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编号：042 课题： §7.2.2 同角三角函数关系
目标要求
1.理解同角三角函数的两种关系；
2.利用同角三角函数的关系求特殊值；
3.利用同角三角函数的关系求值；
4.利用同角三角函数的关系化简证明．
重点难点
重点：利用同角三角函数的关系求值；
难点：利用同角三角函数的关系化简证明．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
同角三角函数关系
(1)基本关系式
平方关系 商数关系
公式表示 ________________
语言叙述 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一个角的正弦、余弦的商等于角的__________.
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么
【课前基础演练】
题1．下列各式中成立的是 (　 　)
A．sin2α＋cos2β＝1 B．tanα＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2 D．sinα＝
题2．已知α∈，cosα＝，则tan α＝ (　 　)
A．± B． C．－ D．
题3．若tan α＝2，则的值为 (　 　)
A．0 B． C．1 D．
题4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝______．
题5．已知sin α＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．
题6．已知sinα－cos α＝－，则sin αcos α＝________．
题7．求证：＝.
【课堂检测达标】
题8. 若cos α＝，且α在第四象限，则tan α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
题9．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ (　 　)
A． B． C． D．
题10．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 (　 　)
A．－ B．－ C． D．
题11．若α为第三象限角，则＋的值为 (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
题12．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcos θ的值为 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
题13．已知＝，则等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．2　 D．－2
题14．(多选)下列选项可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
题15．(多选)若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，则θ不可能位于 (　 　)
A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题16．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
题17．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为________．
题18．化简：(1)；
(2).
题19．若<α<2π，求证：＋＝－.
【综合突破拔高】
题20．若α∈，且cos 2α－sin α＝，则tan α的值等于 (　 　)
A．－ B． C． D．－
题21．已知＝2，则tan2α－3tanα＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－ D．－
题22．已知α为第二象限角，则＋＝ (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
题23．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的可取值为(　 　)
A．－　 B．－　 C．　 D．
题24．化简：(1－cos α)的结果是__________．
题25．已知＝，那么的值是________．
题26．若cos θ＋sin θ＝，θ∈(0，π)，则cos θsin θ－sin2θ＝________．
题27．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，则sin A cos A的值为____，tan A的值为________．
题28．求证：＝.
题29．(1)化简，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝.
【素养培优训练】
题30. 若sinθ＝，cos θ＝，则m的值为 (　 　)
A．0 B．8 C．0或8 D．3题31．若α为第二象限角，化简tanα·＝ (　 　)
A．1 B．2 C．－1 D．
题32．若sin α·cos α＝，0<α<，则sin α＋cos α的值是 (　 　)
A． B． C．－ D．
题33．已知＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 (　 　)
A．　　 B．－　 C. －2　 D．2
题34．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
题35．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cos β，则β的取值范围是(　 　)
A．　 B． C．　 D．
题36．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
题37．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
题38．化简：＝________．
题39．设a>0且a≠1，若loga(sinx－cos x)＝0，则sin 8x＋cos 8x＝______．
题40．已知tan α＝2，则＝________，＝________．
题41．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1).
(2).
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α.
题42．已知sinα＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值．(2)求sin α－cos α的值．
题43．化简：＋.
题44．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
编号：042 课题： §7.2.2 同角三角函数关系
目标要求
1.理解同角三角函数的两种关系；
2.利用同角三角函数的关系求特殊值；
3.利用同角三角函数的关系求值；
4.利用同角三角函数的关系化简证明．
重点难点
重点：利用同角三角函数的关系求值；
难点：利用同角三角函数的关系化简证明．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
同角三角函数关系
(1)基本关系式
平方关系 商数关系
公式表示 ____
语言叙述 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一个角的正弦、余弦的商等于角的__正切___.
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么
提示:一是“角相同”,如就不一定成立.二是对任意一个角(在
使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如
等.
【课前基础演练】
题1．下列各式中成立的是 (　 　)
A．sin2α＋cos2β＝1 B．tanα＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2 D．sinα＝
【解析】选C.A中不是同角；B中α≠kπ＋(k∈Z)；D中符号不能确定；只有C正确．
题2．已知α∈，cosα＝，则tan α＝ (　 　)
A．± B． C．－ D．
【解析】选A.因为cos α＝，且α∈，所以sin α＝±，所以tan α＝＝±.
题3．若tan α＝2，则的值为 (　 　)
A．0 B． C．1 D．
【解析】选B.＝＝.
题4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝______．
【解析】由题意得3sin α＝－cos α≠0，所以tan α＝－.
答案：－
题5．已知sin α＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．
【解析】由已知得cosα＝－＝－，所以sin α－2cos2α＝－2×＝－.
答案：－
题6．已知sinα－cos α＝－，则sin αcos α＝________．
【解析】由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，所以1－2sinαcos α＝，所以sin αcos α＝－.
答案：－
题7．求证：＝.
【证明】方法一：(切化弦)
左边＝＝，右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
方法二：(由右至左)
因为右边＝＝
＝＝＝＝左边，
所以原等式成立．
【课堂检测达标】
题8. 若cos α＝，且α在第四象限，则tan α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.
因为cos α＝，且α在第四象限，所以tan α＝－＝－＝－.
题9．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选B.
1＋sin θcos θ＝＝＝，
又tanθ＝2，所以1＋sin θcos θ＝＝.
题10．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 (　 　)
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
题11．若α为第三象限角，则＋的值为 (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【解析】选B.因为α为第三象限角，所以原式＝＋＝－3.
题12．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcos θ的值为 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
【解析】选A.θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝，又sinθcos θ>0，所以sin θcos θ＝.
题13．已知＝，则等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．2　 D．－2
【解析】选B.因为＝，
所以＝＝＝＝－.
题14．(多选)下列选项可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
【解析】选ABD.由基本关系式可逐个判断A，B，D正确，C不正确．
题15．(多选)若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，则θ不可能位于 (　 　)
A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选ABD.因为1＋sin θ＋cos θ·＝0，
所以1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0.当θ为第一象限角时，1＋sin2θ＋cos2θ＝2；
当θ为第二象限角时，1＋sin2θ－cos2θ＝2sin2θ>0；当θ为第三象限角时，1－sin2θ－cos2θ＝1－1＝0；
当θ为第四象限角时，1－sin2θ＋cos2θ＝2cos2θ>0，则θ不可能是第一、二、四象限角．
【光速解题】在第一、二、三、四象限内分别取一个特殊角，代入验证，即可得到答案．
题16．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
【解析】由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，
解得sinα＝.又sin α＝cos2α>0，所以sinα＝.
答案：
题17．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为________．
【解析】因为tanθ＝2，
所以＋sin2θ＝＋＝＋＝＋＝.
答案：
题18．化简：(1)；
(2).
【解析】(1)原式＝＝
＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
题19．若<α<2π，求证：＋＝－.
【证明】因为<α<2π，所以sin α<0.
左边＝＋
＝＋＝＋
＝－－＝－＝右边．所以原等式成立．
【综合突破拔高】
题20．若α∈，且cos 2α－sin α＝，则tan α的值等于 (　 　)
A．－ B． C． D．－
【解析】选A.cos 2α－sin α＝等价于1－sin 2α－sin α＝，即4sin 2α＋4sin α－3＝0，
分解因式得＝0，则sin α＝或－(舍)，
因为α∈，所以cos α＝－，tan α＝－.
题21．已知＝2，则tan2α－3tanα＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－ D．－
【解析】选C.
＝＝2，解得tan α＝，所以tan2α－3tanα＝－3×＝－.
题22．已知α为第二象限角，则＋＝ (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【解析】选C.由题意，＋＝＋，因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以＋＝＋＝2－1＝1.
题23．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的可取值为(　 　)
A．－　 B．－　 C．　 D．
【解析】选BC.因为α是三角形内角，所以α∈(0，π)，
又因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，
解得2sin αcos α＝，因为sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α－cos α符号不确定，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，
所以sin α－cos α＝±.
题24．化简：(1－cos α)的结果是__________．
【解析】原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.
答案：sin α
题25．已知＝，那么的值是________．
【解析】因为sin2x＋cos2x＝1，即cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)(1－sin x)，所以＝.
因为＝，所以＝－.
答案：－
题26．若cos θ＋sin θ＝，θ∈(0，π)，则cos θsin θ－sin2θ＝________．
【解析】因为cosθ＋sin θ＝，①所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝，
解得2sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，sin θ＞0，可得cos θ＜0，所以cos θ－sin θ＜0，
所以cos θ－sin θ＝－＝－＝－＝－，②
所以联立①②解得：sin θ＝，cos θ＝－，所以cos θsin θ－sin2θ＝sinθ(cos θ－sin θ)＝－.
答案：－
题27．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，则sin A cos A的值为____，tan A的值为________．
【解析】已知sin A＋cos A＝，则(sin A＋cos A)2＝，整理得：1＋2sin A cos A＝，解得：
sin A cos A＝－，所以解得或(舍去)，
故tan A＝－.
答案：－　－
题28．求证：＝.
【证明】左边＝＝
＝＝
＝＝＝右边，所以原等式成立．
题29．(1)化简，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝.
【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，
所以＝＝＝－sinαcos α.
(2)1＋tan2α＝1＋＝＝.
【素养培优训练】
题30. 若sinθ＝，cos θ＝，则m的值为 (　 　)
A．0 B．8 C．0或8 D．3【解析】选C.由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.
题31．若α为第二象限角，化简tanα·＝ (　 　)
A．1 B．2 C．－1 D．
【解析】选C.tanα·＝tanα·＝·.
因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝·＝－1.
题32．若sin α·cos α＝，0<α<，则sin α＋cos α的值是 (　 　)
A． B． C．－ D．
【解析】选D.因为0<α<，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α＋cos α＝＝＝＝.
题33．已知＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 (　 　)
A．　　 B．－　 C. －2　 D．2
【解析】选A.由＝5得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，
所以tan α＝2，所以sin2α－sinαcos α＝＝＝＝.
题34．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选B.由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，所以sin α·cos α＝－＜0.
因为α为三角形的一个内角，所以0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以α∈，所以这个三角形是钝角三角形．
题35．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cos β，则β的取值范围是(　 　)
A．　 B． C．　 D．
【解析】选B.因为＋＝＋＝|sinβ|＋|cos β|＝sin β－cos β，所以sin β≥0，cos β≤0，所以β在第二象限或在x轴负半轴或在y轴正半轴上．因为0≤β＜2π，所以β∈，所以应选B.
【误区警示】解答本题时要注意判断角的范围．
题36．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
【解析】选AB.因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，故B正确，tan α＝＝，故A正确，sin α＋cos α＝＋＝，sin α－cos α＝－＝，故C，D错误．
题37．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
【解析】选CD.因为tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，
整理得sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2y·cos2x，
所以－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，
则1－cos 2x－sin 2y＋sin 2y·cos 2x－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，即sin 2y＝1－2cos 2x＝2sin 2x－1，所以C，D正确．
题38．化简：＝________．
【解析】原式＝＝
＝＝＝sin2α.
答案：sin2α
题39．设a>0且a≠1，若loga(sinx－cos x)＝0，则sin 8x＋cos 8x＝______．
【解析】设a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，所以sin x－cos x＝a0＝1，
所以2＝sin 2x＋cos 2x－2sin x cos x＝1，又sin 2x＋cos 2x＝1，所以sin x cos x＝0，
又由2＝sin 4x＋cos 4x＋2sin 2xcos 2x＝1，则sin 4x＋cos 4x＝1，
所以sin 8x＋cos 8x＝2－2sin 4xcos 4x＝2＝1.
答案：1
题40．已知tan α＝2，则＝________，＝________．
【解析】＝＝＝.
＝＝＝1.
答案：　1
题41．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1).
(2).
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α.
【解析】因为tanα＝2，
(1)＝＝＝－.
(2)＝＝＝.
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
题42．已知sinα＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值．(2)求sin α－cos α的值．
【解析】(1)
由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－.
(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0sin α－cos α＞0.
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.
题43．化简：＋.
【解析】
原式＝＋＝＋.
因为α∈，所以∈，所以cos －sin ＞0，sin ＋cos ＞0，
所以上式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .
题44．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
【解析】(1)由题意，得所以＋
＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
(3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或又θ∈(0，2π)，所以θ＝或.
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