资源简介

编号：038 课题:§5.3.4　导数在研究函数中的应用——生活中的优化问题举例
目标要求
1、理解生活中的优化问题．
2、掌握用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤.
3、能利用导数解决与函数有关的综合问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤；
难点：利用导数解决与函数有关的综合问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的最大值与最小值
前提 在函数定义域I内存在x0
条件 对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0) 对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)
结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值
【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤
第一步：求f(x)在(a，b)上的________；
第二步：将第一步中求得的极值与______________比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．
【课前预习思考】
结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．
【课堂题组训练】
类型一　平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)
【典例】题1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的 (　 　)
题2．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记S＝，则S的最小值是 (　 　)
A． B． C． D．
题3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
题4.如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝a km，矩形草坪CDEF的面积为f km2.
(1)求f，并写出定义域．
(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？
类型二　立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)
【典例】题5.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
题6.如图所示的某种容器的体积为90π cm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2.
(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域．
(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？
类型三　实际生活中的最值问题(数学建模)
角度1　用料最省、费用最少问题
【典例】题7.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 (　 　)
A．900元 B．840元 C．818元 D．816元
题8.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为8元， 则箱子的最低总造价为多少？
题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
角度2　利润最大问题
【典例】题10.树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函数g(x)的解析式．
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．
题11．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 (　 　)
A． B． C． D．
题12.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)，经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF.且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【课堂检测达标】
题13．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 (　 　)
A．4 m2 B．8 m2 C．12 m2 D．16 m2
题14．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．60
题15．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．
题16．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
编号：038 课题:§5.3.4　导数在研究函数中的应用——生活中的优化问题举例
目标要求
1、理解生活中的优化问题．
2、掌握用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤.
3、能利用导数解决与函数有关的综合问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤；
难点：利用导数解决与函数有关的综合问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的最大值与最小值
前提 在函数定义域I内存在x0
条件 对任意的x∈I，总有f(x) ≤ f(x0) 对任意的x∈I，总有f(x) ≥ f(x0)
结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值
【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤
第一步：求f(x)在(a，b)上的 极值 ；
第二步：将第一步中求得的极值与 f(a)，f(b) 比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．
【课前预习思考】
结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．
提示：最值可能出现在极值点或者区间端点处．
【课堂题组训练】
类型一　平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)
【典例】题1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的 (　 　)
【解析】选A.由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝
S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin x，其导数为f′(x)＝2－2cos x，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D.
题2．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记S＝，则S的最小值是 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选A.如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，则DE＝AD＝x m，
所以梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝(3－x)m，
又S△ADE＝x2(m2)，所以梯形的面积为(m2)，所以S＝×(0于是S′＝－×，
令S′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，S′＜0，S递减，当x∈时，S′＞0，S递增．故当x＝时，S的最小值是.
题3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
【思路导引】建立函数模型，应用导数求最值．
【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.
因为x>0，所以x＝16.当x>16时，L′>0，L递增，当0所以当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为32米．
答案：32米，16米
【解题策略提醒】
1．利用导数解决优化问题的基本思路
2.关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
题4.如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝a km，矩形草坪CDEF的面积为f km2.
(1)求f，并写出定义域．
(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？
【解析】(1)以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B作BG⊥OA于点G，在直角△ABG中，AB＝，∠OAB＝，所以AG＝BG＝1，又因为OA＝2，所以OG＝1，则B，设抛物线OCB的标准方程为y2＝2px，代入点B的坐标，得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x. 因为CD＝a，所以AE＝EF＝a，则DE＝2－a－a2，
所以f＝a＝－a3－a2＋2a，定义域为.
(2)f′＝－3a2－2a＋2，令f′＝0，得a＝.当00，f在上单调递增；
当类型二　立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)
【典例】题5.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)因为S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)根据题意有V＝(x)2(60－2x)＝2x2(30－x)(0由V′＝0得，x＝0(舍)或x＝20.
所以当x∈时V′＞0；当x∈时V′＜0，所以当x＝20时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为＝＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
【解题策略提醒】
关于立体几何中的最值问题
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际问题相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
题6.如图所示的某种容器的体积为90π cm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2.
(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域．
(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？
【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h1＝r，
圆锥的体积为V1＝πr2h1＝πr3，圆柱的体积为V2＝πr2h2.因为V1＋V2＝90π，所以V2＝πr2h2＝90π－πr3，所以h2＝＝－.因为V1＝πr3<90π，所以r<3.因此0所以h2＝－，定义域为{r|0(2)圆锥的侧面积S1＝πr·r＝πr2，圆柱的侧面积S2＝2πrh2，底面积S3＝πr2.
容器总造价为y＝aS1＋aS2＋2aS3＝2πr2a＋2πrh2a＋2πr2a＝2πa(r2＋rh2＋r2)
＝2πa＝.令f(r)＝r2＋，
则f′(r)＝2r－.令f′(r)＝0，得r＝3.
当00，f(r)在(3，3)上为单调递增的．因此，当且仅当r＝3时，f(r)有最小值，即y有最小值，为90πa元．
所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3 cm.
类型三　实际生活中的最值问题(数学建模)
角度1　用料最省、费用最少问题
【典例】题7.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 (　 　)
A．900元 B．840元 C．818元 D．816元
【思路导引】结合导数进行求解．
【解析】选D.设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得
l＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，l′＝72，
令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得最小值为816.
题8.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为8元， 则箱子的最低总造价为多少？
【解析】设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，
得l＝15×＋8×2＝240＋48，l′＝48，令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
当04时，l′>0.故当x＝4时，l取得最小值为624.
题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【思路导引】结合导数进行求解．
【解析】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
所以两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).
当05时，y′>0.所以当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
角度2　利润最大问题
【典例】题10.树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函数g(x)的解析式．
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．
【思路导引】(1)由题意将(3，10)代入函数解析式，建立方程，即可求出g(x)的解析式．
(2)商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
【解析】(1)由题意，10＝＋2(3－5)2，解得a＝2，故g(x)＝＋2(x－5)2(2＜x＜5).
(2)商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2＜x＜5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋ 2(x－5)2＝6(x－3)(x－5).列表得x，y，y′的变化情况：
x (2，3) 3 (3，5)
y′ ＋ 0 －
y 单调递增 极大值 单调递减
由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2，5)内的极大值点，也是最大值点．
【解题策略提醒】
解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
题11．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为k＝，由V＝h＝·kd＝kd3，
可得d＝，h＝kd＝，
设造价为y，则y＝2π··a＋πdh·b＝··k－＋πb··，
则y′＝··k－＋πb··，令y′＝0，解得k＝，可得此时y取得最小值．故当造价最低时锅炉的高与底面直径的比为.
题12.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)，经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF.且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【解析】(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A′，B′，
则AA′＝BB′＝－×403＋6×40＝160(米).
令a2＝160，得a＝80，所以AO′＝80，AB＝AO′＋BO′＝80＋40＝120(米).
(2)设O′E＝x，则CO′＝80－x，由，得0设总造价为y，则y＝＋k＝(x3－30x2＋160×800)，
y′＝(3x2－60x)＝x(x－20)，因为k>0，所以令y′＝0，得x＝0或x＝20，
所以当00，y单调递增．
所以，当x＝20时，y取最小值，即当O′E为20米时，造价最低．
【课堂检测达标】
题13．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 (　 　)
A．4 m2 B．8 m2 C．12 m2 D．16 m2
【解析】选D.设矩形一边长为x(0题14．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．60
【解析】选B.V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x，
令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且当0V′(x)>0，当40题15．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．
【解析】如图所示，则折叠后的长方体长为6－2x，宽为4－2x，高为x，
体积V＝x，x∈，则V＝x＝4，
V′＝4，令V′＝0，解得x＝，，
则当x∈时，V′>0，V单调递增，当x∈时，V′<0，V单调递减，所以当x＝时取到最大值．
答案：
题16．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝，(其中k为非零常数)，又生产100件这样的产品单价为50万元，所以502＝，故k＝250 000，记生产x件产品时，
总利润为f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，则f′(x)＝－x，由f′(x)>0得0225，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，因此当x＝225时，f(x)取得最大值．即产量定为225件时，总利润最大．
答案：225

展开更多......

收起↑