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编号：039 课题:§7.1.2 弧度制
目标要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制与弧度制的换算；
3.会利用弧度制表示角；
4.会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题．
重点难点
重点：弧度制表示角；
难点：扇形的弧长公式及面积公式．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:长度等于______________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度记作1 rad.
③角的弧度数由角的大小唯一确定,而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关.
④用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么,|α|=________.
(3)本质:角的两种不同的度量模式,适用情况不同,而且弧度是表示角的默认单
位.
(4)应用:角度制更容易理解和运算,与小学、初中知识更容易衔接;弧度制表示
角应用更广泛,与实数一一对应.
【思考】
初中学习的角度制是怎样定义的 1°角是多少
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=______ rad 2π rad=_________
180°=_______ rad π rad= _________
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×=度数
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么
3.轴线角的弧度制表示
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：___________________________；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：___________________________；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：___________________________；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：___________________________.
4.象限角的弧度制表示
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________.
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=__________.
(2)扇形面积公式:S=__________=__________.
【思考】
初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么
【课前基础演练】
题1．下列说法中，错误的是 (　 　)
A．半圆弧所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
题2．－320°化为弧度是 (　 　)
A．－　　 B．－　　 C．－　　 D．－
题3．下列各对角中，终边相同的是 (　 　)
A．和2kπ－(k∈Z) 　　 B．－和
C．－和 　　 D．和
题4．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是 (　 　)
A．　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2
题5．(1)化为角度是________． (2)105°的弧度数是________rad.
题6．某扇形的半径为1 cm，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角为________．
题7．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【课堂检测达标】
题8. 2 145°转化为弧度数为 (　 　)
A． B． C． D．
题2．下列各式不正确的是 (　 　)
A．－210°＝－ B．405°＝ C．335°＝ D．705°＝
题3．角－π的终边所在的象限是 (　 )
A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是 (　 　)
A．－4π－　 B．－4π＋ C．－6π－ D．－6π＋
题5．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是 (　　 )
A． B． C． D．
题6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是 (　　 )
A． 　 B． C．　 D．
题7．(多选)下列角中与－终边不相同的是 (　 　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
题8．(多选)已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数可以为 (　 　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
二、填空题
题9．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km每小时的速度通过，10 s间转过________弧度．
三、解答题
题11．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式．
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).
题12．已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，求这个圆心角所对的弓形面积．
【综合突破拔高】
题13．下列转化结果错误的是 (　 　)
A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288°
题14．集合中，角的终边所在的范围(阴影部分)是 (　 　)
题15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦＋矢)×矢，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 (　 　)
(参考数据：π≈3.14，≈1.73)
A．220平方米 B．246平方米 C．223平方米 D．250平方米
二、填空题
题16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______．
题17．中国扇有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________．
三、解答题
题18．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1) 的长； (2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积).
【素养培优训练】
题19. 把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
题20.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1 ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 (　 　)
A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π
题21．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 (　 　)
A．－　 B．－ C．　　 D．
题22．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　 　)
A． B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
题23．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在 (　 　)
A．第一象限　 B．第四象限 C．x轴上　　 D．y轴上　
题24. (练情景)苹果手机上的商标图案(如图所示)是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的．如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A，B两点间的距离为R，那么分界线的长度应为 (　 　)
A．　 B．　 C．　 D．πR
题25．(多选)若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与终边相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
题26．(多选)与角π终边不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
题27．(多选)若角α为第二象限角，则的终边可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题(每小题5分，共15分)
题28．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
题29．在直径为10 cm的轮子上有一条长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为________cm.
题30．在半径为6的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是________，该扇形的面积是________．
三、解答题(每小题10分，共40分)
题31．写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
题32．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
题33.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，求这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积．
题34.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
编号：039 课题:§7.1.2 弧度制
目标要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制与弧度制的换算；
3.会利用弧度制表示角；
4.会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题．
重点难点
重点：弧度制表示角；
难点：扇形的弧长公式及面积公式．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程
基础知识点
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:长度等于___半径长____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度记作1 rad.
③角的弧度数由角的大小唯一确定,而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关.
④用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么,|α|=___.
(3)本质:角的两种不同的度量模式,适用情况不同,而且弧度是表示角的默认单
位.
(4)应用:角度制更容易理解和运算,与小学、初中知识更容易衔接;弧度制表示
角应用更广泛,与实数一一对应.
【思考】
初中学习的角度制是怎样定义的 1°角是多少
提示:定义:用度为单位来度量角的单位制;1度的角:周角的为1度角,记作1°.
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=__2π__ rad 2π rad=___360°___
180°=__π_ rad π rad= ___180°___
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×=度数
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么
提示:计算时,我们要特别注意π rad=180°,用这个公式进行互化即可.
3.轴线角的弧度制表示
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_____.
4.象限角的弧度制表示
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=____.
(2)扇形面积公式:S=_____=______.
【思考】
初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么
提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为,扇形面积公式为.
【课前基础演练】
题1．下列说法中，错误的是 (　 　)
A．半圆弧所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
题2．－320°化为弧度是 (　 　)
A．－　　 B．－　　 C．－　　 D．－
【解析】选B.－320°化为弧度是－320°×＝－.
题3．下列各对角中，终边相同的是 (　 　)
A．和2kπ－(k∈Z) 　　 B．－和
C．－和 　　 D．和
【解析】选C.在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选C.
题4．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是 (　 　)
A．　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2
【解析】选D.设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以由扇形的弧长公式可得：＝×r，解得r＝2.
题5．(1)化为角度是________． (2)105°的弧度数是________rad.
【解析】(1)＝°＝252°； (2)105°＝105× rad＝ rad.
答案：(1)252°　(2)
题6．某扇形的半径为1 cm，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角为________．
【解析】由题意可得扇形的弧长为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为＝2.
答案：2
题7．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【解析】330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
.
【课堂检测达标】
题8. 2 145°转化为弧度数为 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选D.2 145°＝2 145× rad＝ rad.
题2．下列各式不正确的是 (　 　)
A．－210°＝－ B．405°＝ C．335°＝ D．705°＝
【解析】选C.对于A，－210°＝－210×＝－，正确；
对于B，405°＝405×＝，正确；
对于C，335°＝335×＝，错误；
对于D，705°＝705×＝，正确．
题3．角－π的终边所在的象限是 (　 )
A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.－π＝－4π＋π，因为π的终边在第四象限，所以－π的终边在第四象限．
题4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是 (　 　)
A．－4π－　 B．－4π＋ C．－6π－ D．－6π＋
【解析】选D.－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋315°＝－6π＋.
题5．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是 (　　 )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.
题6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是 (　　 )
A． 　 B． C．　 D．
【解析】选C.8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
题7．(多选)下列角中与－终边不相同的是 (　 　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
【解析】选ACD.－＋2π＝，只有B选项与角－π终边相同．
题8．(多选)已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数可以为 (　 　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
【解析】选AB.设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，因为扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，
所以解得或所以α＝1或4.
二、填空题
题9．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
【解析】60°＝，扇形的面积为S扇形＝αR2＝××()2＝π.
答案：π
题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km每小时的速度通过，10 s间转过________弧度．
【解析】10 s间列车转过的弧长为×30＝(km)，转过的角α＝＝(弧度).
答案：
三、解答题
题11．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式．
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).
【解析】(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)因为θ与α终边相同，所以θ＝2kπ＋π(k∈Z).
又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2kπ＋π<4π，所以－所以k＝－2，－1，0，1.所以θ的值是－π，－π，π，π.
题12．已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，求这个圆心角所对的弓形面积．
【解析】如图所示，
扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，所以△AOB为等边三角形，
其面积为×2×2×sin 60°＝；又扇形的面积为×π×22＝，所以弓形面积为－.
【综合突破拔高】
题13．下列转化结果错误的是 (　 　)
A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288°
【解析】选C.30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．
题14．集合中，角的终边所在的范围(阴影部分)是 (　 　)
【解析】选C.当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.
题15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦＋矢)×矢，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 (　 　)
(参考数据：π≈3.14，≈1.73)
A．220平方米 B．246平方米 C．223平方米 D．250平方米
【解析】选C.由题意可得∠AOB＝，|OA|＝20(米)，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，|OD|＝|AO|＝×20＝10(米)，
可得：矢＝20－10＝10(米)，由|AD|＝|AO|·sin＝20×＝10(米)，
可得：弦＝2|AD|＝2×10＝20(米)，
所以弧田面积＝(弦＋矢)×矢＝(20＋10)×10≈223(平方米).
二、填空题
题16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______．
【解析】A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的＝；B占总度数的＝；
C占总度数的＝.又三角形的内角和为π，则A为，B为，C为.
答案：，，
题17．中国扇有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________．
【解析】如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由弧长公式可得：解得：r＝，
所以，S扇面＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝704cm2.
答案：704 cm2
三、解答题
题18．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1) 的长；
(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积).
【解析】(1)因为120°＝，所以的长l＝×6＝4π.
(2)S扇形AOB＝r＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，S△OAB＝AB·OD＝×2×3×3＝9，
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9.
【素养培优训练】
题19. 把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
【解析】选A.因为0°≤α<360°，所以排除C，D.经计算可知A正确．
题20.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1 ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 (　 　)
A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π
【解析】选A.S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则＝，又α＋β＝2π，解得α＝(3－)π.
题21．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 (　 　)
A．－　 B．－ C．　　 D．
【解析】选A.因为－＝－2π－，所以－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
题22．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　 　)
A． B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
【解析】选D.集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．而集合A中满足集合B范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．
题23．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在 (　 　)
A．第一象限　 B．第四象限 C．x轴上　　 D．y轴上　
【解析】选D.因为＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以＝3kπ＋(k∈Z).
当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；
当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上．
题24. (练情景)苹果手机上的商标图案(如图所示)是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的．如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A，B两点间的距离为R，那么分界线的长度应为 (　 　)
A．　 B．　 C．　 D．πR
【解析】选C.设圆心为O，因为分界线是一段半径为R的圆弧，且A，B两点间的距离为R，
所以∠AOB＝90°，所以分界线的长度为×2πR＝.
题25．(多选)若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与终边相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选ABCD.由题意得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)，又∈[0，2π]，
所以k＝0，1，2，3，此时＝，，，.
题26．(多选)与角π终边不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
【解析】选ACD.A中，＝2π＋π，与角π终边不同；B中，2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为π，与角π有相同的终边；C中，2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为π，与角π终边不同；D中，(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为π，与角π终边不同．
题27．(多选)若角α为第二象限角，则的终边可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选ABD.因为角α为第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.对k进行讨论，当k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)时，的取值范围分别为(30°＋n·360°，60°＋n·360°)，(150°＋n·360°，180°＋n·360°)，(270°＋n·360°，300°＋n·360°)，n∈Z，所以的终边落在第一或二或四象限．
二、填空题(每小题5分，共15分)
题28．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
【解析】由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
题29．在直径为10 cm的轮子上有一条长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为________cm.
【解析】P到圆心O的距离OP＝＝4(cm)，又P点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，所以所求弧长为α·OP＝25×4＝100(cm).
答案：100
题30．在半径为6的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是________，该扇形的面积是________．
【解析】因为扇形弧长：l1＝θr＝×6＝，则周长l＝l1＋2r＝＋2×6＝＋12，
扇形面积：S＝θr2＝××62＝.
答案：　
三、解答题(每小题10分，共40分)
题31．写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
【解析】
(1)顺时针拧螺丝2圈，即旋转了2×360°＝720°，顺时针旋转得到的角为负角，故转过的角是－720°；
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，时针拨慢2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°＝900°；又分针是逆时针旋转，转过的角是900°.
题32．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解析】(1)α＝60°＝ rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.
题33.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，求这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积．
【解析】因为弧长l＝4R－2R＝2R，所以圆心角α＝＝2，所以S弓形＝S扇形－S三角形
＝αR2－·＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1).
题34.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
【解析】设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π.解得t＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P已经运动到角·4＝的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，
点Q走过的弧长为×4＝×4＝.
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