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编号：036 课题:§5.3.2　导数在研究函数中的应用——极大值与极小值
目标要求
1、通过实例分析，了解函数的极值及相关的概念．
2、能利用导数求某些函数的极值．
3、体会导数在求极值中的应用.
4、能利用导数研究函数极值等相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：体会导数在求极值中的应用；
难点：能利用导数研究函数极值等相关的问题．
教学过程
基础知识积累
极大值
（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）.
（2）实质：，且在点附近的左侧_______________，右侧______________.
（3）极大值为___________.
【友情提醒注意】极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．
2．极小值
（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增）.
（2）实质：，且在点附近的左侧_____________，右侧_____________.
（3）极小值为_____________.
【友情提醒注意】函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．
3．极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为___________．
(2)极小值、极大值统称为____________．
【课前预习思考】
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.一个函数在一个区间的端点不能取得极值． B.一个函数在给定的区间上一定有极值．
C.函数极大值一定比极小值大． D.极值刻画的是函数的局部性质．
题2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) (　　 )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
题3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为 (　 　)
A．0 B． C． D．
【课堂题组训练】
类型一　求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)
题4．函数y＝2－x2－x3的极值情况是 (　 　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
题5．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　 　)
A．－3是f(x)的一个极小值点 B．－2和－1都是f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
题6．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是 (　 　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
题7.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　 　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
题8．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
类型二　求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
题10．若函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
题11．已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值1，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
类型三　函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1　已知极值点求参数值　
【典例】题12.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．
题13.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求f(x)的极大值．
角度2　与参数相关的极值问题　
【典例】题14.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是____．
题15．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
题16．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【课堂检测达标】
题17．函数f(x)＝－的极值点为 (　 　)
A．0 B．－1 C．0或1 D．1
题18．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是 (　 　)
A．x＝a是函数y＝f(x)的极小值点 B．当x＝－a或x＝b时，函数f(x)的值为0
C．函数y＝f(x)关于点(0，c)对称 D．函数y＝f(x)在(b，＋∞)上单调递增
题19．设函数f(x)＝xex，则 (　 　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
题20．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
题21．求函数f(x)＝的极大值．
编号：036 课题:§5.3.2　导数在研究函数中的应用——极大值与极小值
目标要求
1、通过实例分析，了解函数的极值及相关的概念．
2、能利用导数求某些函数的极值．
3、体会导数在求极值中的应用.
4、能利用导数研究函数极值等相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：体会导数在求极值中的应用；
难点：能利用导数研究函数极值等相关的问题．
教学过程
基础知识积累
极大值
（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）.
（2）实质：，且在点附近的左侧 ，右侧 .
（3）极大值为 .
【友情提醒注意】极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．
2．极小值
（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增）.
（2）实质：，且在点附近的左侧 ，右侧 .
（3）极小值为 .
【友情提醒注意】函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．
3．极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为 极值点 ．
(2)极小值、极大值统称为 极值 ．
【课前预习思考】
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：不一定．例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．
(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？
提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.一个函数在一个区间的端点不能取得极值． B.一个函数在给定的区间上一定有极值．
C.函数极大值一定比极小值大． D.极值刻画的是函数的局部性质．
【答案】AD
【解析】A√.函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．
B×.在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点．
C×.极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
D√.极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
题2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) (　　 )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
【解析】选C.由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，
设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
题3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为 (　 　)
A．0 B． C． D．
【解析】选B.f′(x)＝1－2sin x．令f′(x)＝0，因为x∈，所以x＝，
当x∈时f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0.所以x＝是f(x)在上的极大值点．
【课堂题组训练】
类型一　求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)
题4．函数y＝2－x2－x3的极值情况是 (　 　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
【解析】选D.
由y′＝－2x－3x2，令y′＝0，得x1＝－，x2＝0.当x<－时，y′<0；当－0；
当x>0时，y′<0.故当x＝－时，函数y有极小值；当x＝0时，函数y有极大值．
题5．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　 　)
A．－3是f(x)的一个极小值点 B．－2和－1都是f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
【解析】选ACD.当x＜－3时，f′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，所以－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是(－3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3).
题6．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是 (　 　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
【解析】选BC.对于A，y′＝3x2≥0，所以y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，所以x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．
【解题策略提醒】
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
题7.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　 　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
【解析】选B.因为三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，所以y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1，3是y′＝0的两个根，所以 即
所以y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且当x＝1时，y极大值＝4，
当x＝3时，y极小值＝0，满足条件．
题8．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
【解析】由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表：
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：2
类型二　求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
四步 内容
理解题意 条件:函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)结论:(1)y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)函数f(x)的单调区间与极值点.
思路探求 (1)根据导数的几何意义及已知条件建立关于a,b的方程组,从而可求出a,b的值;(2)求单调区间时,要注意对参数a的讨论.
四步 内容
书写表达 (1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以即解得(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增f(－)单调递减f()单调递增因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
题后反思 利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．
【解题策略提醒】
已知函数的极值情况求参数时的注意问题
(1)待定系数法：根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
题10．若函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－a ln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
题11．已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值1，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
【解析】(1)因为f(x)在x＝2时的极小值是1，
所以f(2)＝1，即f(2)＝×23－(a＋2)×22＋4a＋＝1，解得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋2x＋，则f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).
当x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0.
满足函数f(x)在x＝2处取得极小值．故a＝1.
(2)由f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋，得f′(x)＝x2－(a＋2)x＋2a.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝a.
当a＝2时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<2时，由f′(x)>0，解得x2，由f′(x)<0，解得a所以函数f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减；
当a>2时，由f′(x)>0，解得x<2或x>a，由f′(x)<0，解得2所以函数f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．
综上：当a＝2时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<2时，函数f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减；
当a>2时，函数f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．
类型三　函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1　已知极值点求参数值　
【典例】题12.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．
【思路导引】先由x＝1处取得极值10，即f′(1)＝0且f(1)＝10，进而即可求出a，b的值．
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得即解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
答案：4　－11
题13.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求f(x)的极大值．
【解析】由典例可知f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
f′(x)＝3x2＋8x－11，显然，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以x＝－是f(x)的极大值点，其极大值为f＝60.
角度2　与参数相关的极值问题　
【典例】题14.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是____．
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解题策略提醒】
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．
题15．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【解析】因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln (－a)，又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
题16．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【解析】f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
【课堂检测达标】
题17．函数f(x)＝－的极值点为 (　 　)
A．0 B．－1 C．0或1 D．1
【解析】选D.因为f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，0＜x＜1时f′(x)＜0，所以1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．
题18．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是 (　 　)
A．x＝a是函数y＝f(x)的极小值点 B．当x＝－a或x＝b时，函数f(x)的值为0
C．函数y＝f(x)关于点(0，c)对称 D．函数y＝f(x)在(b，＋∞)上单调递增
【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知，A中，在x＝a附近，f′(x)<0，故x＝a不是极小值点；B中，导数为0时，函数值不一定为0；C中，导函数的对称性与原函数的对称性没有关系；D中，
当x＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
题19．设函数f(x)＝xex，则 (　 　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】选D.令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．
题20．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
【解析】由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex.
由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0.则f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e－2.
答案：0　4e－2
题21．求函数f(x)＝的极大值．
【解析】函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝，当00，当x>时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝.

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