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人教A版（2019） 选择性必修一 第3章 圆锥曲线
重 难 点 复 习
知识梳理
一、本节课思维导图
二、重点结论梳理
1、弦长公式
2、焦点三角形
椭圆的焦点三角形：；如下图
双曲线的焦点三角形： ；
3、圆锥曲线的切线问题
过椭圆上已知点的切线方程
椭圆 上一点 处的切线方程为
过双曲线上已知点的切线方程
双曲线上一点处的切线方程为：
过抛物线上已知点的切线方程
过抛物线上点的切线方程是：
抛物线的斜率为的切线方程是：
4、点与圆锥曲线的位置关系
点与椭圆的位置关系：
在椭圆内部
在椭圆外部
在椭圆上
点与双曲线的位置关系
在双曲线内部（与焦点共区域）
在双曲线外部（与焦点不共区域）
点与抛物线的位置关系
在抛物线内部 ；
在抛物线外部 ；
5、椭圆中斜率乘积为定值的问题
（1）椭圆 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为
（2）设A、B是椭圆 上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为，则
6、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。
7、抛物线焦点弦的性质
如图，AB为抛物线的焦点弦，，焦点，准线，AC⊥，BD⊥，且M，N分别为线段AB，CD的中点，R为MN与抛物线的交点，则：
（1）；
（2）∠CFD=90°，NF⊥AB，AN⊥BN；
（3） ， ， ；
（4）直角梯形ABDC的对角线交于原点O，且 ；
（5）线段MN倍抛物线平分，即R为线段MN的中点；
（6）；
（7）（定值）；
（8）以AB为直径的圆必与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；以CD为直径的圆与AB相切于F。
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
圆锥曲线重难点复习 2 / 2
典型例题
题型1 根据圆锥曲线的定义确定方程
例1 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线上的点M与焦点F的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第4题，5分）椭圆的两个焦点分别为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
题型2 根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数
例3 （2020年1月苏州市阳光测试，第3题，5分）双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D.
题型3 求解圆锥曲线的离心率
例4 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第17题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，其中。
（1）求的值；
（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围。
变式训练
（2020年1月无锡市期末，第11题，5分）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
题型4 圆锥曲线中的面积问题
例5 （2020年1月常州市期末，第10题，5分，多选）已知离心率为的双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点。若的面积为2，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
变式训练
（2020年1月苏州市期末阳光测试，第16题，5分）已知一簇双曲线 ，设直线与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为。记的面积为，则 。
题型5 直线与圆锥曲线的位置关系
例6 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第11题，5分，多选）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线与直线有唯一的公共点，则动点与定点的距离可能为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
变式训练
（2020年1月苏州期末阳光测试，第20题，10分）已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，。
（1）求的取值范围；
（2）若为直角三角形，且，求的值。
题型6 弦长问题
例7 （2020年1月常州溧阳市期末，第19题，12分）若椭圆：与双曲线：有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点。
（1）求的值；
（2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的长度。
题型7 定点、定值问题
例8 （2020年1月常州市期末，第21题，12分）已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6。
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。
题型8 线段最值问题
例9 （2020年1月常州市期末，第16题，5分）点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 。
题型9 多条圆锥曲线间的综合问题
例10 （2020年1月无锡市期末，第22题，12分）已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线顶点在坐标原点，焦点为F。
（1）求的标准方程；
（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。
题型10 圆锥曲线与数列的综合问题
例11 （2020年1月苏州期末阳光测试，第22题，12分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点。
（1）若。
① 求椭圆的离心率；
② 求直线的斜率。
（2）若，，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围。
变式训练
（2020年1月常州市期末，第5题，5分）椭圆的左、右顶点分别是，，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
课堂练习
1、（2019年1月苏州期末阳光测试，第10题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B、C分别是椭圆的上、下顶点。若AB⊥CF，则该椭圆离心率为 。
2、（2020年1月无锡市期末，第19题，12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1。
（1）求曲线的方程；
（2）若直线 与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补。
课后巩固练习
一、选择题
1、（2020年1月常州市期末，第3题，5分）经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
2、（2020年1月无锡市期末，第3题，5分）已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3、（2020年1月苏州市期末阳光测试，第12题，5分）已知方程和（其中且，），它们所表示曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）
A. B. C. D.
4、（2021年1月苏州中学期末，第8题，5分）在直角坐标系xoy中，双曲线C:的右支上有一点P，该点的横坐标为5，、是C的左 右焦点，则的周长为（ ）
A. B. 18 C. D.
5、（2021年1月苏州中学期末，第9题，5分，多选）下列说法正确的是（ ）
A. ；方程的曲线是椭圆，p是q的必要不充分条件
B. “”是“的充要条件
C. 过点且与抛物线有且只有一个交点的直线有3条
D. 命题“，”否定是“，”
二、填空题
6、（2019年1月苏州期末阳光测试，第2题，5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为 。
7、（2020年1月无锡市期末，第15题，5分）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 。
8、（2019年1月苏州期末阳光测试，第4题，5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是 。
9、（2021年1月苏州市期末阳光测试，第16题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB于点D，点D的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为 。
三、解答题
10、（2019年1月苏州期末阳光测试，第15题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD=BC=4，AB=8，DC=6。以A，B为焦点的双曲线过C，D两点。
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程。
11、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）过双曲线的右支上的一点P作一直线与两渐近线交于两点，其中是的中点。
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值。
12、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上。
13、（2021年1月苏州中学期末，第22题，12分）抛物线M:焦点为F，过焦点F的直线（与x轴不垂直）交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为。
（1）求证:直线过定点，并求出这个定点；
（2）若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程。人教A版（2019） 选择性必修一 第3章 圆锥曲线
重 难 点 复 习
知识梳理
一、本节课思维导图
二、重点结论梳理
1、弦长公式
2、焦点三角形
椭圆的焦点三角形：；如下图
双曲线的焦点三角形： ；
3、圆锥曲线的切线问题
过椭圆上已知点的切线方程
椭圆 上一点 处的切线方程为
过双曲线上已知点的切线方程
双曲线上一点处的切线方程为：
过抛物线上已知点的切线方程
过抛物线上点的切线方程是：
抛物线的斜率为的切线方程是：
4、点与圆锥曲线的位置关系
点与椭圆的位置关系：
在椭圆内部
在椭圆外部
在椭圆上
点与双曲线的位置关系
在双曲线内部（与焦点共区域）
在双曲线外部（与焦点不共区域）
点与抛物线的位置关系
在抛物线内部 ；
在抛物线外部 ；
5、椭圆中斜率乘积为定值的问题
（1）椭圆 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为
（2）设A、B是椭圆 上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为，则
6、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。
7、抛物线焦点弦的性质
如图，AB为抛物线的焦点弦，，焦点，准线，AC⊥，BD⊥，且M，N分别为线段AB，CD的中点，R为MN与抛物线的交点，则：
（1）；
（2）∠CFD=90°，NF⊥AB，AN⊥BN；
（3） ， ， ；
（4）直角梯形ABDC的对角线交于原点O，且 ；
（5）线段MN倍抛物线平分，即R为线段MN的中点；
（6）；
（7）（定值）；
（8）以AB为直径的圆必与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；以CD为直径的圆与AB相切于F。
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
圆锥曲线重难点复习 2 / 2
典型例题
题型1 根据圆锥曲线的定义确定方程
例1 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线上的点M与焦点F的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【解析】可令点M（x，y），根据题意可知：，所以M（），又因为M点在抛物线上，所以代入M点的坐标得：
例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第4题，5分）椭圆的两个焦点分别为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为（ C ）
A. B. C. D.
【解析】由题意可知：，则根据椭圆的定义得：，即，∴ ，椭圆方程即得。
题型2 根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数
例3 （2020年1月苏州市阳光测试，第3题，5分）双曲线离心率为（ A ）
A. B. C. D.
题型3 求解圆锥曲线的离心率
例4 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第17题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，其中。
（1）求的值；
（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围。
解：（1）由题意知：
∴ （代入计算过程略）
（2）双曲线的渐近线方程为：
∵ 双曲线渐近线的斜率小于
∴
变式训练
（2020年1月无锡市期末，第11题，5分）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
【解析】依题意，必须满足：
∴
又
∴
不等号两端同时除以得：
解得：
又
∴
题型4 圆锥曲线中的面积问题
例5 （2020年1月常州市期末，第10题，5分，多选）已知离心率为的双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点。若的面积为2，则实数的值为（ A ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
【解析】以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点
∴ FA⊥OA，则
∵ △AOF的面积为2
∴
又∵ 双曲线的离心率
∴ 可得：
即：
变式训练
（2020年1月苏州市期末阳光测试，第16题，5分）已知一簇双曲线 ，设直线与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为。记的面积为，则 。
【解析】双曲线的渐近线方程为：
∴ 可令，则：
设，可得：
∴
代入数据得：
∴ 可得：
题型5 直线与圆锥曲线的位置关系
例6 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第11题，5分，多选）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线与直线有唯一的公共点，则动点与定点的距离可能为（ BCD ）
A. 2 B. C. D. 3
【解析】联立双曲线和直线方程可得：
∵ 有唯一公共点
∴
整理得：
∴
整理的：
变式训练
（2020年1月苏州期末阳光测试，第20题，10分）已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，。
（1）求的取值范围；
（2）若为直角三角形，且，求的值。
解：（1）根据题意，可令直线方程为：
与抛物线联立可得：
∵ 直线与抛物线交于不同点M，N
∴
整理得：
解得：或
∴ 的取值范围：
（2）设
∵ O，M，N能构成三角形
∴ O，M，N三点不共线
∴ 直线不经过原点
∴
即：
由（1）可得：
∴
∵ OM⊥ON
∴
解得：（舍掉）或（符合题意）
综上所述：
题型6 弦长问题
例7 （2020年1月常州溧阳市期末，第19题，12分）若椭圆：与双曲线：有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点。
（1）求的值；
（2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的长度。
解：（1）由题意：椭圆与双曲线有相同的焦点，且两条曲线相交于点
∴
整理，得
（2）由（1）可知：椭圆的方程为：
∴ 右焦点为
∴ 直线的方程为：
设
联立直线和椭圆的方程得：
则：
∴
整理，得：
题型7 定点、定值问题
例8 （2020年1月常州市期末，第21题，12分）已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6。
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。
【思路分析】（1）由条件c=3和离心率得到a的值，从而可以求出椭圆的方程；
（2）设出直线AM的方程与椭圆联立，得到M的坐标，同理可以得到N的坐标，写出MN的方程即可。
解：（1）∵ 椭圆的离心率，焦距为8
∴
∴
∴ 椭圆方程为：
（2）可令左顶点
∵ 直线AM、AN的斜率存在，且不为0
∴ 可设直线AM：
与椭圆方程联立，得：
整理得：
设，则
解得：
可得M的坐标为：
设直线AN的斜率为，
则把点M坐标中的k替换为，得：
① 当M、N的横坐标不相等时，
即直线MN的斜率存在时，
∴ 直线MN的方程为：
整理，得：
∴ 直线MN恒过定点（0，0）
② 当M、N的横坐标相等时，即：
此时，M、N的横坐标为0，
直线MN也恒过定点（0，0）
综上：直线MN恒过定点（0，0）
题型8 线段最值问题
例9 （2020年1月常州市期末，第16题，5分）点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 。
【解析】依据题意，椭圆的焦点分别是两圆的圆心（如图）
∴ ，
∴
∴
又∵ ，
∴
综上：
题型9 多条圆锥曲线间的综合问题
例10 （2020年1月无锡市期末，第22题，12分）已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线顶点在坐标原点，焦点为F。
（1）求标准方程；
（2）是否存在过F点直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。
解：（1）依题意可知：
，即，
由右顶点为得，
解得，
所以的标准方程为。
（2）依题意可知的方程为，
假设存在符合题意的直线
设直线方程为，
，
联立方程组
得
由韦达定理得：
联立方程组
得，
由韦达定理得，
，
若，则，即
解得，
所以存在符合题意的直线方程：
或。
题型10 圆锥曲线与数列的综合问题
例11 （2020年1月苏州期末阳光测试，第22题，12分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点。
（1）若。
① 求椭圆的离心率；
② 求直线的斜率。
（2）若，，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围。
解：（1）①∵ ，所以，
∴ ，即，所以。
②设的直线方程为，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则，
∵ 在第一象限，∴ ，即：，
又∵ ，∴ ，即：。
（2）设，则，
∵ 在第一象限，所以，
，所以，
因为，，成等差数列，所以，
所以，所以，所以。
所以，所以，又由已知，所以，
因为，所以，
因为，
令，所以，
，
因为，所以，
所以，所以，
因为为椭圆上在第一象限内一点，所以，所以.
变式训练
（2020年1月常州市期末，第5题，5分）椭圆的左、右顶点分别是，，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为（ B ）
A. B. C. D.
课堂练习
1、（2019年1月苏州期末阳光测试，第10题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B、C分别是椭圆的上、下顶点。若AB⊥CF，则该椭圆离心率为 。
【答案】
2、（2020年1月无锡市期末，第19题，12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1。
（1）求曲线的方程；
（2）若直线 与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补。
【答案】（1） （2）证明略
课后巩固练习
一、选择题
1、（2020年1月常州市期末，第3题，5分）经过点的抛物线的标准方程为（ C ）
A. B. C. D. 无法确定
2、（2020年1月无锡市期末，第3题，5分）已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ B ）
A. B. C. D.
3、（2020年1月苏州市期末阳光测试，第12题，5分，多选）已知方程和（其中且，），它们所表示曲线在同一坐标系中可能出现的是（ AC ）
A. B. C. D.
4、（2021年1月苏州中学期末，第8题，5分）在直角坐标系xoy中，双曲线C:的右支上有一点P，该点的横坐标为5，、是C的左 右焦点，则的周长为（ A ）
A. B. 18 C. D.
5、（2021年1月苏州中学期末，第9题，5分，多选）下列说法正确的是（ AC ）
A. ；方程的曲线是椭圆，p是q的必要不充分条件
B. “”是“的充要条件
C. 过点且与抛物线有且只有一个交点的直线有3条
D. 命题“，”否定是“，”
二、填空题
6、（2019年1月苏州期末阳光测试，第2题，5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为 。
【答案】（2,0）
7、（2020年1月无锡市期末，第15题，5分）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 。
【答案】
8、（2019年1月苏州期末阳光测试，第4题，5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是 。
【答案】k＜1或k＞2
9、（2021年1月苏州市期末阳光测试，第16题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB于点D，点D的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为 。
【答案】
三、解答题
10、（2019年1月苏州期末阳光测试，第15题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD=BC=4，AB=8，DC=6。以A，B为焦点的双曲线过C，D两点。
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程。
【答案】（1） （2）离心率；渐近线方程：
11、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）过双曲线的右支上的一点P作一直线与两渐近线交于两点，其中是的中点。
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值。
【答案】（1） （2） （3）定值=5，证明略
12、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上。
【答案】（1） （2） （3）定直线为：
13、（2021年1月苏州中学期末，第22题，12分）抛物线M:焦点为F，过焦点F的直线（与x轴不垂直）交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为。
（1）求证:直线过定点，并求出这个定点；
（2）若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程。
【答案】（1）定点（-2,0），证明略
（2）直线AB： 圆N：

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