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编号：034 课题:§5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 §5.2.3　简单复合函数的导数
目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 导数的四则运算法则
和、差的导数 [f(x)±g(x)]′＝_________________
积的导数 [f(x)·g(x)]′＝__________________________
商的导数 ′＝________________________________(g(x)≠0)
【课前预习思考】
(1)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数f(x)＋c的导数是什么？
(2)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？
(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？
2．复合函数及其导数
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f和u＝g，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f和u＝g的复合函数，记作y＝f.
(2)求导法则：对于复合函数y＝f，y′x＝________，即y对x的导数等于______的导数与_____的导数的乘积．
【课前预习思考】
(1)对函数y＝求导时如何选取中间变量？
(2)函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( ).
A.若y＝x＋，则y′＝1＋. B.若y＝x2cos x，则y′＝－2x sin x．
C.若y＝，则y′＝－cos x． D.若y＝3x2－e2x，则y′＝6x－2e2x.
题2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为 (　 　)
A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
题3．函数y＝ln (x－2)的导数是________．
题4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
【课堂题组训练】
类型一　利用运算法则求函数的导数(数学抽象、数学运算)
题5．设y＝－2exsin x，则y′等于 (　 　)
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
题6．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 (　　 )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
题7．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ (　 　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
题8．设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．
题9.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为 (　 　)
A． B． C． D．
题10.′＝________．
类型二　复合函数的导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题11.求函数y＝x·e1－2x的导数．
题12．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝ (　 　)
A．2cos 2x＋2e2x B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
题13．已知f(x)＝ln (2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
题14．下列求导运算正确的是 (　 　)
A．(2x2)′＝2x B．(ex)′＝ex C．(ln x)′＝－ D．′＝1＋
类型三　导数运算法则的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1　与切线有关的问题　
【典例】题15.曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 (　 　)
A． B．2 C．3 D．0
题16.曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2，求m的值．
角度2　与参数有关的问题　
【典例】题17.设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．
题18．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题19．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
【课堂检测达标】
题20．函数f(x)＝ex＋x sin x－7x在x＝0处的导数等于 (　 　)
A．－6 B．6 C．－4 D．－5
题21．下列函数不是复合函数的是 (　 　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
题22．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其导函数为f′(x)，
则下列正确的是 (　 　)
A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1 C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1
题23．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________．
题24．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
题25.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为 (　 　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
题26．求函数y＝sinnx cosnx的导数．
编号：034 课题:§5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 §5.2.3　简单复合函数的导数
目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 导数的四则运算法则
和、差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
商的导数 ′＝(g(x)≠0)
【课前预习思考】
(1)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数f(x)＋c的导数是什么？
提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则1，得[f(x)＋c]′＝f′(x).
(2)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？
提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则2，得[cf(x)]′＝cf′(x).
(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？
提示：能推广．容易证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x).
2．复合函数及其导数
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f和u＝g，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f和u＝g的复合函数，记作y＝f.
(2)求导法则：对于复合函数y＝f，y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【课前预习思考】
(1)对函数y＝求导时如何选取中间变量？
提示：对于函数y＝，可令u＝3x＋1，y＝u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝.
显然前一种形式更有利于计算．
(2)函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
提示：函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( ).
A.若y＝x＋，则y′＝1＋. B.若y＝x2cos x，则y′＝－2x sin x．
C.若y＝，则y′＝－cos x． D.若y＝3x2－e2x，则y′＝6x－2e2x.
【答案】ABC
【解析】A×.由y＝x＋，得y′＝1－.
B×.由y＝x2 cos x，得y′＝2x cos x－x2 sin x.
C×.由y＝，得y′＝.
D√.根据导数四则运算法则，y′＝(3x2)′－(e2x)′＝6x－2e2x.
题2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为 (　 　)
A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
【解析】选A.因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.
题3．函数y＝ln (x－2)的导数是________．
【解析】因为y＝ln (x－2)，所以y′＝[ln (x－2)]′＝·(x－2)′＝.
答案：y′＝
题4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
【解析】设v＝sinx，则y＝，设u＝v2＋1，则y＝.而y＝为基本初等函数．
答案：y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
【课堂题组训练】
类型一　利用运算法则求函数的导数(数学抽象、数学运算)
题5．设y＝－2exsin x，则y′等于 (　 　)
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
【解析】选D.因为y＝－2exsin x，所以y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x).
题6．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 (　　 )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
【解析】选B.
因为f′(x)＝4ax3＋2bx，所以f′(1)＝4a＋2b＝2，所以f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
题7．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ (　 　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【解析】选A.由f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，
则f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，令x＝0，所以f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝－4.
题8．设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．
【解析】由函数的解析式可得：f′＝＝，
则f′＝＝，所以＝，所以a2－2a＋1＝0，解得：a＝1.
答案：1
【解题策略提醒】
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．
(2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
题9.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选B.因为f(x)＝ax3＋3x2＋2，所以f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.
题10.′＝________．
【解析】′＝＝.
答案：
类型二　复合函数的导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题11.求函数y＝x·e1－2x的导数．
四步 内容
理解题意 条件：①函数是两个函数的积②其中一个函数是复合函数结论：求函数的导函数
思路探求 利用导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，逐步求导
书写表达 y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x
题后反思 解决本题关键是正确区分所给函数是怎样构成的，以及是否存在复合函数
【解题策略提醒】
求复合函数的导数的步骤
提醒：(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数的导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
题12．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝ (　 　)
A．2cos 2x＋2e2x B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
【解析】选A.根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝2cos 2x＋2e2x.
题13．已知f(x)＝ln (2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
【解析】选A.f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
题14．下列求导运算正确的是 (　 　)
A．(2x2)′＝2x B．(ex)′＝ex C．(ln x)′＝－ D．′＝1＋
【解析】选B.(2x2)′＝4x，(ex)′＝ex，(ln x)′＝，′＝1－，只有B正确．
类型三　导数运算法则的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1　与切线有关的问题　
【典例】题15.曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 (　 　)
A． B．2 C．3 D．0
【思路导引】可先设出曲线的切点坐标，求出与直线2x－y＋3＝0平行的切线方程，这两直线间的距离即为所求．
【解析】选A.设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0).所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
题16.曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2，求m的值．
【解析】由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝＝2，所以x0＝1，即切点P(1，0)，
所以＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
角度2　与参数有关的问题　
【典例】题17.设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．
【思路导引】由曲线过(0，0)点可求得b的值；利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得a的值．
【解析】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
【解题策略提醒】
利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
题18．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为f′(x)＝aex＋1，所以f′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，
所以b＝2，所以ab＝2.
题19．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
【解析】由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，
因为1－x－＝1－≤1－2＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．所以y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
所以tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，所以θ∈.
答案：
【课堂检测达标】
题20．函数f(x)＝ex＋x sin x－7x在x＝0处的导数等于 (　 　)
A．－6 B．6 C．－4 D．－5
【解析】选A.f′(x)＝(ex)′＋(x sin x)′－(7x)′＝ex＋sin x＋x cos x－7，所以f′(0)＝e0－7＝－6.
题21．下列函数不是复合函数的是 (　 　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
【解析】选A.A中的函数是一个代数式函数，运用导数的四则运算求导，B中的函数可看作
函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，
D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．
题22．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其导函数为f′(x)，
则下列正确的是 (　 　)
A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1 C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1
【解析】选BC.因为f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，所以f(0)＝2－f′(0)，
因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin x，所以f′(0)＝f(0)，故f′(0)＝f(0)＝1.
题23．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________．
【解析】因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝.
答案：
题24．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
【解析】令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，a＝2.
答案：2
题25.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为 (　 　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
【解析】选C.因为y′＝2cos x－sin x，所以y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，则y＝2sin x＋cos x在
点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
题26．求函数y＝sinnx cosnx的导数．
【解析】y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝n sinn－1x·(sinx)′·cos nx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′
＝n sinn－1x·cosx·cos nx－sinnx·sinnx·n＝n sinn－1x(cosx cos nx－sin x sin nx)
＝n sinn－1x cos[(n＋1)x].

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