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2021年中国数学奥林匹克(CMo)试题(第一天)
2021年12月21日
1.给定正实数a,b和平面上的两个点A,B,满足AB=a,平面上取两个点C,D满足ABCD是
个非退化的凸四边形,并且BC=CD=b,AD=a.易知四边形ABCD有内切圆,求内
切圆圆心的轨迹
2.求最大的实数,使得对任意p,9r,s∈R,,都存在一个复数z=a+b满足|≥Al,并且
z是如下方程的根
px+2gx+2nx+sgx+2px+2sx +r)=0
3.求所有a∈Z,使得存在一个六元集合X满足对k=1,2…,36,方程
ax+y-k=0(mod 37)
均存在解(x,y)满足xy∈X
2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题(第二天)
2021年12月22日
4.一次大会邀请了n(n>3)个科学家,这些科学家中的一些人互为朋友(朋友关系是相互的,
且每个人都不是自己的朋友).已知无论怎样将这些科学家分成两个非空的群体,总存在两
个来自同一群体的科学家是朋友,也存在两个来自不同群体的科学家是朋友
在会议的第一天提出了一项提案,每个科学家对该提案的意见均用一个非负整数表示,从
第二天起,每个科学家对该提案的意见改为前一天其所有朋友对该提案意见的平均值的整
数部分
证明:经过一段时间,所有科学家对该提案都有相同的意见
5.我们知道,在尺规作图结构中,只有两种类型的一维结构:圆和直线,最开始时,白纸上
只有两个距离为1的点.证明:可以用无刻度直尺和圆规在纸上作出一条直线和直线上距
离为√2021的两点,且在构造过程中,出现的圆和直线的总数不超过10
注:请给出明确的作图步骤.并按照圆和直线出现的顺序贴上标签.如果作图步骤中出现
的圆和直线的总数超过10,则根据总数可能会得到部分分数
6对整数0sasn,设f(na)为多项式(x+)°(x+2)”的展开式系数中,3的倍数的个数例
如:(x+(x+1)=x2+5x2+9x2+7x+2,则f(4,3)=1.对任意正整数n,设F(n)为
∫(n,0),∫(n,1)…,∫(m,n)中的最小值
(1)求证:存在无穷多个正整数n,使得F(n)≥"1
(2)求证:对任意正整数n,1)s-1
2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题(第一天)
2021年12月21日
给定正实数ab和平面上的两个点AB,满足AB=a,平面上取两个点C,D满足ABCD是
个非退化的凸四边形,并且BC=CD=b,AD=a.易知四边形ABCD有内切圆,求内
切圆圆心的轨迹
解:
注意到△ABC≌△ADC,从而AC为∠BAD,∠BCD的角平分线,
因此r在线段AC上且满足4=4B=2,于是五=an,
IC BC b
a+b
且此时I到四条边距离相等,下求点C的轨迹,
事实上四边形ABCD为凸四边形等价于∠CAB,∠ACB为锐角
我们以A为原点,AB为x轴正方向建立平面直角坐标系,则B的坐标为(a)
a>b时,点C的轨迹方程为(x-a)+y2=b,x∈
a+b
故点I的轨迹方程为x
a+b
asb时,点C的轨迹方程为(x-a)+y2=b2,x∈(0a+b)
故点I的轨迹方程为x
a+b/;x∈(0,a);
在线段AB上取点O满足OA=
记
a+b
a+b
a>b时,在线段AB上取点E满足AE=a-b,点I的轨迹是在以O为圆心,r为半径的
圆上,且在直线AB上的投影在线段EB内部的所有点;a≤b时,点I的轨迹是在以O为
圆心,r为半径的圆上且在直线AB上的投影在线段AB内部的所有点
2.求最大的实数,使得对任意P9,5∈R,都存在一个复数z=a+b满足|≥4l,并且
z是如下方程的根
px+2gx+2nx+s(x+2px+2sx +r)=0
解:
令P=q=r=5,此时z=-1,
i,λ=√3
下证龙=3满足要求
若p≥q,我们证明pz2+2qz2+2n+s=0有一个满足条件的复根
若px3+2qz2+2rz+s=0的根均为实根,设为-,-V,-w,则u,vw>0,

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