的动点，线段的中点为M，设．
①请用含有m的代数式表示线段，的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
7、如图①，已知线段在线段上运动，
线段，，点、分别是、的中点．
（1）若，求的长．
（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由；
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，、分别平分和，则、和有何关系，请直接写出　　．
8、已知直线上有 A，B 两点，AB＝24．动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的 速度沿直线向左匀速运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿直线向右匀速 运动，设点 P 运动时间为 t（t＞0，单位 s）．当 A、P、Q 三个点中恰有一点到另外两点的距离相等时，求 t 的值．
9、如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A，C，D，B起始位置所表示的数分别为-2，0，3，12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为1秒.
(1)当=0秒时，AC的长为________，当=2秒时，AC的长为________；
(2)用含有的代数式表示AC的线段长为________；
(3)当=__________秒时，AC-BD=5；当=___________秒时AC+BD=15；
(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位长度，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD，若存在，请直接求出的值；若不存在，请说明理由.
10、如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）线段BA的长度为 ；
（2）当t=3时，点P所表示的数是 ；
（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；
（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．
11、如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
12、（2019郑州）(10分)如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|2a+4|+|b-6|=0
(1)求A,B两点之间的距离;
(2)若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一个挡板,一个小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动：
设运动的时间为(秒)
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间。
13、（2020郑州）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为一2、4，若点M从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 N从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点 M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为12 个单位长度。
14、已知数轴上两点，对应的数分别为，8.
（1）如图1，如果点和点分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒6个单位.
①，两点之间的距离为__________.
②当，两点相遇时，点在数轴上对应的数是____________.
③求点出发多少秒后，与点之间相距4个单位长度？
（2）如图2，如果点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点、分别是线段、的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值.如果变化，请说明理由：如果不变，请直接写出线段的长度.
15．（2021·广东广州市·铁一中学七年级期中）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题：
（1）请直接写出、、的值，__________，__________，__________．
（2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．
（3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
16．如图，点 A在数轴上表示的数是-6，点 B在数轴上表示的数是12
（1）线段AB的长为_______；线段AB的中点表示的数是______
（2）点C是数轴上的一个动点，当 AC-3BC=6 时，点 C表示的数是多少？
17．如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a=　 　，b=　 　．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
18、如图,在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足。
(1)求A，B两点之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动
设运动的时间为t(秒)
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示)；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间。
19．已知：数轴上点A、B、C分别对应数a、b、c，其中，b是最小的正整数，且满足（a+b+2）2+|c﹣4|＝0．
（1）请求出a、b、c的值，并在数轴上分别标出点A、B、C；
（2）若点P为此数轴上的一个动点，其对应的数为x，且点M为PC的中点．
①当AP＝BP时，求线段PM的长；
②当AP＝3BP时，求线段PM的长．
20．（12分）阅读理解，完成下列各题
综合题
定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2 倍，则称点C 是[B，A]的2 倍点．例如：如图1，点C 是[A，B]的2 倍点，点D 不是[A，B]的2 倍点，但点D 是[B，A]的2 倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1 中，点A 是　 　的2倍点，点B是　 　的2 倍点；（选用A、B、C、D 表示，不能添加其他字母）；
（2）如图2，M、N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点E是[M，N]的2倍点，则点E 表示的数是　 　；
（3）若P、Q 为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ=m，一动点H从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P和Q两点的2倍点？（用含m 的代数式表示）
　
21、（本题12分）如图，在数轴上点A表示的数为一30，点B表示的数为80.动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点 B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发
（1）三个动点运动7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为__（2）当点D与点E距离为 44个单位时，求此时点C在数轴上所表示的数（3）若点E回到点B时，三点停止运动，当三个动点运动过程中
① 是否存在某一时刻，点D在点C和点E之间，且与点C和点E的距离相等 若存在，请求出时间;若不存在，请说明理由
②是否存在某一时刻，这三点中是否还有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等 若存在，请直接写出时间;若不存在，请说明理由
22、如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）
（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；
（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？
（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
23．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．
（1）若AP＝8厘米．
①运动1秒后，求CD的长；
②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是　9或11　厘米．
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压轴题系列一
——线段动点问题
一、 双基目标
掌握“线段中的动点问题”四种类型解题方法：
①与中点相关类型；
②线段中的和差倍分类型；
③“追及、相遇”类型；
④追及、相遇与折返综合类型.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】 如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【例2】 如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
【例3】已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。
⑴ AB中点M对应的数；
⑵ 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只
电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数
【例4】已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　 　；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
【变式训练】如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别是-20、0、40，甲、乙两个电动蚂蚁分别在A、C两处同时出发，运动速度分别是6个单位/秒和4个单位/秒.
（1）若甲、乙相向而行，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数；
（2）在（1）的条件下，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，甲立刻掉头往回走，当甲、乙相遇时即停止运动，求出相遇时甲所在位置表示的数.
【例5】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【变式训练1】（2018郑州）乐乐家距离学校2800米，一天早晨，他以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的妈妈发现他忘了带数学书，妈妈立即以180米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他．
(1)妈妈追上乐乐用了多长时间？
(2)放学后乐乐仍以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学英树以280米/分的速度从学校出发骑自行车回家，乐乐家和英树家是邻居(两家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出)，请问英树出发多长时间，两人相距300米？
【变式训练2】（2021郑州）寒风凛凛、爱心涌动，临近传统佳节，我市某学校部分师生冒着严寒为50km外的夕阳红敬老院送去过节物资，并为老人们表演节目．学校司机小李开车以60km/h的速度带着师生和物资从学校出发，同时志愿者小王开车以90km/h的速度从敬老院出发，前去迎接小李车上的部分学生到敬老院给老人们表演节目，小王接到学生以后立刻返回敬老院（学生下车和上车的时间不计），学校司机小李开车行驶多长时间时两车相距5km？写出答案，并说明理由．
【例6】如图，在数轴上，点A、B分别表示点﹣5、3，M、N两点分别从A、B同时出发以3cm/s、1cm/s的速度沿数轴向右运动．
（1）求线段AB的长；
（2）求当点M、N重合时，它们运动的时间；
（3）M、N在运动的过程中是否存在某一时刻，使BM=2BN．若存在请求出它们运动的时间，若不存在请说明理由．
【变式训练】如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝ AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．
（1）求线段ED的长；
（2）当MN＝ CD时，请直接写出t的值．
【例7】如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）
（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；
（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？
（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，
另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，
遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，
问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，
行驶的路程是多少个单位长度？
【例8】如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a=　 　，b=　 　．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M
追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，
以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，
求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
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压轴题系列一
——线段动点问题
一、 双基目标
掌握“线段中的动点问题”四种类型解题方法：
①与中点相关类型；
②线段中的和差倍分类型；
③“追及、相遇”类型；
④追及、相遇与折返综合类型.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】 如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
解：（1）∵M是线段AP的中点，MP=4cm，
∴AP=2MP=2×4=8（cm），
又∵点P是线段AB的中点，
∴AB=2AP=2×8=16（cm）．
（2）∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，
∴
∴
∵AB=12cm，
∴MN=12÷2=6（cm）．
（3）同意。①当P点在线段AB延长线上时，
∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，
∴
∴
∵AB=12cm，
∴MN=12÷2=6（cm）．②当点P在线段BA延长线时，与此类似。
【例2】 如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
解：（1）-2+4=2．
故点B所对应的数；
（2）（-2+6）÷2=2（秒），
4+（2+2）×2=12（个单位长度）．
故A，B两点间距离是12个单位长度．
（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x=12-4， 解得x=4；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x=12+4，
解得x=8．
故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．
【例3】已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。
⑴ AB中点M对应的数；
⑵ 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只
电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数
（1）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，
∴ =60；则AB中点M对应的数是100-60=40；故答案为：40．
(2)①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，∴AB=100+20=120，设t秒后P、Q相遇，∵电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，∴6t+4t=120，解得t=12秒；答：PQ经过12秒以后相遇；
（3）设两只蚂蚁经x秒相遇。得：6x-4x=120，x=60，
-20-4×60=-260，则D点对应的数是-260.
【例4】已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　 　；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
解∶（1）（6-4）÷2=1.
故点P在数轴上表示的数是1;
故答案为∶1;
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC=6x BC=4x，AB=10，
∵AC-BC=AB,
∴6x-4x=10, 解得x=5，
∴点P运动5秒时，追上点R;
（3）线段 MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况∶
①当点P在A、B之间运动时（如图①）∶
MN=MP+PN=1/2AP+1/2PB=1/2（AP+PB）=1/2AB=5.
②当点P运动到点 B左侧时（如图②）
解题过程略。【答案】MN=5
【变式训练】如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别是-20、0、40，甲、乙两个电动蚂蚁分别在A、C两处同时出发，运动速度分别是6个单位/秒和4个单位/秒.
（1）若甲、乙相向而行，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数；
（2）在（1）的条件下，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，甲立刻掉头往回走，当甲、乙相遇时即停止运动，求出相遇时甲所在位置表示的数.
解∶ ①当甲、乙相遇之前，设出发x秒两只电动蚂蚁相距10个单位。
6x＋4x=40-(-20)-10 解得x=5
此时甲所在位置表示的数为一20＋ 5×6=10.
②当甲、乙相遇之后，设出发y秒之后两只电动蚂蚁相距10个单位。
6y +4y =40-(-20)+ 10 解得y =7
此时甲所在位置表示的数为一20+7×6= 22
综上所述，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数为10或22。
（2）解∶∵乙的速度<甲的速度，
乙追不上甲，即在（1）的条件下，只有"甲、乙相遇之后"满足情况，
此时乙所在位置表示的数是40-7×4=12，
设经过z秒甲、乙相遇，6z-4z=22-12 解得 z =5 22-5×6= -8
故相遇时甲所在位置表示的数为-8
【例5】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
解：（1）一4；6-6t
（2）①设点 P运动t秒时追上点Q，根据题意，得6t=10十4t，解得 t=5.
答∶当点 P运动5秒时，点 P与点Q相遇.
②设当点 P运动t秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当点 P不超过点Q时，则10十4t一6t=8，解得t=1;当点P超过点Q时，则10十4t+8=6t，解得 t=9.
答∶当点 P运动1或9秒时，点 P与点Q间的距离为8个单位长度。
【变式训练1】（2018郑州）乐乐家距离学校2800米，一天早晨，他以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的妈妈发现他忘了带数学书，妈妈立即以180米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他．
(1)妈妈追上乐乐用了多长时间？
(2)放学后乐乐仍以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学英树以280米/分的速度从学校出发骑自行车回家，乐乐家和英树家是邻居(两家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出)，请问英树出发多长时间，两人相距300米？
解∶（1）设妈妈追上乐乐用了x分钟，根据题意，得180x=80x+80×5，解得x=4. 答∶妈妈追上乐乐用了4分钟.
（2）设英树出发y分钟，两人相距300米.根据题意，得
①英树在乐乐后面相距300米，则280y=80y+80×10-300，解得y=2.5;
②英树在乐乐前面相距300米，则280y=80y+80×10+300，解得y=5.5;
或80（y+10）=2800-300，解得y=21.25.
答∶英树出发2.5分或5.5分或21.25分钟，两人相距300米.
【变式训练2】（2021郑州）寒风凛凛、爱心涌动，临近传统佳节，我市某学校部分师生冒着严寒为50km外的夕阳红敬老院送去过节物资，并为老人们表演节目．学校司机小李开车以60km/h的速度带着师生和物资从学校出发，同时志愿者小王开车以90km/h的速度从敬老院出发，前去迎接小李车上的部分学生到敬老院给老人们表演节目，小王接到学生以后立刻返回敬老院（学生下车和上车的时间不计），学校司机小李开车行驶多长时间时两车相距5km？写出答案，并说明理由．
解：①在两车相遇之前，设从出发到两车相距 5km时的时间为 t h，
由题可知∶60t+90t+5=50.
解得 t=
②设当两车相遇时所需时间为x h，由题可知 60x+90x=50.
解得X= ；
设当两车相遇之后到两车相距 5km 时所需时间为yh 由题可知∶90y- 60y=5.
解得：y=
所以此时学校司机小李开车行驶的时间为 = =
【例6】如图，在数轴上，点A、B分别表示点﹣5、3，M、N两点分别从A、B同时出发以3cm/s、1cm/s的速度沿数轴向右运动．
（1）求线段AB的长；
（2）求当点M、N重合时，它们运动的时间；
（3）M、N在运动的过程中是否存在某一时刻，使BM=2BN．若存在请求出它们运动的时间，若不存在请说明理由．
解∶（1）AB=l3-（-5）|=8;
（2）设它们运动的时间为t，根据题意得，3t-t=8，解得∶t=4，
当点M、N重合时，它们运动的时间是4s;
（3）存在，
设它们运动的时间是x s，
根据题意得，8-3x=x-3或3x-8=x-3，
【点评】本题考查了线段与行程问题的关系的运用，线段之间的数量关系的运用，
一元一次方程的运用，解答时找到题意的等量关系是关键.
【变式训练】如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝ AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．
（1）求线段ED的长；
（2）当MN＝ CD时，请直接写出t的值．
解∶(1)∵ AB =30，AD=2BD
又 AD十 BD=AB
即 3BD=30
∴BD=10，AD=20
①当t<15时，即M还未到B点
MN= 30-（2+t）=|2，t=6s ;
②t≥I5s时，即M从B反向运动
MN=I0t-2(t-15）=12，t=18s
∴综上t=6或 18s (注意分类讨论）
【例7】如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）
（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；
（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？
（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，
另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，
遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，
问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，
解：（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒3t个单位长度．
依题意有：4t+4×3t=16，
解得：t=1，
故点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，
则A到达的位置为：-4，B到达的位置是12，在数轴上的位置如图：
答：点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度；
（2）设y秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：
4+y=12-3y
解得：y=2，
答：2秒时，原点恰好处在AB的中点；
（3）设当C运动z秒后，C为AB的中点，
由题意可得：4+z+1/2z=1/2（16-3z+z），
解得：z=8/5，
答：当点C运动 8/5 秒时，C为AB的中点．
【例8】如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a=　 　，b=　 　．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M
追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，
以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，
求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
（1）AB=12，AO=2OB，AO=8，OB=4，A点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4 ·.a=-8,b=4.
故答案为∶ a=-8; b=4;
（2）①当0∵2OP-OQ=4,:2(8-2t)-(4+t)=4,t=1.6;
②当点P与点Q重合时，如图4，2t=12+t，t=12
③当4则2（2t-8）-（4+t）=4，t=8.
综上所述;当t为1.6秒或8秒时，2OP-OQ=4;
②当点P到达点O时 8÷2=4，此时OQ=4+t=8 即点Q 所表示的实数为8
如图6 设点M运动的时间为t秒 由题意得;2t-t-8 t-8 此时 点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16 .点M行驶的总路程为∶3×8=24.
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