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必修第一册知识复习
一、集合与常用逻辑用语
1.集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________．
2.常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______．
3.表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．
4.集合间的关系：AB 对任意的xA有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．
5.集合的基本运算： 集合{ x | xA且xB }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | xA或xB }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | xA且xU }叫做A的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．
6.性质：① A A，　 A；
② 若A B，B C，则A C；
③ A∩A＝A∪A＝A；
④ A∩B＝B∩A，　A∪B＝B∪A；
⑤ A∩＝；　A∪＝A；
⑥ A∩B＝A A∪B＝B A B；
⑦ A∩CU A＝；　A∪CU A＝U；
⑧ CU (CU A)＝A；⑨CU (A∪B)＝CU A∩CU B．
7集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用画数轴分析的方法．
8.补充常用结论：① 若集合A中有n (nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与）；② 容斥原理：
cord(A∪B)＝cord A cord B cord(A∩B)
9.易错点提醒：①注意不要用错符号“”与“”；②当A B时，不要忘了A＝ 的情况讨论；
10.充分条件与必要条件：若p则q为命题，记为p q，则p是q的 条件，q是p的 条件；
11.充分条件、必要条件与集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件 A B
p是q的必要条件 B A
p是q的充分不必要条件 AB
p是q的必要不充分条件 BA
p是q的充要条件 A＝B
12.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
13.全称命题和特称命题
名称 形式 全称命题 特称命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
否定 x0∈M， p(x0) x∈M， p(x)
含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
练习：
选择题
1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则 U（A∩B）＝（　　）
A． B．{0} C．{0，2，4} D．{0，2，4，5}
2．设集合A＝{x|x+1＝0}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则A∩B等于（　　）
A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．
3．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合A＝{x∈Z|﹣2＜2x＜x+3}，B＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，2} B．{﹣2，0，4} C．{0，2} D．{0，4}
5．已知p：x1，x2是方程x2+5x﹣6＝0的两根，q：x1 x2＝﹣6，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知集合A＝{x|x2+3x﹣4＝0}，集合B＝{x|x2+（a+1）x﹣a﹣2＝0}，且A∪B＝A，则实数a的取值集合为（　　）
A．{﹣3，2} B．{﹣3，0，2}
C．{a|a≥﹣3} D．{a|a＜﹣3，或a＝2}
7．已知a∈R，则“a＞3”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A B”是“A∩ UB＝ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
多选题
9.若集合A，B满足： x∈B，x A，则下列关系可能成立的是（　　）
A．A B B．A∩B≠ C．B A D．A∩B＝
10．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（　　）
A．A∩B＝{0，1，2} B．A∪B＝{x|x≥0}
C．（ UA）∩B＝{﹣1} D．A∩B的真子集个数是7
11．下列各题中，p是q的充要条件的有（　　）
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy＞0；q：x＞0，y＞0
D．p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；q：a+b+c＝0（a≠0）
12．下列结论正确的是（　　）
A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件
B．设M N，则“x M”是“x N”的必要不充分条件
C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件
填空题
13．设a∈R，则a＞1的一个充分不必要条件是 　　．
14．某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 　　．
15．已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 　　
16.对于任意实数a，b，c，有以下命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中正确命题的序号是　 　．
解答题
17．在①B＝{x|﹣1＜x＜4}，② RB＝{x|x＞6}，③B＝{x|x≥7}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知集合A＝{x|a＜x＜10﹣a}，_______，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
18.已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}．
（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
二、一元二次函数、方程、不等式
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c；
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c；
a>b，c>d a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 aca>b>0，c>d>0 ac>bd；
(5)乘方法则：a>b>0 an>bn(n≥2，n∈N)；
(6)开方法则：a>b>0 >(n≥2，n∈N)；
(7)倒数性质：设ab>0，则a.
3．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
注：
（一）利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
（二）常用结论：
① ．若a＞b＞0，m＞0，则＜；若b＞a＞0，m＞0，则＞.
②.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
③．ab≤≤.
④.≤≤≤(a＞0，b＞0).
4.三个二次的关系：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1注：
①.(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．
②．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立 a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min．
③．存在性问题的转化：a＞f(x)有解 a＞f(x)min；a≤f(x)有解 a≤f(x)max．
④.≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
练习：
选择题
1．设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．
2．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（　　）
A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc2
3．已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（　　）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．2
4．若0＜m＜1，则不等式（x﹣m）（x）＜0的解集为（　　）
A．{x＜m} B．{x|x或x＞m} C．{x|x＞m或x} D．{x|m}
5．已知正实数x、y满足1，则x+y的最小值为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
多选题
7．使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个非充分而条件是（　　）
A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{﹣1，3，5} D．x或x≥3
8．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（　　）
A．b＜0 B．a+b+c＞0 C．c＞0 D．a+b＝0
9．下列不等式中解集为R的有（　　）
A．﹣x2+2x+1＜0 B．
C．x2+6x+10＞0 D．2x2﹣3x+4＜0
填空题
10．已知x＞0，则x1的最小值是 　　．
11．已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值为 　　．
12．已知关于x的不等式ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则a+2b＝　　．
解答题
13．已知x，y都是正数，且x+y＝1．
（1）求的最小值； （2）求的最小值．
14．回答下列问题：
（1）若不等式ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求a，b的值；
（2）求关于x的不等式ax2+3x+2＞﹣ax﹣1（其中a＞0）的解集．
15．某建筑工地在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
（1）要是矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（2）长度AB和宽度AD分别为多少米是矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
三、函数及其表示法
1.函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数 f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．
函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________．
2.函数的表示法：_____________法、____________法和____________法．
3.解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数．
4.求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）．
5.函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函数图象解决各类问题．
y f ( x a ) 的图象可以由y f ( x ) 的图象向______平移____个单位得到；
y f ( x ) b 的图象可以由y f ( x ) 的图象向______平移____个单位得到；
______________的图象与y f ( x ) 的图象关于x轴对称；
______________的图象与y f ( x ) 的图象关于y轴对称；
______________的图象与y f ( x ) 的图象关于原点对称；
y f ( | x | ) 的图象可以由y f ( x ) 的图象________________________得到；
y | f ( x ) | 的图象可以由y f ( x ) 的图象_______________________得到；
四、函数的基本性质
6.函数单调性的定义：对于定义域内的某个区间D上任意两个值，若时，都有，称为D上增函数，若时，都有，称为D上减函数．
7.利用定义证明单调性的一般步骤：①设、②减、③代、④化、⑤断，其中“化”的目标是_____________________________．
8.复合函数的单调性规律：同增异减．
9.单调函数的运算规律：① 增函数＋增函数＝增函数；② 减函数＋减函数＝减函数；③ 增函数－减函数＝增函数；④ 减函数－增函数＝减函数；注意：单调函数的乘除规律比较复杂，不能按以上规律随意类比．
10.求函数值域（最值）的常用方法：①配方法，②利用单调性，③换元法，④数形结合，等（试各举一例）；无论哪一种方法，①化归为基本初等函数问题，②化归为方程有解问题的讨论，③利用函数图象，等是最基本的解题策略．
11.二次函数在闭区间上的值域（最值）的求法：①图象法（特别注意对称的位置、开口方向）；②配方法．注意：不能不加分析地将区间端点代入．
12.奇偶性的定义：为奇函数 ；
为偶函数 ；
13.关于函数奇偶性的注意点：①如果奇函数y f ( x )在原点有定义，则 ；②奇偶函数的定义域一定关于原点对称，所以判定函数的奇偶性时，首先应该看定义域是不是关于原点对称．
14.奇偶函数的图象规律：奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于________对称．
15.奇偶函数的单调性规律：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________．
奇偶函数的运算规律：① 若干个奇偶性相同的函数相加减，其奇偶性不变；② 若干个奇偶函数相乘除，当奇函数个数为奇数是结果为奇函数，当奇函数个数为偶数是结果为偶函数．（类似“负负得正”的规律）
练习：
一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≥2）的值域是（　　）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C． D．[2，+∞）
3．若函数，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
4．已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，若f（a）＝4，则f（﹣a）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x|x| B．y＝﹣x3 C．y＝x+1 D．y
6．已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（m）的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣24 D．24
二、多选题
7．在下列四组函数中，f（x）与g（x）不表示同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x﹣1，
B．f（x）＝|x+1|，g（x）
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．f（x）＝x，
8．已知函数f（x）＝x，下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）是奇函数
B．当x＜0时，此函数有最小值为﹣2
C．函数f（x）在（0，1）是单调递减函数
D．函数f（x）的最小值为2
9．已知函数，则下列结论中正确的是　　
A． B．若，则
C．是偶函数 D．在上单调递减
三、填空题
10．函数f（x）的定义域是 　　．
11．已知函数f（x）＝x31（x∈R），若f（a）＝2，则f（﹣a）＝　　．
12．若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________
四、解答题
13．设集合A是函数f（x）的定义域，而函数g（x）＝x2﹣2x（x∈A）．
（1）求集合A；
（2）求函数g（x）的值域．
14．已知函数f（x）的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝ ，求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）＝x，且f（1）＝5．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断函数f（x）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明．
五、指数幂运算与对数运算
1.分数指数、零指数与负指数的定义：
①____； ②____；②____；．
2.无理数指数幂：是一个确定的实数，我们可以根据无理指数的有理数近似值计算出其任意精确度的近似值．
3.指数幂的运算性质：______；______；______；
4.对数的定义：______；其中a的取值范围是_________，N的取值范围是_________，零和负数没有对数．
5.对数的运算性质：①____；
②______；　　③______；
④__________；
⑤__________；
⑥_______； ⑦______
⑧换底公式：______________________；
⑨__________；
⑩__________；
常用对数与自然对数：①叫做常用对数，简记为______，一个正整数的位数等于；②_______；③叫做自然对数，简记为_________，其中e是一个无理数，其近似值为________．
六、几类基本初等函数的图象与性质
1.指数函数：画出指数函数的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
图象自左向右逐渐上升 图象逐渐自左向右下降 增函数 减函数
第一象限内的图象在直线y =1的上方 第一象限内的图象在直线y =1的下方
第二象限内的图象在直线y =1的下方 第二象限内的图象在直线y =1的上方
图象上升的趋势是越来越陡 图象下降的趋势是越来越缓 函数值增长开始较慢，后来极快； 函数值减小开始极快，后来较慢；
2.指数幂的大小规律：比 1大的数，其的任何正数次幂___________；比1小的正数，其任何正数次幂______________．
3.对数函数：画出指数函数的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
图象逐渐上升 图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象在直线x =1右边 第一象限的图象在直线x =1左边
第二象限的图象在直线x =1左边 第二象限的图象在直线x =1右边
4.对数值的正负规律：同正异负，即：_______________________________________．
5.幂函数：结合以下图象说出幂函数的性质：
奇函数（p奇q奇） 偶函数（p偶q奇） 非奇非偶函数（q偶） 我们只研究n是有理数的情况，规定是 既约分数
七、函数的应用
1.方程与函数的关系：方程实根 函数的图象_______________
函数有________
2.闭区间上函数零点存在定理：区间[a，b]上的连续函数如果有，则：函数在区间(a，b)内有_______，方程在(a，b)内有_______．
3.二分法求函数零点的一般步骤：
①确定区间[a，b]，使；②求区间(a，b)中点c；③计算，若，则____________；若，则_________；若，则__________；④判断是否达到精确度 ：若，则_____________；否则_________________．
4.不同增长速度的函数模型：当x足够大时，下列各类函数：①一次函数、②幂函数()、③指数函数()、④对数函数()，它们的函数值从小到大依次是：______________________．
5.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图；选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它 函数模型重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
6.解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
练习：
一、选择题
1．函数的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）
2．设a＞0，b＞0，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．﹣3a
3．方程log2x＝log4（2x+3）的解为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3
4．已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
5．设，且，则m＝（　　）
A．6 B． C． D．
6．已知a，b，c是不等于1的正实数，且ab≠1，若logabc＝logac logbc，则logac+logbc＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．logabc
二、多选题
7．下列各式比较大小，正确的是（　　）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
8．已知函数f（x）＝|lgx|，则（　　）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）值域为[0，+∞）
C．f（x）在[0，+∞）上递增 D．f（x）有一个零点
9．已知函数，且关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
三、填空题
10．2﹣2×（2）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32 log4　　．
11．某口罩批发商在疻情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价每包 　　元时，批发商可获得利润最大．
12．若关于x的方程|x2﹣1|＝a有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是 　　．
四、解答题
13．计算下列各式的值：
（Ⅰ）； （Ⅱ）．
14．已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加证明．
15．已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）若方程f（x）＝1+logax有两个不等实根，求实数a的取值范围．
16．某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G（x）万元，G（x）．
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．