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第5话： 中位线与斜边中线
课堂思维碰撞
第一层： 中位线
知识导入
三角形的中位线
定义：如图，在中，分别是的中点，连接.像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
如图，已知DE为的中位线，则
中位线模型：
三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等三角形，其周长为原三角形周长一半，其面积为原三角形面积的.
如图，是的三条中位线，则有：
①
②,
能力提升
例1 (1) 如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
（2）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是AB、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于F，则DF的长是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
（3）如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增长
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长始终不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
（4）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N．若AB=12，AC=18，则MD的长为_______.
【答案】3
例2 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．
【答案】
解：在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
例3 如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是　 .
【答案】（1）连接AC，易得HG=AC=EF，且HG∥AC∥EF，所以EHGF是平行四边形
（2）平行四边形；菱形；矩形；正方形
第二层： 直角三角形斜边中线
知识导入
直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，在，∠BCA=90°，CD为斜边中线，则
相关结论：①AD=BD=CD；②△ADC与△BDC为等腰三角形；③∠BDC=2∠A，∠ADC=2∠B
能力提升
例4 （1）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】C
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE=3，则AB等于（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
例5 如图，点E为 ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O．
求证： ABCD是矩形．
【答案】证明：连接EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵AE⊥EC，BE⊥ED，
∴∠AEC=∠BED=90°
∴EO=AC，EO=BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
，
例6 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
【答案】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
横扫学霸
例7 如图1，△ABC、△DCE均为等腰直角三角形，且B、C、E三点共线，A、D、C三点共线，点O为AB的中点.
（1）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，求证：
（2） 将绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为（图2），若是线段的中点，是线段的中点， 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由
【答案】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
延长BD交AE于H，设BD与OM相交于G，如图①，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC，
又∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC=∠ADH，
∴∠EAC+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，
∵O是线段AB的中点，M是线段BE的中点，
∴OM∥AE且OM=AE，
同理可证：ON∥BD，ON=BD，
∴OM=ON，
∵OM∥AE，
∴∠BGO=∠AHD=90°，
∵ON∥BD，
∴∠MON=∠BGO=90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（2）延长BD1交AC于H，设BD1与OM1相交于G，如图②，
与（1）的证明相同得出△M1ON1是等腰直角三角形．
课后创新培养
课后作业
练1 如图，△ABC中，∠B=∠C，点D，E分别是BC，AC的中点，若AC=6，则DE的长为_______.

【答案】3
练2 如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】A
练3 如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于______
【答案】30°
练4 已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．
【答案】
解：连接AE，DE，
∵∠BAC=∠BDC=90°，BE=EC，
∴AE=BC，DE=BC，
∴AE=DE，
∵F为中点，所以EF⊥AD．
练5 已知，如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是_________，证明你的结论．
（2）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足_________条件时，四边形EFGH是矩形，并证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形，证明略
（2）AC⊥BD，证明略
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