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编号：040 课题： §7.2.1.1 任意角的三角函数（一）
目标要求
1.理解三角函数的定义（坐标法和单位圆法）；
2.掌握定义法求三角函数值；
3.掌握三角函数值符号的应用；
4.会综合应用三角函数的概念解决问题．
重点难点
重点：三角函数值符号的应用；
难点：三角函数概念的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角的终边上异于原点,任取一点P(x,y),
它与原点的距离是r,则,根据三角函数定义
得出角的三角函数的正弦、余弦、正切.
.
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:.
【思考】
什么是单位圆
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
记忆口诀二:正弦上正下负、余弦右正左负、正切奇正偶负.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
【课前基础演练】
题1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题2．已知P(－1，t)在角α的终边上，若sin α＝，则t＝ (　 　)
A． B．－2 C．2 D．±2
题3．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P.若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　 　)
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
题4．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α等于 (　 　)
A．－1 B．1 C．－1或1 D．不能确定
题5．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
题6．判断下列各式的符号(填上“>”或“<”)：
(1)sin 328°____0；(2)cos π____0；(3)tan π____0.
题7．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
【课堂检测达标】
题8. 如果角θ的终边经过点，则tan θ＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
题9．若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是 (　 　)
A．tan α　　 B．sin α C．cos α D．都有意义
题10．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC的形状是 (　 　)
A．钝角三角形　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
题11．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋cos α的值等于 (　 　)
A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D．
题12．若角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，则sin α＝ (　 　)
A．－ B．－ C． D．－
题13．已知角α的终边上有异于原点的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为 (　 　)
A．P(sin α，cos α)　　 B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α)　　 D．P(r cos α，r sin α)
题14．(多选)在直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝，则m，n的值可能为 (　 　)
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2 C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
题15．(多选)若点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为(　　)
A．(，－1) B．(，1) C．(－，1) D．(－，－1)
二、填空题
题16．设角θ的终边经过点P(－3，4)，那么sin θ＋2cos θ＝________．
题17．若角α的终边经过点P(－m，6)，且cos α＝，则tan α＝________．
三、解答题
题18．判断下列各式的符号：
(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
题19．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【综合突破拔高】
题20．若角α的终边经过点P(－4，m)，且cos α＝－，则m的值为 (　 　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－5
题21．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是 (　 　)
A．tan A与cos B B．cos B与sin C C．sin C与tan A D．tan 与sin C
题22．若α为第二象限角，则－＝ (　 　)
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
题23．(多选)角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，则2sin α－cos α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
二、填空题
题24．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限．
题25.已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝________．
题26．若sin α＝－，且tan α>0，则cos α＝________.
题27．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则sin α＝________．
题28．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________，sin α＝__________．
三、解答题
题29．若已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，能否求出sin θ，tan θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
题30．(1)已知θ是第二象限角，试判断tan (sin θ)·tan (cos θ)的符号．
(2)若sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，则θ为第几象限角？
编号：040 课题： §7.2.1.1 任意角的三角函数（一）
目标要求
1.理解三角函数的定义（坐标法和单位圆法）；
2.掌握定义法求三角函数值；
3.掌握三角函数值符号的应用；
4.会综合应用三角函数的概念解决问题．
重点难点
重点：三角函数值符号的应用；
难点：三角函数概念的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角的终边上异于原点,任取一点P(x,y),
它与原点的距离是r,则,根据三角函数定义
得出角的三角函数的正弦、余弦、正切.
.
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么
提示:
如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:.
【思考】
什么是单位圆
提示:单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆.
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
记忆口诀二:正弦上正下负、余弦右正左负、正切奇正偶负.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
提示:三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从
原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号
由角的终边所在象限决定.
【课前基础演练】
题1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选B.由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
题2．已知P(－1，t)在角α的终边上，若sin α＝，则t＝ (　 　)
A． B．－2 C．2 D．±2
【解析】选C.因为sin α＝＝，显然t>0，所以t＝2.
题3．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P.若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　 　)
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
【解析】选A.由三角函数的定义可得P(cos θ，sin θ).
题4．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α等于 (　 　)
A．－1 B．1 C．－1或1 D．不能确定
【解析】选A.设P(a，－a)是角α终边上任意一点，若a>0，P点在第四象限，tan α＝＝－1，若a<0，P点在第二象限，tan α＝＝－1.
题5．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
【解析】cos α＝x＝，sin α＝y＝，故cos α＋sin α＝.
答案：
题6．判断下列各式的符号(填上“>”或“<”)：
(1)sin 328°____0；(2)cos π____0；(3)tan π____0.
【解析】(1)因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以sin 328°＜0.
(2)因为π<π<π，所以π在第三象限，所以cos π＜0.
(3)因为π<π<π，所以π在第二象限，所以tan π＜0.
答案：(1)<　(2)<　(3)<
题7．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为；
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，故kπ＋<(3)当在第二象限时，tan <0，sin >0，cos <0，所以tan sin cos >0，
当在第四象限时，tan <0，sin <0，cos >0，所以tan sin cos >0，
综上，tan sin cos 取正号．
【课堂检测达标】
题8. 如果角θ的终边经过点，则tan θ＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.由三角函数的定义可得tan θ＝＝－.
题9．若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是 (　 　)
A．tan α　　 B．sin α C．cos α D．都有意义
【解析】选A.由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义．
题10．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC的形状是 (　 　)
A．钝角三角形　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【解析】选A.因为A，B，C是△ABC的内角，所以sin A＞0.因为sin A·cos B·tan C＜0，
所以cos B·tan C＜0，所以cos B和tan C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．
题11．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋cos α的值等于 (　 　)
A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D．
【解析】选B.因为α的终边过点(12，－5)，所以r＝＝13，则sin α＝，cos α＝，
则sin α＋cos α＝－＋×＝－＋＝.
题12．若角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，则sin α＝ (　 　)
A．－ B．－ C． D．－
【解析】选C.
因为角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，可得P(1，1)，所以sin α＝＝.
题13．已知角α的终边上有异于原点的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为 (　 　)
A．P(sin α，cos α)　　 B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α)　　 D．P(r cos α，r sin α)
【解析】选D.设P(x，y)，则sin α＝，所以y＝r sin α，
又cos α＝，所以x＝r cos α，所以P(r cos α，r sin α).
题14．(多选)在直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝，则m，n的值可能为 (　 　)
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2 C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
【解析】选AB.根据任意角的三角函数定义，得＝，化简得m2＝4n2，
因为m＞0，n＞0，所以m＝2n，A，B选项适合．
题15．(多选)若点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为(　　)
A．(，－1) B．(，1) C．(－，1) D．(－，－1)
【解析】选AC.
点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，设点P的坐标为(a，b)，
则 a2＋b2＝4，且tan ＝－＝，求得a＝，b＝－1，或 a＝－，b＝1，
故点P的坐标为(，－1)或(－，1).
二、填空题
题16．设角θ的终边经过点P(－3，4)，那么sin θ＋2cos θ＝________．
【解析】由于角θ的终边经过点P(－3，4)，那么x＝－3，y＝4，r＝|OP|＝5，
所以sin θ＝＝，cos θ＝＝－，所以sin θ＋2cos θ＝－.
答案：－
题17．若角α的终边经过点P(－m，6)，且cos α＝，则tan α＝________．
【解析】6＞0，角α的终边一定在第一象限，且cos α＝，
所以sin α＝＝，tanα＝＝.
答案：
三、解答题
题18．判断下列各式的符号：
(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
【解析】(1)正；因为191°是第三象限角；所以tan 191°>0，cos 191°<0.所以tan 191°－cos 191°>0.
(2)正；因为＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，所以sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
所以sin 3·cos 4·tan 5＞0.
题19．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【解析】当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝OP＝5，所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝OP′＝5，所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
【综合突破拔高】
题20．若角α的终边经过点P(－4，m)，且cos α＝－，则m的值为 (　 　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－5
【解析】选C.因为cos α＝，故r＝＝＝5，所以m＝±3.
题21．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是 (　 　)
A．tan A与cos B B．cos B与sin C C．sin C与tan A D．tan 与sin C
【解析】选D.因为0＜A＜π，所以0＜＜，所以tan ＞0；又因为0＜C＜π，所以sin C＞0.
题22．若α为第二象限角，则－＝ (　 　)
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
【解析】选D.
由已知sin α>0，cos α<0，所以－＝－＝1＋1＝2.
题23．(多选)角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，则2sin α－cos α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选CD.因为α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，
当a＞0时，cos α＝＝，sin α＝＝，2sin α－cos α＝；
当a＜0时，cos α＝＝－，sin α＝＝－，2sin α－cos α＝－.
二、填空题
题24．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限．
【解题指南】根据点P在第二象限，求出sin θ＋cos θ和sin θcos θ的符号，再根据三角函数符号规律求出θ所在的象限．
【解析】由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，所以所以θ为第三象限角．
答案：三
题25.已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝________．
【解析】因为θ∈，所以cos θ＜0，
r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝＝.
答案：
题26．若sin α＝－，且tan α>0，则cos α＝________.
【解析】因为sin α<0，tan α>0，所以α是第三象限角．
设P(x，y)为α终边上一点，则x<0，y<0，r＝，
所以sin α＝＝－，r＝－y，因此cos α＝＝＝－.
答案：－
题27．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则sin α＝________．
【解析】因为r＝，所以cos α＝＝x.
又因为α是第二象限角，所以x<0，所以x＝－，所以sin α＝＝.
答案：
题28．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________，sin α＝__________．
【解析】因为y＝3x且sin α<0，所以点P(m，n)位于直线y＝3x第三象限部分的图象上，
所以m<0，n<0，且n＝3m，所以r＝OP＝＝|m|＝－m＝，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2，sin α＝＝＝－.
答案：2　－
三、解答题
题29．若已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，能否求出sin θ，tan θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
【解析】能求出sin θ，tan θ的值．因为角θ的终边过点P(x，3)，所以cos θ＝＝x.
因为x≠0，所以x＝1或x＝－1.
①当x＝1时，点P的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角，此时sin θ＝＝，tan θ＝3；
②当x＝－1时，点P的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时sin θ＝＝，tan θ＝－3.
题30．(1)已知θ是第二象限角，试判断tan (sin θ)·tan (cos θ)的符号．
(2)若sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，则θ为第几象限角？
【解析】(1)因为θ是第二象限角，所以0所以tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0.所以tan (sin θ)·tan (cos θ)<0.
(2)因为－<－1≤cos θ≤1<，－<－1≤sin θ≤1<，所以cos (sin θ)>0，故要使sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，则必有sin (cos θ)<0.所以cos θ<0，即θ为第二、三象限角或角θ终边在x轴的非正半轴上．
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