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编号：038 课题:§7.1.1 任意角
目标要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和终边相同的角的集合表示；
3.会表示终边相同的角；
4.理解并掌握象限角及其应用．
重点难点
重点：终边相同的角的表示及应用；
难点：象限角及其应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.任意角
(1)角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点,按________方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点,按________方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转
(2)本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3)应用:可以定义任意的旋转角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴_________,建立平面直角坐标系,这样,角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是____________.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
(1)定义:所有与角α终边相同的角,连同角α在内.
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本质:表示成角α与整数个周角的和.
4.轴线角
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____________________________；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：______________________________；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：______________________________；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_______________________________；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_______________________________.
5.象限角
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_______________________________,
②________________________________；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________.
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相
同的角
【课前基础演练】
题1.在下列说法中，正确的是 (　 　)
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
题2．与－30°角终边相同的角是 (　 　)
A．30° B．330° C．－330° D．150°
题3．与－457°角终边相同的角的集合是 (　 　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
题4．若α是第一象限角，则－是 (　 　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
题5．下面与－850°12′终边相同的角的是________．
①230°12′　②229°48′　③129°48′　④130°12′
题6．在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角为________，它是第________象限角．
题7．如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【课堂检测达标】
题8. 下列各组角中，终边相同的角是 (　 　)
A．－145°，585° B．45°，585° C．225°，585° D．315°，585°
题9．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
题10．若α是第四象限角，则180°－α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题11．2 021°是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题12．与－463°角终边相同的角可表示为 (　 　)
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
题13．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(如图阴影部分)正确的是 (　 　)
题14．(多选)下列与412°角的终边相同的角是 (　 　)
A．52°　　 B．778° C．－308°　 D．1 132°
题15．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是 (　 　)
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
二、填空题
题16．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
题17．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为________．
三、解答题
题18．在[0，4π]内找出与角终边相同的角．
题19．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
【综合突破拔高】
题20．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是 (　 　)
A．120° B．60° C．180° D．240°
题21.终边在第三象限，则θ的终边可能在 (　 　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或y轴非负半轴上 D．第三、四象限或y轴非正半轴上
题22．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在 (　 　)
A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上 C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
二、填空题
题23．(多选)如果角α的终边在第三象限，那么的终边可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题24．已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝__________.
题25．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在第______象限．
题26．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，则θ＝________．
题27．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________．
三、解答题
题28．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
题29．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
编号：038 课题:§7.1.1 任意角
目标要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和终边相同的角的集合表示；
3.会表示终边相同的角；
4.理解并掌握象限角及其应用．
重点难点
重点：终边相同的角的表示及应用；
难点：象限角及其应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.任意角
(1)角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点,按____逆时针___方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点,按___顺时针____方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转
(2)本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3)应用:可以定义任意的旋转角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴____正半轴___,建立平面直角坐标系,这样,角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是____第几象限角_____.如果角的终边在坐标
轴上,称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
(1)定义:所有与角α终边相同的角,连同角α在内.
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本质:表示成角α与整数个周角的和.
4.轴线角
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_____.
5.象限角
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相
同的角
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数
个周角,即角α,β终边相同.
【课前基础演练】
题1.在下列说法中，正确的是 (　 　)
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】选D.
①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．
题2．与－30°角终边相同的角是 (　 　)
A．30° B．330° C．－330° D．150°
【解析】选B.与－30°角终边相同的角连同－30°在内，可表示为－30°＋k·360°，令k＝1得，选项B正确．
题3．与－457°角终边相同的角的集合是 (　 　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【解析】选C.－457°＝－2×360°＋263°，所以与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．
题4．若α是第一象限角，则－是 (　 　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
【解析】选D.因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，所以是第一、三象限角，
又因为－与的终边关于x轴对称，所以－是第二、四象限角．
题5．下面与－850°12′终边相同的角的是________．
①230°12′　②229°48′　③129°48′　④130°12′
【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′，其他都不是．
答案：②
题6．在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角为________，它是第________象限角．
【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′终边相同的角是129°48′，所以它是第二象限角．
答案：129°48′　 二
题7．如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角．
(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序．
【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
【课堂检测达标】
题8. 下列各组角中，终边相同的角是 (　 　)
A．－145°，585° B．45°，585° C．225°，585° D．315°，585°
【解析】选C.－145°－585°＝－730°＝－360°×2－10°，故A错误；
45°－585°＝－540°＝－360°－180°，故B错误；
225°－585°＝－360°，故C正确；315°－585°＝－270°，故D错误．
题9．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
【解析】选B.－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.
题10．若α是第四象限角，则180°－α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
题11．2 021°是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选C.2 021°＝5×360°＋221°，且180°<221°<270°，所以2 021°是第三象限角．
题12．与－463°角终边相同的角可表示为 (　 　)
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
【解析】选C.因为－463°＝257°＋(－2)×360°，
所以与－463°角终边相同的角可表示为k·360°＋257°(k∈Z).
题13．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(如图阴影部分)正确的是 (　 　)
【解析】选C.令k＝0得，45°≤α≤90°，排除B、D，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A.
题14．(多选)下列与412°角的终边相同的角是 (　 　)
A．52°　　 B．778° C．－308°　 D．1 132°
【解析】选ACD.因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°；当k＝4时，β＝1 492°.
题15．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是 (　 　)
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
【解析】选ABC.A中，160°是第二象限角；
B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；
C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
【误区警示】判断角所在的象限时，先在0°～360°内找到与已知角终边相同的角，判断这个角所在的象限，即原角所在的象限．
二、填空题
题16．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
【解析】与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k·360°(k∈Z).
当k＝－5时，219°为最小正角；
当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．
答案：219°　－141°
题17．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为________．
【解析】如图，
－80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．
答案：{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}
三、解答题
题18．在[0，4π]内找出与角终边相同的角．
【解析】因为与角度2kπ＋(k∈Z)的终边相同，故令0≤2kπ＋≤4π，解得k∈，又k∈Z，故可得k＝0或1.故与角度终边相同的角为2π＋＝.
题19．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
【解析】(1)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，
因此所有与0°角的终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，
而所有与180°角的终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．
于是，终边落在x轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
【综合突破拔高】
题20．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是 (　 　)
A．120° B．60° C．180° D．240°
【解析】选D.因为与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.
题21.终边在第三象限，则θ的终边可能在 (　 　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或y轴非负半轴上 D．第三、四象限或y轴非正半轴上
【解析】选C.因为终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，
所以360°＋2k·360°＜θ＜540°＋2k·360°，k∈Z.
(2k＋1)·360°＜θ＜180°＋(2k＋1)·360°，k∈Z.
所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴上．
题22．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在 (　 　)
A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上 C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
【解析】选C.令k＝1，2，3，4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z.
二、填空题
题23．(多选)如果角α的终边在第三象限，那么的终边可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选ACD.因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·120°＋60°<分别取k＝0，1，2，3，…，可得的终边分别在第一、第三、第四、第一、…象限，均不过第二象限；
取k＝－1，－2，－3，…时，的终边分别在第四、第三、第一、…象限，均不过第二象限．
题24．已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝__________.
【解题指南】结合图象，找出一个角后表示．
【解析】－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
答案：－30°＋k·360°，k∈Z
题25．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在第______象限．
【解析】因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以角α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，
所以α－150°的终边在第二象限．
答案：二
题26．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，则θ＝________．
【解题指南】因为2 s到达第三象限，所以k·360°＋180°<2θ又因为经过14 s后又回到了出发点，所以14θ＝n·360°(n∈Z).
【解析】因为0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又因为14θ＝n·360°(n∈Z)，所以θ＝°，
从而90°<°<135°，所以当n＝4时，θ＝°；当n＝5时，θ＝°.
答案：°或°
题27．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________．
【解析】因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
答案：－150°
三、解答题
题28．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
因为－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，所以3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
题29．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
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