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6.5　相似三角形的性质
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,它们的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
2. 若矩形ABCD∽矩形EFGH,相似比为2∶3,已知AB=3 cm,BC=5 cm,则矩形EFGH的周长是 (　　)
A.16 cm B.12 cm C.24 cm D.36 cm
3. 已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为(　　)
A.3 B.2 C.4 D.5
4.若两个相似三角形的周长比为1∶3,则它们的面积比为 (　　)
A.1∶9 B.1∶6 C.1∶3 D.6∶1
5.若两个相似六边形一组对应边的长分别为3 cm,4 cm,且它们面积的差为28 cm2,则较大的六边形的面积为 (　　)
A.44.8 cm2 B.45 cm2 C.64 cm2 D.54 cm2
6 若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的相似比为 (　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.16∶81
7 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 (　　)
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
8. 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,四边形DECB与△ABC的面积的比为1∶4,则的值等于 (　　)
A.1∶2 B.1∶4 C.∶2 D.3∶4
9 如图,在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,∠AEG=∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,交EG于点F.若=,则 (　　)
A.= B.= C.= D.=
10.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D的长为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.
填空题
11 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为　　　　.
12 如图,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设△EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=　　　　.
解答题
13.如图,D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,
AB=6,BC=5,AE=4.
(1)求DE的长;
(2)若四边形BCED的面积为6,求△ABC的面积.
14 如图,△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.求证:AD∶A'D'=AB∶A'B'.
15.如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处.已知折痕与边BC交于点O.
(1)求证:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长.
16.已知锐角三角形ABC中,边BC的长为12,高AD的长为8.
(1)如图6-5-9,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.
①求的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求S的最大值.
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点M,N在△ABC的一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
答案
1.B 2.C　 3.A　 4.A　5.C　 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B
11.3a　12. 1∶8　.
13.解:(1)∵∠AED=∠B,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC,∴=,
∴=,∴DE=.
(2)∵△AED∽△ABC,
∴==2,
即=2,解得S△ABC=,
即△ABC的面积为.
14.证明:∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=BC,B'D'=B'C'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',===,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴AD∶A'D'=AB∶A'B'.
15.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠CPO+∠COP=90°.
由折叠的性质可得∠APO=∠B=90°,
∴∠CPO+∠DPA=90°,∴∠COP=∠DPA,
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4,△OCP∽△PDA,
∴===,
∴PA=2OP,AD=2PC.
∵AD=8,∴PC=4.
由折叠的性质可得OP=OB,PA=AB.
设OP=x,则OB=x,CO=8-x.
在△PCO中,
∵∠C=90°,PC=4,OP=x,CO=8-x,
∴OP2=CO2+PC2,即x2=(8-x)2+42,
解得x=5,则OP=5,
∴AB=PA=2OP=10.
16.解:(1)①∵四边形EFGH为矩形,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC,EF∥BC,∴AK⊥EF,
∴=,∴===.
②∵EH=x,∴KD=x,
∴AK=AD-KD=8-x.
由(1)知EF=AK=(8-x),
∴S=EH·EF=-x2+12x=-(x-4)2+24(0∴当x=4时,S最大值=24.
(2)①当正方形PQMN的两个顶点M,N在BC边上,点P在AB边上,点Q在AC边上时,设PQ交AD于点K,如图①.
设正方形PQMN的边长为m,
则KD=PN=m,AK=AD-KD=8-m.
∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC.
∵AD⊥BC,PQ∥BC,∴AK⊥PQ,
∴=,即=,解得m=.
②当正方形PQMN的两个顶点M,N在AB边上,点P在AC边上,点Q在BC边上时,过点C作AB边上的高CI交PQ于点E,如图②.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=6.
由勾股定理,得AB===10.
∵S△ABC=AD·BC=CI·AB,
∴CI==9.6.
设正方形PQMN的边长为n,
则EI=PN=n,CE=CI-EI=9.6-n.
∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC.
∵CI⊥AB,PQ∥AB,∴CE⊥PQ,
∴=,即=,解得n=.
综上所述,正方形PQMN的边长为或.

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