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数列——2021新高考数学优秀模拟题分类精选汇编
一、单选题
1．（2021·广东河源·模拟预测）在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽·二模（理））若正项等比数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·模拟预测）已知是等差数列，其前项和为，若成等比数列，且，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
5．（2021·贵州·一模（文））下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．
6．（2021·全国·模拟预测（理））已知等差数列是递减数列，为数列的前项和，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
7．（2021·全国·模拟预测（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）
A．46 B．47 C．48 D．49
8．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．（2021·山东济南·二模）已知数列中，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．是等比数列
C． D．
10．（2021·重庆·三模）已知各项均为正数的数列的前n项之积为，且，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．无论取何值，均存在使得对任意成立
D．无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项
11．（2021·广东佛山·二模）已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
12．（2021·浙江浙江·模拟预测）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以，，的递推方法定义，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{}满足（n∈），，则数列的通项公式为__________．
14．（2021·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知是等比数列的前项和，，则___________.
15．（2021·全国·模拟预测）定义向量列：，，，…，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即（，且）其中为常向量，则称这个向量列为等差向量列.这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前项和.已知等差向量列满足，，则向量列的前项和______.
16．（2021·广东顺德·一模）已知数列，，，且，则数列的前100项的和为______．
17．（2021·全国·模拟预测（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.
四、解答题
18．（2021·河南·模拟预测（理））已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求证：.
19．（2021·广东汕头·二模）已知数列的前n项和满足：，且，.
（1）求的通项公式；
（2）已知是等差数列，且，，，求数列的前n项和.
20．（2021·全国·模拟预测）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．
（Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．
（参考数据：，）
21．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；
（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有(0（i）求并写出与的关系式；
（ii）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．
参考答案
1．A
设公差为，因为，，所以，即，
从而.
故选：A.
2．D
由题意，，得.令的公比为，由，得，得，∴，∴，令，则，∴，
故选：D.
3．A
令，则有，设的公差为，故
又由成等比数列，得，解得，
结合选项知：当时，符合要求；当时，不合要求.所以，.
故选：A.
4．C
，当时，，故；
当时，，，相减得到，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，
，，
.
故选：C.
5．C
对于A：数列是等差数列，
∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，
此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，
∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，
∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．
故选：C．
6．D
依题意得，
由于，则
因为数列是递减数列，
则，若，则与不符，
所以，故，
所以ABC错，
所以，故D正确.
故选：D
7．C
解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为
故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以
故选：C
8．D
解：由题意知，，
由，得，，或．
①当时，，，或，或．
②若，则，或，
当时，，此时，或，
当时，，此时，或，
综上，满足条件的的值共有6个．
故选：D
9．ABC
依题意，
所以，，
，
所以数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列.
.
所以，AB正确.
，C正确.
，D错误.
故选：ABC
10．AB
若，则，若，则，故，A正确；
，
故有，，B正确；
若，则，，，，
故数列从第2项开始按，1，2周期变化，其中没有与相同的项，故C，D均不正确.
故选：AB
11．ABD
因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，
所以设，
解得，
所以的最大值为，故A正确；
因为，，
所以，故B正确；
因为，所以时，，数列可能为故C错误；
因为，
所以一定是等差数列中的项，故D正确.
故选：ABD.
12．BC
A选项，由，，可得，，，，，，则，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：BC.
13．
因为数列{}满足（n∈），
所以数列{}为公差为k的等差数列，
又，所以，
即
14．2n﹣1
解：因为，
所以，解得或舍
，所以所以数列是以1为首项，以-2为公比的等比数列，
则为也等比数列，公比为2，首项
故.
故答案为：2n﹣1.
15．
易知等差数列的性质在等差向量列里面也适合，类比等差数列的等差中项的性质，得，解得.
所以等差向量列的公差为.
类比等差数列的通项公式，得等差向量列的通项公式为.
进而再类比等差数列的前项和公式，可以得到等差向量列的前项和公式为.
故答案为：
16．150
根据题意，所以，即是常数数列，而，所以的前100项的和为：.
故答案为：150.
17．3
当时，若有n个1，由题知，数列共有项，
当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，
所以前项中含63个1，其余均为x，
故该数列的前项的和为，解得.
故答案为：3
18．（1）；（2）证明见解析.
解：（1）解：，，.
又，.
当为奇数时，；当为偶数时，.
综上，.
（2）证明：由（1）可知，
，
所以
.
19．（1），；（2）.
解：（1）当n=1时，，
解得：，
当时，
，
两式做差化简得：
即：，
，即
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，.
（2）由题意可知：，即：，
，，解得：，
，，故，.
设数列公差为，由
可知：，
，
，
①
②
①②得：
.
20．（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见解析.
（Ⅰ）由题意得，，．
当覆盖的等圆有层时，最下面一层的圆有个，相邻两圆的圆心距为，最左边与最右边的两圆的圆心距为．
又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为，则，
∴．
（Ⅱ）证明：被覆盖面积，正三角形的面积．
被覆盖率，
∴对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．
21．（1）户；（2）（i）；；（ii）．
（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在元、元、元、元、元、元的家庭数依次为：户；户；户；户；户；户；共计50户，
其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：户．·
若从这50户中再取出10户调查致贫原因，
这10户中含有“特困户”的户数服从H(10，23，50)的超几何分布，
因为当时，，
所以户；
（2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有变为"特困户”，所以有
（ⅰ）
，即·
（ⅱ），
由可得，
记函数，其中，
因函数是开口向上的二次函数，且其对称轴为，
则函数在上单调递减，
又，，故最大的正整数．

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