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编号：043 课题： §7.2.3.1 三角函数的诱导公式（一）
目标要求
1.理解并掌握诱导公式（一）—（四）；
2.掌握给角求值问题；
3.理解并掌握给值（式）求值问题；
4.掌握化简求值问题．
重点难点
重点：给值（式）求值问题；
难点：化简求值问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
诱导公式
(1)诱导公式一
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(2)诱导公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
终边关系 角与角的终边关于x轴对称. 角与角的终边关于y轴对称. 角与角的终边关于原点对称.
图形
公式二 公式三 公式四
公式 ,, ,, ,,
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗
【课前基础演练】
题1．tan 等于 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
题2．cos (－690°)的值为 (　　 )
A． B． C．－ D．－
题3．sin 600°的值为 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
题4．sin 240°＋cos (－150°)的值为 (　 　)
A．－　 B．－1　 C．1　 D．
题5．若cos (π－α)＝，则cos α＝________．
题6．sin 585°＝________．
题7．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
【课堂检测达标】
题8. 以下四种化简过程，其中正确的有 (　 　)
①sin(360°＋200°)＝sin 200°； ②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°； ④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题9.下列各式不正确的是 (　 　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
题10．求值tan (－1 140°)＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
题11．点P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题12．已知α∈，tan α＝－，则sin (α＋π)＝ (　 　)
A．　 B．－　 C． D．－
题13．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是 (　 　)
A．4　 B．±4　 C．－4　 D．
题14．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin (－π)，则a，b，c的大小关系是(　 　)
A．b>a>c　 B．a>b>c C．b>c>a　 D．a>c>b
题15．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
题16．(多选)已知cos (π－α)＝－，则sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
题17．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－θ)的值为________．
题18.的值等于________．
题19．化简下列各式．
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
题20．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【综合突破拔高】
题21．已知sin ＝，则sin 的值为 (　 　)
A． B．－ C． D．－
题22．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　 　)
A． B． C． D．－
题23．设f(α)＝，则f的值为(　 　)
A． B．－ C． D．－
题24．（多选）在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是 (　 　)
A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
题25．化简＝________．
题26．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________．
题27．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零实数，
又f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为________．
题28．已知角α的终边经过点P(3t，1)，且cos (π＋α)＝，则tan α的值为________，t的值为________．
题29．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
题30．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求＋的值．
编号：043 课题： §7.2.3.1 三角函数的诱导公式（一）
目标要求
1.理解并掌握诱导公式（一）—（四）；
2.掌握给角求值问题；
3.理解并掌握给值（式）求值问题；
4.掌握化简求值问题．
重点难点
重点：给值（式）求值问题；
难点：化简求值问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
诱导公式
(1)诱导公式一
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(2)诱导公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
终边关系 角与角的终边关于x轴对称. 角与角的终边关于y轴对称. 角与角的终边关于原点对称.
图形
公式二 公式三 公式四
公式 ,, ,, ,,
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗
提示:有,记忆口诀为:“函数名不变,符号看象限”.
【课前基础演练】
题1．tan 等于 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】选C.tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－.
题2．cos (－690°)的值为 (　　 )
A． B． C．－ D．－
【解析】选A.cos (－690°)＝cos (－690°＋720°)＝cos 30°＝.
题3．sin 600°的值为 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】选A.sin 600°＝sin (720°－120°)＝－sin 120°＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－.
题4．sin 240°＋cos (－150°)的值为 (　 　)
A．－　 B．－1　 C．1　 D．
【解析】选A.原式＝sin (180°＋60°)＋cos 150°＝－sin 60°＋cos (180°－30°)
＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－.
题5．若cos (π－α)＝，则cos α＝________．
【解析】因为cos (π－α)＝－cos α＝，所以cos α＝－.
答案：－
题6．sin 585°＝________．
【解析】sin 585°＝sin (360°＋180°＋45°)＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
答案：－
题7．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
【解析】因为cos＝cos ＝－cos ＝－，sin2＝
sin2＝1－cos2＝，所以cos－sin2＝－－＝－.
【课堂检测达标】
题8. 以下四种化简过程，其中正确的有 (　 　)
①sin(360°＋200°)＝sin 200°； ②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°； ④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.由诱导公式知①正确，②③④错误．
题9.下列各式不正确的是 (　 　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
【解析】选B.由诱导公式知cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B不正确．
题10．求值tan (－1 140°)＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
【解析】选D.tan (－1 140°)＝－tan 1 140°＝－tan (6×180°＋60°)＝－tan 60°＝－.
题11．点P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选C.2 019°＝6×360°－141°，所以cos 2 019°＝cos (－141°)＝cos 141°<0，
sin 2 019°＝sin (－141°)＝－sin 141°<0，所以点P在第三象限．
题12．已知α∈，tan α＝－，则sin (α＋π)＝ (　 　)
A．　 B．－　 C． D．－
【解析】选B.
因为sin (α＋π)＝－sin α，且tan α＝－，α∈，所以sin α＝，则sin (α＋π)＝－.
题13．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是 (　 　)
A．4　 B．±4　 C．－4　 D．
【解析】选C.由题意，得tan 600°＝，
则a＝－4·tan 600°＝－4tan (3×180°＋60°)＝－4tan 60°＝－4.
题14．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin (－π)，则a，b，c的大小关系是(　 　)
A．b>a>c　 B．a>b>c C．b>c>a　 D．a>c>b
【解析】选A.a＝tan ＝－tan ＝－；b＝cos π＝cos ＝；
c＝sin ＝－sin ＝－，所以b＞a＞c.
题15．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
【解析】选CD.sin (－x)＝－sin x，故A不成立；tan (2π－x)＝tan (－x)＝－tan x，故B不成立；
tan (x＋π)＝tan x，故C成立；cos (x－π)＝－cos x，故D成立．
题16．(多选)已知cos (π－α)＝－，则sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
【解析】选AB.因为cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以α为第一或第四象限角，
所以sin α＝±＝±，所以sin(－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝±.
题17．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－θ)的值为________．
【解析】由三角函数定义知，cos θ＝－，
所以cos (π－θ)＝－ cos θ＝.
答案：
题18.的值等于________．
【解析】原式＝
＝＝＝＝－2.
答案：－2
题19．化简下列各式．
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
【解析】(1)sin cos π＝－sin cos ＝sin cos ＝.
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°) ＝－sin (180°＋60°＋2×360°)
cos (30°＋4×360°)＋cos (180°＋60°)sin (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
题20．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【解析】因为cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
所以sin (α－75°)＝－＝－＝－，
所以sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝.
【综合突破拔高】
题21．已知sin ＝，则sin 的值为 (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选C.sin ＝sin ＝－sin ＝sin ＝.
题22．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　 　)
A． B． C． D．－
【解析】选A.因为sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
所以sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝＝.
题23．设f(α)＝，则f的值为(　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.f(α)＝＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
题24．（多选）在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是 (　 　)
A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
【解析】选BC.A中sin (A＋B)＋sin C＝2sin C；B中cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C中sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D中cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C
＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
题25．化简＝________．
【解析】原式＝＝＝1.
答案：1
题26．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________．
【解析】因为cos 1°＋cos 179°＝cos 1°＋(－cos 1°)＝0，
cos 2°＋cos 178°＝cos 2°＋(－cos 2°)＝0，…所以原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋
(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋cos 90°＋cos 180°＝cos 180°＝－1.
答案：－1
题27．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零实数，又f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为________．
【解析】f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β) ＝a sin (2 020π＋π＋α)＋
b cos (2 020π＋π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)
＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)，因为f(2 021)＝－1，
所以a sin α＋b cos β＝1.
所以f(2 022)＝a sin (2 022π＋α)＋b cos (2 022π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.
答案：1
题28．已知角α的终边经过点P(3t，1)，且cos (π＋α)＝，则tan α的值为________，t的值为________．
【解析】因为cos (π＋α)＝，所以－cos α＝，即cos α＝－，所以α在第二或第三象限，
又因为角α的终边经过点P(3t，1)，所以α在第二象限，所以sin α＝＝，
所以tan α＝－，由正切函数的定义可得tan α＝－＝，所以t＝－.
答案：－　－
题29．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin (α－π)＝－sin α＝，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因为－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－.
题30．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求＋的值．
【解析】(1)在直线4x－3y＝0上任取一点
P(m≠0)，由已知角α的终边过点
P，所以x＝m，y＝m，r＝＝＝.
利用诱导公式与三角函数定义可得sin (α＋π)＝－sin α＝－＝－，
当m>0时，sin (α＋π)＝－；当m<0时，sin (α＋π)＝.
(2)原式＝＋＝＋＝
＝＝sin α＋cos α
同理(1)利用三角函数定义可得：cos α＝＝，
当m>0时，sin α＝，cos α＝，此时原式＝；当m<0时，sin α＝－，cos α＝－，
此时原式＝－.
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