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第1话：二次根式化简求值
课堂思维碰撞
第一层：二次根式进阶
知识导入
1. 二次根式的定义：一般地，形如的代数式叫二次根式.
(1)式子中含有二次根号“”，“”的根指数是2，是“”的缩写；
(2)可以表示数也可以表示代数式；
(3)二次根式表示非负数的算术平方根，所以即二次根式的双重非负性.
2. 二次根式有无意义的条件：
(1)二次根式有意义，则被开方数为非负数；(2)二次根式无意义，则被开方数为负数.
3. 代数式有意义：
整式有意义：任意实数；
分式有意义：分母不为零；
零次幂、负整数次幂有意义：底数不为零；
二次根式有意义：被开方数为非负数.
4. 二次根式的双重非负性：
(1)；(2).
注：具有非负性的还有；.
5. 二次根式的主要性质：
(1)
(2)
能力提升
例1 二次根式的概念和性质
（1）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
其中是二次根式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2）若有意义，则能取的最小整数值是（　　）
A． B． C． D．
（3）已知，则（　　）．
A．－8 B．－6 C．6 D．8
（4）已知，则________
【答案】（1）C；（2）B；（3）B；（4）670；
例2 二次根式的性质
（1）适合的正整数的值有________个．
（2）当时，化简的结果是________．
（3）=_________.
【答案】（1）3；（2）；（3）；
第二层：二次根式的混合运算
知识导入
1. 最简二次根式：
被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式称为最简二次根式.
2. 最简二次根式的条件：
(1)根号内不含有开的尽方的因数或因式；
(2)根号内不含有分母；
(3)分母不含有根号.
3. 同类二次根式：
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式.
4.
（1）分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化．
（2）互为有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．
与互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．
5. 二次根式的运算：
(1)乘法公式：；反之：.
(2)除法公式：；反之：.
(3)合并同类二次根式：
能力提升
例3 最简二次根式和同类二次根式
（1）把化成最简二次根式，结果为（　　）
A． B． C． D．
（2）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
（3）若最简二次根式和是同类二次根式，则________．
【答案】（1）C；（2）B；（3）6
例4 分母有理化
⑴ ⑵ ⑶ （4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
例5 二次根式的计算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）3（3）；（4）2
例6 二次根式混合计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（（1）；（2）；（3）
第三层：二次根式的化简求值
例7 化简求值
（1）已知，求的值．
【答案】当时，
原式
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式= ，当，原式=
（3）已知，，求．
【答案】
（4）已知，，那么的值为________．
【答案】10
第四层：二次根式的应用
能力提升
例8 有理数≠无理数
已知、均为有理数，并满足等式，求、的值.
【答案】由已知条件可得，所以，，即，
例9 估算整数部分和小数部分
已知的整数部分为，小数部分为，求的值。
【答案】通过估算得知，.
.
课后创新培养
课后作业
练1
（1）实数、在数轴上的位置，
化简=________.
（2）若，则=________．
（3），则的值为（　　）
A． B． C． D．
（4）在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
（5）化简：=_______ =_______
【答案】（1）；（2）16；（3）D；（4）B；（5） ；
练2 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
练3 先化简下式，再求值：，其中．
【答案】原式==，把代入原式，解得原式=-3
练4 已知，都是有理数，且满足，求 .
【答案】
6
5

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