资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
代数式的化简求值（分式）
一．选择题（共10小题）
1．若，，则的值等于　　
A．1 B． C． D．
2．是有理数，则的值不能是　　
A．1 B． C．0 D．
3．若实数，，，满足：，，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
4．如果，，是正数，且满足，，那么的值为　　
A．6 B．7 C．9 D．10
5．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解，，，则　　
A． B．1 C．0 D．17
6．已知正数，满足，则的值为　　
A．2 B． C． D．3
7．已知，，为正实数，，，，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．3
8．设，，，都是正整数，且，，，则　　
A．15 B．17 C．18 D．20
9．若，则的值是　　
A． B． C． D．5
10．已知，如果一列数，，满足对任意的正整数都有，则的值为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共13小题）
11．若代数式，其中，，均为非零实数，则如下的三个结论中，能够成立的共有　 　 个
①；②；③可以等于．
12．已知，，，，则　 　 ．
13．方程组的解　 　 ，　 　 ．
14．化简　 　 ．
15．设，，，都是正数，且，那么的取值范围是　 　 ．
16．已知，，，则的值为　 　 ．
17．若分式方程有增根， 则的值是　 　 ．
18．若关于的分式方程无解，则的值为　 　 ．
19．已知，且，则代数式的值为　 　 ．
20．若，则的值为　 　 ．
21．解分式方程，得　 　 ．
22．若正数，，同时满足，，，则的值是　 　
23．已知，，，，，，，是互不相等的非零实数，且，则的值为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
24．已知，求证：、、中至少有一个等于1．
25．已知实数，，满足，，，求的值．
26．已知，，，且，求分式：的值．
27．已知关于的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解．
28．设互不相等的非零实数，，满足，求的值．
29．任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：，，都是正整数）．显然，这里的，都大于．如果设，，那么有．
（1）探索上式中的正整数，与正整数之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）请利用（1）中的结论，分别写出，等于两个单位分数之和的所有可能情况；
（3）我国宋朝数学家杨辉早在1261年的著作《详解九章算法》十二卷里提出了如左下图所示的“杨辉三角形”，请观察杨辉三角形的特点，由单位分数能否能垒成类似的“单位分数三角形”？如果能，试在右下图中写第二、三、四行．
30．设，，为方程的三个根，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若，，则的值等于　　
A．1 B． C． D．
【分析】把两个分式方程去分母后，整体代入，整理得结果．
【解答】解：，，
①，②
把①代入②，得
即
所以
故选：．
2．是有理数，则的值不能是　　
A．1 B． C．0 D．
【分析】根据分式叮嘱我零的条件即可判断．
【解答】解：因为分式的分子为11，，所以分式的值不能为零．
故选：．
3．若实数，，，满足：，，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【分析】先把当作已知数，用的代数式把、表示出来，再代入即可求出答案．
【解答】解：，，
，，
，
，
故选：．
4．如果，，是正数，且满足，，那么的值为　　
A．6 B．7 C．9 D．10
【分析】先根据题意得出，，，再代入原式进行计算即可．
【解答】解：，，是正数，且满足，
，，，
原式
，
故选：．
5．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解，，，则　　
A． B．1 C．0 D．17
【分析】首先把已知的每一个等式转化成其倒数形式，再进行约分化简，为了使解题简单，使用换元法设、、，最后解一道关于、、的三元一次方程组求出其、、值，从而可求出、、，最后代入中即可求解．
【解答】解：原方程组变形为：，
方程组化简为：，
设、、，则原方程组变形为：，
解得：，
，
，
，
故选：．
6．已知正数，满足，则的值为　　
A．2 B． C． D．3
【分析】已知等式整理后，求出的值，利用完全平方公式及平方根定义求出所求即可．
【解答】解：已知等式整理得：，
，即，
，
，
故选：．
7．已知，，为正实数，，，，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．3
【分析】把、、的值代入所求是式子，根据分式的加减混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：当，，时，
，
故选：．
8．设，，，都是正整数，且，，，则　　
A．15 B．17 C．18 D．20
【分析】设，，，，为正整数），根据已知，运用因式分解的方法得到关于，的方程组，从而求解．
【解答】解：，，
设，，，，为正整数），
，
，
即，
，
解得，
舍去，因为，
则．
故选：．
9．若，则的值是　　
A． B． C． D．5
【分析】先由已知得到与的关系，把、间关系代入化简后的分式求值即可．
【解答】解：，
即
，
．
当时，
原式
．
故选：．
10．已知，如果一列数，，满足对任意的正整数都有，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】令、2、，求出，，的值，在表示出，，从而得出规律，再提取后利用拆项法解答．
【解答】解：根据题意，当时，，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
，
所以，
．
故选：．
二．填空题（共13小题）
11．若代数式，其中，，均为非零实数，则如下的三个结论中，能够成立的共有　3　个
①；②；③可以等于．
【分析】根据题意，利用分式的加减法则及不等式性质判断即可．
【解答】解：显然成立，即①成立；
又成立，
不妨设，，若，
则；
若，
则，
故成立，即成立，②成立；
当时，显然，从而③成立，
则题设3个结论均成立．
故答案为：3．
12．已知，，，，则　2　．
【分析】先将条件变形为和，然后代入原式就可以求出其值．
【解答】解：，
，
，，
．同理可得：，
原式
．
故答案为：2
13．方程组的解　1　，　 　．
【分析】将方程组整理，再将每一个方程的两边同除以，设，，再求解即可．
【解答】解：原方程组可化为：，
设，，则，
解得，
．
故答案为1，．
14．化简　0　．
【分析】根据分式加减法的法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：0．
15．设，，，都是正数，且，那么的取值范围是　　．
【分析】分别将分母扩大、缩小，即可得到结论．
【解答】解：，，，都是正数，
，
，
．
故答案为：．
16．已知，，，则的值为　1　．
【分析】把，，代入，再化简计算即可．
【解答】解：，，，
故答案为：1．
17．若分式方程有增根， 则的值是　 3 　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根 ． 所以应先确定增根的可能值， 让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值 ．
【解答】解： 方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，，解得．
故答案为： 3 ．
18．若关于的分式方程无解，则的值为　4　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【解答】解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程得：，
故答案为：4
19．已知，且，则代数式的值为　3　．
【分析】由，则，代入所求分式即可得出答案．
【解答】解：，且，
，
．
故答案为：3．
20．若，则的值为　3　．
【分析】由得到，将变形为，进一步得到原式，再化简后约分计算即可求解．
【解答】解：
，
．
故答案为：3．
21．解分式方程，得　　．
【分析】若直接通分去分母，则使问题复杂化，所以拆分、然后分步运算，化简后再解分式方程即可．
【解答】解：原式可化为
，
即，
，
，
即，
，
经检验是原方程的解，
故．
故答案为：．
22．若正数，，同时满足，，，则的值是　　．
【分析】根据，，，对式子展开整理，即可求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：，，
，
解得，，
故答案为：．
23．已知，，，，，，，是互不相等的非零实数，且，则的值为　2　．
【分析】可设，则，即，，，设，，由可得，由得，代入计算即可求解．
【解答】解：设，则，
整理得，
，，，
设，，
由得，
由得，
原式．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
24．已知，求证：、、中至少有一个等于1．
【分析】根据已知条件得出，再将式子进行变形整理，得出，从而得出原命题正确．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，， 中至少有一个等于1．
25．已知实数，，满足，，，求的值．
【分析】根据可得的值，将其代入到即可得．
【解答】解：，，
，
即，
，
．
26．已知，，，且，求分式：的值．
【分析】由已知的前三个等式，求出，及的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加减运算法则计算，分子利用完全平方公式变形后，将，，及的值代入计算，即可求出值．
【解答】解：，，，
，，，又，
．
27．已知关于的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解．
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为△（方程有等根，满足方程恰好有一个实数解），若△，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【解答】解：两边同乘，得，
若，，，
若，由题意，知△，
解得，，
当时，，当时，，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当时，，，
当时，，．
28．设互不相等的非零实数，，满足，求的值．
【分析】令，则，，，继而知，即，同理得出、，根据且，，为互不相等的非零实数得，从而得出答案
【解答】解：令，
则，，，
由可得，
即，
同理可得：，，
，
，，为互不相等的非零实数，
，即，
则．
29．任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：，，都是正整数）．显然，这里的，都大于．如果设，，那么有．
（1）探索上式中的正整数，与正整数之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）请利用（1）中的结论，分别写出，等于两个单位分数之和的所有可能情况；
（3）我国宋朝数学家杨辉早在1261年的著作《详解九章算法》十二卷里提出了如左下图所示的“杨辉三角形”，请观察杨辉三角形的特点，由单位分数能否能垒成类似的“单位分数三角形”？如果能，试在右下图中写第二、三、四行．
【分析】（1）分式的两边都乘以，再整理可得；
（2）当时，可求、的所有可能数值，从而可求分成两个单位分数和的所有情况，同理可求分成两个分数和的所有情况；
（3）能，结合（2）中的计算，可知第二行有两个分数，且都等于，第三行有3个分数，第一个与第三个都等于，第二个等于，第四行依次是，，，，其它行也依此类推．
【解答】解：（1）由，
可得，
化简后有，
（2）当时，，于是有或2，或2，
因此，
当时，，于是有或3，或3，
因此；
（3）
30．设，，为方程的三个根，求的值．
【分析】因为，，为方程的三个根，所以把它们分别代入方程即可求解．
【解答】解：设，由此可得
，
，
，
以及，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑