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第4话：菱形、正方形综合
课堂思维碰撞
第一层：菱形进阶
知识导入
序号 知识点 典型范例
1 菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴． 菱形的特殊性质： AB=BC=CD=AD AC⊥BD
2 菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形． 菱形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，邻边相等； 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD AB=BC=CD=AD的四边形
能力提升
例1 菱形的性质
（1）菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为（　　）
A．20 B．48 C．52 D．60
【答案】C
（2）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为______．
【答案】
（3）如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为，则两纸条重叠部分的面积是________．
【答案】
例2 （1）如图，是菱形对角线上一点，于点，，则点到的距离是________．
【答案】4
（2）如图，菱形中，，是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是3，则长为________．
【答案】
例3 如图1，在菱形中，点、分别为边、上的动点（都与菱形的顶点不重合），连接、、．
⑴ 若，且，判断的形状，并说明理由；
⑵ 在⑴ 的条件下，设菱形的边长为，求面积的最小值．
【答案】⑴ 的形状为等边三角形．
证明：如图1，在菱形中，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴为等边三角形．
⑵ 如图2，当时，最小，此时，最小．
设此时与交于点，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴
∴．
在中，，
∴．
∴．
第二层：正方形综合
知识导入
知识点 典型范例
正方形的性质： （1）四条边都相等； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形具有矩形的所有性质，又具有菱形的所有性质． 正方形的性质： AB=BC=CD=AD ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° AC⊥BD且AC=BD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
正方形的判定： （1）对角线互相垂直且相等的平行四 边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）有一个角是直角的菱形是正方形； （5）对角线相等的菱形是正方形； （6）对角线互相垂直平分且相等的四 边形是正方形． 正方形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD且AC=BD， 四边形ABCD是矩形，邻边相等 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD 四边形ABCD是菱形，有一个角是90° 四边形ABCD是菱形，AC=BD， AC⊥BD且AC=BD且OA=OC，OB=OD
能力提升
例4 （1）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE=BC，则∠BEC的度数是（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．82.5°
【解答】C
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在BC和CD边上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，则△CEF的周长是（　　）
A．6+2 B．8.5 C．10 D．12
【解答】C
（3）已知如图，正方形的边长为，在边上，且，是上一动点，则的最小值（　　）
A． B． C． D．
【解答】C
（4）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【答案】B
（5）如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=_____．
【答案】
例5 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，AE与DH交于O，若AE=DH，求证：AE⊥DH；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，EF与GH交于O，若EF=HG，探究线段EF与HG的位置关系，并说明理由；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AC=BD
∠B=∠DAH=90°，
在△ABE与△DAH中
AD=AB ，AE=DH
∴△ABE≌△DAH（HL）
∴∠BAE=∠ADH
∠DAO+∠BAE=∠DAO+∠ADH=90°
∴∠DOA=90°，
即AE⊥DH
（2）解：EF⊥GH．
理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．
∵EF=GH，
∴AM=DN，
在Rt△ABM和Rt△DAN中，，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN，
∴∠BAM=∠ADN，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠DAM+∠ADN=90°，
∴AM⊥DN，
∴EF⊥HG；
横扫学霸
【例6】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
【答案】解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
由题意得：3t=24﹣t，
解得t=6秒．
故当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）在直角梯形ABCD中，只要当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
由题意得：t=26﹣3t，
解得t=6.5秒．
故当t=6.5秒时，四边形ABQP为矩形；
（3）菱形是平行四边形的一种特殊情况，
故当t=6秒时，PD=18cm≠CD，
故四边形PQCD不会是菱形．
课后创新培养
课后作业
练1 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【答案】A
练2 如图，菱形ABCD中，∠D=60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．若EF=2，则△AEF的周长为________
【答案】6
练3 正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ大小为（　　）
A．50° B．60° C．45° D．70°
【答案】C
练4 如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（　　）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
练5 如图⑴，在正方形中，，，，分别为边，，，上的点，，，交点为．
如图⑵，连接，，，，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
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