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编号：044 课题： §7.2.3.2 三角函数的诱导公式（二）
目标要求
1.理解并掌握诱导公式（五）—（六）；
2.会利用诱导公式求值；
3.会利用诱导公式证明恒等式；
4.掌握诱导公式的综合应用问题．
重点难点
重点：利用诱导公式证明恒等式；
难点：诱导公式的综合应用问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
公式五 公式六
终边关系 角与角 的终边关于直线对称. 角与角的终边垂直.
图形
公式 ,. ,.
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律
提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限.
【课前基础演练】
题1．已知sin 40°＝a，则cos 50°等于 (　 　)
A．±a B．－a C．a D．
题2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝ (　 　)
A．a B．－a C． D．－
题3．已知sin ＝，则cos ＝ (　 　)
A．－ B． C．－ D．
题4．已知tan θ＝2，则＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．
题5．已知sin 19°55′＝m，则cos (－70°5′)＝________．
题6．化简sin ＝________．
题7．已知tan (3π＋α)＝2，
求的值．
【课堂检测达标】
题8. 若sin <0，且cos >0，则θ是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题9．已知sin ＝，则cos 的值是 (　 　)
A．－ B． C． D．－
题10．在△ABC中，下列四个关系中正确的有 (　 　)
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；③sin ＝sin ；④cos ＝sin .
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题11．已知sin ＝，则cos 等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
题12．化简：等于 (　 　)
A．－sin θ　 B．sin θ　 C．cos θ　 D．－cos θ
题13．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为(　　)
A．－　　 B．－　　 C．　　 D．
题14．(多选)下列与cos 的值相等的是 (　 　)
A．sin (π－θ)　　　B．sin (π＋θ) C．cos 　 D．cos
题15．(多选)已知3sin －sin ＝－，则cos α－sin α的取值可以为(　 　)
A． B． C．－ D．
题16．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________．
题17．化简：sin(450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
题18．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
题19．已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)若cos ＝，求f(α)的值．
(2)求函数y＝f2(x)＋sin x，x∈的值域．
【综合突破拔高】
题20．在△ABC中，若cos ＝，则cos 的值为 (　 　)
A．±　 B．±　 C．　 D．
题21．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝ (　 　)
A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
题22．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是 (　 　)
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x C．f(π－x)＝－f(x) D．f＝－cos x
题23．已知α是第三象限角，且cos (85°＋α)＝，则sin (α－95°)＝________．
题24．已知α的终边与单位圆交于点P，点P关于直线y＝x对称后的点为M，点M关于y轴对称后的点为N，设角β终边为射线ON.
(1)β与α的关系为________；
(2)若sin α＝，则tan β＝________．
题25．已知cos (75°＋α)＝，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
题26．已知cos ＝，则cos ＝__________，sin ＝________．
题27．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，
求·tan 2(π－α)的值．
题28．已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
编号：044 课题： §7.2.3.2 三角函数的诱导公式（二）
目标要求
1.理解并掌握诱导公式（五）—（六）；
2.会利用诱导公式求值；
3.会利用诱导公式证明恒等式；
4.掌握诱导公式的综合应用问题．
重点难点
重点：利用诱导公式证明恒等式；
难点：诱导公式的综合应用问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
公式五 公式六
终边关系 角与角 的终边关于直线对称. 角与角的终边垂直.
图形
公式 ,. ,.
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律
提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限.
【课前基础演练】
题1．已知sin 40°＝a，则cos 50°等于 (　 　)
A．±a B．－a C．a D．
【解析】选C.cos 50°＝cos (90°－40°)＝sin 40°＝a.
题2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝ (　 　)
A．a B．－a C． D．－
【解析】选B.cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.
题3．已知sin ＝，则cos ＝ (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】选A.sin ＝，即为sin ＝－，
即有sin ＝－，即cos ＝－.
题4．已知tan θ＝2，则＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．
【解析】选C.＝＝＝＝－2.
题5．已知sin 19°55′＝m，则cos (－70°5′)＝________．
【解析】cos (－70°5′)＝cos 70°5′＝cos (90°－19°55′)＝sin 19°55′＝m.
答案：m
题6．化简sin ＝________．
【解析】sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α.
答案：－cos α
题7．已知tan (3π＋α)＝2，
求的值．
【解析】由tan (3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝＝＝＝＝2.
【课堂检测达标】
题8. 若sin <0，且cos >0，则θ是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选B.因为sin <0，所以cos θ<0，即θ是第二或第三象限角或终边在x的负半轴．
因为cos >0，所以sin θ>0.即θ是第一或第二象限角或终边在y轴的正半轴上．
综上θ是第二象限角．
题9．已知sin ＝，则cos 的值是 (　 　)
A．－ B． C． D．－
【解析】选C.cos ＝cos ＝sin ＝.
题10．在△ABC中，下列四个关系中正确的有 (　 　)
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；③sin ＝sin ；④cos ＝sin .
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选C.因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故①正确；
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故②错误；sin ＝sin ＝cos ，故③错误；
cos ＝cos ＝sin ，故④正确．综上，①④正确．
题11．已知sin ＝，则cos 等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
【解析】选D.cos ＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.
题12．化简：等于 (　 　)
A．－sin θ　 B．sin θ　 C．cos θ　 D．－cos θ
【解析】选A.
原式＝＝＝－sin θ.
题13．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为(　　)
A．－　　 B．－　　 C．　　 D．
【解析】选B.由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，
得sin α＝，cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
题14．(多选)下列与cos 的值相等的是 (　 　)
A．sin (π－θ)　　　B．sin (π＋θ) C．cos 　 D．cos
【解析】选BD.因为cos ＝－cos ＝－sin θ，sin (π－θ)＝sin θ，
sin (π＋θ)＝－sin θ，cos ＝sin θ，cos ＝－sin θ，
所以B，D项与cos 的值相等．
题15．(多选)已知3sin －sin ＝－，则cos α－sin α的取值可以为(　 　)
A． B． C．－ D．
【解析】选CD.由题意3sin －sin ＝3cos α＋sin α＝－，
由解得或
当时，cos α－sin α＝，当时，cos α－sin α＝－.
题16．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________．
【解析】原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
题17．化简：sin(450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
【解析】原式＝sin (90°－α)－sin α＋cos (90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.
答案：0
题18．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
【解析】由sin(π－α)－cos (π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，
两边平方整理得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－，
所以cos α－sin α＝±＝±＝±＝±，
(1)sin cos ＝sin cos ＝－sin sin α
＝－sin αcos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cosα－sin α)(cos2α＋cosαsin α＋sin2α)
＝×＝±.
题19．已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)若cos ＝，求f(α)的值．
(2)求函数y＝f2(x)＋sin x，x∈的值域．
【解析】(1)因为α是第三象限角，cos ＝＝－sin α，所以sin α＝－，
所以f(α)＝
＝＝－cos α＝＝.
(2)因为x∈，所以sinx∈，函数y＝f2(x)＋sin x＝1－sin2x＋sinx＝－，故当sin x＝时，函数取得最大值为；当sin x＝－时，函数取得最小值为，故该函数的值域为.
【综合突破拔高】
题20．在△ABC中，若cos ＝，则cos 的值为 (　 　)
A．±　 B．±　 C．　 D．
【解析】选C.在△ABC中A＋B＋C＝π，所以＝－，
所以cos ＝cos ＝sin ＝.又∈，所以cos ＝.
题21．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝ (　 　)
A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
【解析】选C.f(cos x)＝f＝3－cos (π－2x)＝3＋cos 2x.
题22．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是 (　 　)
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x C．f(π－x)＝－f(x) D．f＝－cos x
【解析】选D.f(x＋π)＝sin (x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin (2π－x)＝sin (－x)＝－sin x；
f＝sin ＝－sin ＝－cos x；f(π－x)＝sin (π－x)＝sin x＝f(x).
题23．已知α是第三象限角，且cos (85°＋α)＝，则sin (α－95°)＝________．
【解析】因为α是第三象限角，cos (85°＋α)＝>0，所以85°＋α是第四象限角．
所以sin (85°＋α)＝－，
sin (α－95°)＝sin (85°＋α－180°)＝－sin [180°－(85°＋α)]＝－sin (85°＋α)＝.
答案：
题24．已知α的终边与单位圆交于点P，点P关于直线y＝x对称后的点为M，点M关于y轴对称后的点为N，设角β终边为射线ON.
(1)β与α的关系为________；
(2)若sin α＝，则tan β＝________．
【解析】(1)由题意可得：点P为单位圆上的点，并且以射线OP为终边的角的大小为α，所以P(cos α，sin α), 又因为P，M 两点关于直线y＝x 对称，所以M(sin α，cos α).
即M.即β＝α＋.
(2)因为β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α＝－，因为0<α<，所以sin β＝sin ＝cos α＝，故tan β＝＝－2.
答案：(1)β＝α＋　(2)－2
题25．已知cos (75°＋α)＝，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
【解析】sin (α－15°)＋cos (105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)]
＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos (75°＋α)＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)
＝－2cos (75°＋α)，因为cos (75°＋α)＝，所以原式＝－.
答案：－
题26．已知cos ＝，则cos ＝__________，sin ＝________．
【解析】cos ＝cos ＝－cos ＝－.
sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝cos ＝.
答案：－　
题27．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，
求·tan 2(π－α)的值．
【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－.
题28．已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
【解析】(1)f＝＝－cos α.
(2)f＝－cos ＝sin α，因为f·f＝－，
所以cos α·sin α＝，可得2＝，结合≤α≤，cos α>sin α，
所以f＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由(2)得f＝2f，即为sin α＝－2cos α，联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝，
所以f·f＝－sin αcos α＝2cos 2α＝.
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